×
罗伯特·威尔姆斯

新的显式公式用于Fallings的增量变量。 （英语） Zbl 1390.14073号

发明。数学。 209，第2期，481-539（2017）.
本文讨论了算术曲面Arakelov理论的一个重要不变量，即紧致黎曼曲面和连通黎曼曲面的Fallings（delta）不变量。它是由G.福尔廷斯在他著名的论文《数学年鉴》（Ann.Math.）（2）119、387–424（1984；Zbl 0559.14005号)]; 它代表了阿基米德对福林斯算术诺特公式的贡献。椭圆曲线[loc.cit.]和亏格2曲线的\（\delta\）值已知[B.脯氨酸，J.数论163，520–541（2016；Zbl 1408.14096号)]. 本文给出了任意亏格曲线的新的显式公式，并导出了一些应用，包括δ的下界。
设（X）是亏格（g\geq 1）的紧致连通黎曼曲面。用\（\ |\θ\ |\）表示\（\ mathrm）上的赋范θ函数{图片}_由Faltings引入的{g-1}（X），并让（nu）成为（mathrm）上的Kähler形式｛图片｝_{g-1}（X）来自\（\mathrm）上的Hodge度量{图片}_{0}（X）{图片}_{g-1}（X）\）。本文的主要结果如下：
定理。每当（g\geq 1）\[\增量（X）=-24\int_{mathrm{图片}_{g-1}（X）}\log\|\theta\|\frac{nu^g}{g！}+2\varphi（X）-8g\log2\pi。\]
定理的证明被简化为超椭圆情况。然后将模空间（{mathcal M}_g）上的拉普拉斯算子应用于（logθ），将上述公式中的积分拉回到具有二级结构的普适黎曼曲面的（g+1）次幂。定界对用于找到这个幂的第一个Chern类的正确表达式。
作为定理的应用，作者提供了（δ）的下限：
推论。亏格\（g\geq1\）的任何紧连通黎曼曲面\（X\）满足\[\δ（X）>-2g\log 2\pi^4。\]
根据主要定理导出了\（delta）和\（nu\）的以下显式公式：
定理。对于亏格1的任何紧连通Riemann曲面，不变量（δ（X）和（varphi（X））满足：\[\δ（X）=2（g-7）\int_{mathrm{图片}_{g-1}（X）}\log\|\theta\|\frac{\nu^g}{g！}-2\int_{\theta}\log\ |\tata\|\frac{\nu^{g-1{{g！{-4g\log2\pi，\]
\[\varphi（X）=（g+5）\int_{mathrm{图片}_{g-1}（X）}\log\|\theta\|\frac{\nu^g}{g！}-\int_{\theta}\log \|\tata\|\frac{\nu ^{g-1{{g！{+2g\log 2\pi，\]其中\（\Theta\subset\mathrm{图片}_{g-1}（X）是正则θ除数，而（eta）是由R.de Jong（德容）[in：Schiermonnikoog的模块化形式。基于2006年10月荷兰Schiermonikoog模块化形式会议。剑桥：剑桥大学出版社。67–78 (2008;Zbl 1170.14033号)].
这些公式给出了不变量（delta）和（varphi）定义到不可分解的主要极化阿贝尔簇的正则推广。
当\（g \geq 2）: \[\log G（P，Q）=\int_{Theta+P-Q}\log\|\Theta\|\frac{nu^{G-1}}{G！}+\frac{1}{2g}\varphi（X）-int_{mathrm{图片}_｛g-1｝（X）｝\log\|\theta\|\frac｛\nu^g｝｛g！｝\]
从这个表达式中，他根据Faltings不变量导出了\（G\）的上界：\[\sup_{P，Q\in X}\log G（P，Q）<\frac1\24g}\max（6，G+1）\delta（X）+\frac34g\log G+4。\]最后，证明了Rosenhain公式的推广。
审核人：Jordi Guárdia（维拉诺娃i la Geltru）

引用于2评论
引用于8文件

MSC公司：

14G40型 算法种类和方案；阿拉克洛夫理论；高度
14K25号 Theta函数与阿贝尔变种
14小时42分 Theta函数和曲线；肖特基问题
14H55型 黎曼曲面；Weierstrass点；间隙序列
11G30型 全局域上任意亏格或亏格的曲线

关键词：

Fallingsδ不变量;阿拉克洛夫理论;算术曲面;Green函数

引文：

Zbl 0559.14005号;兹比尔1170.14033;Zbl 1408.14096号
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit｛R.Wilms｝，发明。数学。209，第2号，481--539（2017；Zbl 1390.14073）
全文： 内政部 arXiv公司

参考文献：

[1] Arakelov，S.Y.：算术曲面上除数的交集理论。伊兹夫。阿卡德。苏联8（6），1167-1180（1974）·Zbl 0355.14002号 ·doi:10.1070/IM1974v008n06ABEH002141
[2] Autissier，P.：θ函数的上界（2015）。预打印。https://www.math.u-bordeaux.fr/保蒂西/西塔。2015年10月27日访问·Zbl 1182.11029号
[3] Birkenhake，C.，Lange，H.：复杂阿贝尔变种。Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften，第302卷。施普林格，柏林（2004）·Zbl 1056.14063号
[4] Bost，J.-B.，Mestre，J.-F.，Moret-Bailly，L.：第二类表面算术的明确计算。收录于：《埃里普蒂克海岸》，第183卷，第69-105页（1990年）·Zbl 0731.14017号
[5] Bost，J.-B.：《Green-Arakelov功能》，第二类功能。C.R.学院。科学。巴黎。I数学。305(14), 643-646 (1987) ·Zbl 0638.14016号
[6] Deligne，P.：上同调的定义。在：算术代数几何的当前趋势（加利福尼亚州阿卡塔，1985年）。《当代数学》，第67卷，第387-424页（1987年）
[7] Dubrovin，B.A.，Fomenko，A.T.，Novikov，S.P.：现代几何方法与应用——第二部分。流形的几何和拓扑。数学研究生教材，第104卷。施普林格，纽约（1985）·Zbl 0565.57001号
[8] Edixhoven，B.，Couveignes，J.-M.：模块形式和伽罗瓦表示的计算方面。数学研究年鉴，第176卷。普林斯顿大学出版社，普林斯顿（2011）·Zbl 1216.11004号
[9] 埃尔基克，R.：切恩类的交叉点和内部纤维。科学年鉴。Ecole标准。补充22（2），195-226（1989）·Zbl 0701.14003号 ·doi:10.24033/asens.1583
[10] Faltings，G.：算术曲面上的微积分。安。数学。119, 387-424 (1984) ·Zbl 0559.14005号 ·doi:10.2307/2007043
[11] Farkas，H.M.，Kra，I.：黎曼曲面。数学研究生教材，第71卷。施普林格，纽约（1980）·Zbl 0475.30001号
[12] Guárdia，J.：曲线的Arakelov理论中的解析不变量。C.R.学院。科学。巴黎Ser。I 329，41-46（1999）·Zbl 0944.14011号
[13] Guárdia，J.：Jacobian nullwerte和代数方程。《代数杂志》253（1），112-132（2002）·Zbl 1054.14041号 ·doi:10.1016/S0021-8693（02）00049-2
[14] Hain，R.，Looijenga，E.：映射曲线的类群和模空间。In:代数几何-Santa Cruz 1995。《纯粹数学研讨会论文集》，第62卷，第97-142页（1997年）·Zbl 0914.14013号
[15] Hain，R.，Reed，D.：Morita某些结果的几何证明。J.代数几何。10(2), 199-217 (2001) ·Zbl 0986.14017号
[16] Hain，R.，Reed，D.：关于曲线模量空间的Arakelov几何。J.差异。地理。67(2), 195-228 (2004) ·Zbl 1118.14029号 ·doi:10.4310/jdg/1102536200
[17] Igusa，J.-I.：Theta函数。Grundlehren der mathematischen Wissenschaften，第194卷。施普林格，纽约（1972）·Zbl 0157.20902号
[18] Javanpeykar，A.：Belyi曲线的Arakelov不变量的多项式界。附彼得·布鲁恩的附录。代数数论8（1），89-140（2014）·Zbl 1371.14030号
[19] de Jong，R.:Riemann曲面的Arakelov不变量。文件。数学。10, 311-329 (2005) ·Zbl 1087.14023号
[20] de Jong，R.：超椭圆黎曼曲面的Fallings三角变量。在：van der Geer，G.，Moonen，B.，Schoff，R.（编辑）《数场和函数场两个平行世界》，《数学进展》，第239卷，第223-236页。Birkhäuser，巴塞尔（2005年）·Zbl 1113.14023号
[21] de Jong，R.：超椭圆曲线的显式Mumford同构。J.纯应用。代数208，1-14（2007）·Zbl 1111.14013号 ·doi:10.1016/j.jpaa.2005.11.002
[22] Jong，R。；Edixhoven，B.（编辑）；Geer，G.（编辑）；Moonen，B.（编辑），关于θ除数和格林函数的高斯映射，67-78（2008），剑桥·Zbl 1170.14033号 ·doi:10.1017/CBO9780511543371.006
[23] 德容，R.：θ在θ除数上起作用。落基山J.数学。40, 155-176 (2010) ·Zbl 1191.14054号 ·doi:10.1216/RMJ-2010-40-1-155
[24] de Jong，R.：曲线模空间上Zhang的\[lambda\]λ-不变量的第二变体。美国数学杂志。135, 275-290 (2013) ·Zbl 1262.14028号 ·doi:10.1353/ajm.2013.0008
[25] de Jong，R.：退化黎曼曲面的Kawazumi-Zhang不变量的渐近行为。亚洲数学杂志。18, 507-524 (2014) ·Zbl 1360.14083号 ·doi:10.4310/AJM.2014.v18.n3.a7
[26] Jong，R。；Papadopoulos，A.（编辑），Riemann曲面通用族上的环面束和2-形式，第VI期，195-227（2016），苏黎世·Zbl 1345.30070号
[27] Jorgenson，J.，Kramer，J.：规范格林函数的边界。作曲。数学。142(3), 679-700 (2006) ·Zbl 1105.14028号 ·doi:10.1112/S0010437X06001990
[28] Jorgenson，J.，Kramer，J.：通过覆盖对Fallingsδ函数的限制。安。数学。(2) 170(1), 1-43 (2009) ·Zbl 1169.14020号
[29] Jorgenson，J.：Fallingsδ函数的渐近行为。杜克大学数学。J.61，221-254（1990）·Zbl 0746.30032号 ·doi:10.1215/S0012-7094-90-06111-3
[30] von Känel，R.：关于Szpiro的判别猜想。国际数学。Res.否。16, 4457-4491 (2014) ·Zbl 1321.11070号
[31] von Känel，R.：椭圆曲线模格式上的积分点。事务处理。伦敦。数学。Soc.1（1），85-115（2014）·Zbl 1366.11062号 ·doi:10.1112/tlms/tlu003
[32] Kawazumi，N.：约翰逊同态和Arakelov-Green函数（2008）。预印。arXiv:0801.4218。2014年12月9日访问
[33] 洛克哈特，P.：关于超椭圆曲线的判别式。事务处理。《美国社会学杂志》342（2），729-752（1994）·Zbl 0815.11031号 ·doi:10.1090/S0002-9947-1994-1195511-X
[34] 芒福德：塔塔关于西塔一世的讲座。数学进展，第28卷。Birkhäuser，巴塞尔（1983年）·Zbl 0509.14049号
[35] 芒福德：塔塔关于西塔二世的演讲。《数学进展》，第43卷。Birkhäuser，巴塞尔（1984年）·Zbl 0549.14014号
[36] Pioline，B.：两类黎曼曲面的Kawazumi-Zhang不变量和Fallings不变量的θ升力表示。《数论》163，520-541（2016）·兹比尔1408.14096 ·doi:10.1016/j.jnt.2015.12.021
[37] 鲍威尔，J.：关于曲面映射类群的两个定理。程序。美国数学。Soc.68（3），347-350（1978）·Zbl 0391.57009号 ·doi:10.1090/S0002-9939-1978-0494115-8
[38] Rosenhain，G.：二重变量和四重变量的函数与前类超椭圆整数的反比。梅莫尔·德·萨凡特·特兰格斯11，362-468（1851）
[39] Schlichenmaier，M.：黎曼曲面、代数曲线和模空间简介。理论和数学物理。柏林施普林格出版社（2007）·Zbl 1153.14023号
[40] Szpiro，L.：Degrés，十字路口，高级。《阿斯特里斯克》127，11-28（1985）·Zbl 1182.11029号
[41] Wentworth，R.：Arakelov-Green函数的渐近性和Fallingsδ不变量。Commun公司。数学。物理学。137, 427-459 (1991) ·2017年10月8日 ·doi:10.1007/BF02100272
[42] Zhang，S.：半稳定品种的高度和减少。作曲。数学。104(1), 77-105 (1996) ·Zbl 0924.11055号
[43] Zhang，S.：Gross-Schoen循环和对偶滑轮。发明。数学。179, 1-73 (2010) ·Zbl 1193.14031号 ·doi:10.1007/s00222-009-0209-3
此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。