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亚当·布朗·萨雷;穆塔兹·侯赛因

关于平面上多重偏商乘积相对增长的注记。 （英语） Zbl 1528.11066号

可以。数学。牛市。 66，第2期，544-552（2023年）.
设（x=[0；a_1（x）、a_2（x），\ldots]\）表示无理数\（x\in[0,1）\的经典连分式展开。经典的Borel-Bernstein定理表明，对于任何函数\（Psi:\mathbb{N}\to\mathbb｛R｝_+\)，勒贝格测量\[\left\{x\in[0,1]：a_n（x）\geq\Psi（n）\text{无限频繁}\right\}\]是\（0）或\（1），取决于\（sum_{n=1}^{infty}\frac{1}{\Psi（n）}\）是否收敛或发散。B.王和J.Wu先生【高级数学218，第5期，1319–1339（2008；Zbl 1233.11084号)]通过确定任何函数的上述集合的Hausdorff版本，建立了一个细化。
吕先生和Z.Zhang先生【澳大利亚数学学会第105卷，第3期，404–411（2022；兹比尔1500.11062)]证明了这套\[\左{（x，y）在[0,1]^2:\lim_{n\to\infty}\max\{an_（x），a_n（y）\}=\ infty\right\}\]具有Hausdorff维度（3/2）。
在当前的文章中，作者结合了上面提到的语句，并允许进一步概括：Let\（\Psi:\mathbb{N}\to\mathbb｛R｝_+\)是满足\（\lim{n\to\infty}\Psi（n）=\infty \）的任意函数。对于任意（m\in\mathbb{N}）和任意（（t1，t2，ldots，t_m）｛R｝_{+}^m\），让\[\Lambda（\Psi）：=\left\{（x，y）\in[0,1]^2:\max\left\{\prod_{i=1}^{m}a_{n+i}^{ti}（x），\prod_{i=1{m}a_{n+i}^{t}（y）\right\}\geq\Psi（n）\text{代表所有}n\geq1\right\{。\]然后\[\dim_H（\Lambda（\Psi））=\frac{2+\tau}{1+\tau{quad\text{where}\quad\log\tau=\limsup_{n\to\infty}\frac{log\log\Psi（n）}{n}。\]证明相当简短，遵循经典方法，可读性很好。
审核人：曼纽尔·豪克（格拉茨）

MSC公司：

11公里50 连分式的度量理论
11公里55 其他算法和扩展的度量理论；测度与Hausdorff维数
11时83分 度量理论
28A80型 分形

关键词：

公制连分数;Hausdorff维数;一致丢番图逼近

引文：

Zbl 1233.11084号;Zbl 1500.11062号
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\加拿大，textit{A.Brown-Sarre}和\textit{M.Hussain}。数学。牛市。66，编号2，544--552（2023；Zbl 1528.11066）
全文： 内政部

参考文献：

[1] Bakhtawar，A.、Bos，P.和Hussain，M.，《Dirichlet不可改进数与良好近似数的集合》。遍历理论动力学。系统40（2020），第12期，3217-3235·Zbl 1455.11111号
[2] Bakhtawar，A.、Hussain，M.、Kleinback，D.和Wang，B.-W.，连分式中多重偏商加权积的度量性质。预印本，2022年。arXiv:2202.11212。
[3] Bos，P.，Hussain，M.和Simmons，D.，Dirichlet不可改进数集的广义Hausdorff测度。程序。阿默尔。数学。Soc.（2022），出版中。arXiv:2010.14760号·Zbl 1517.11091号
[4] Davenport，H.和Schmidt，W.M.，Dirichlet关于丢番图逼近的定理。摘自：数学研讨会（INDAM，罗马，1968/69）。第四卷，学术出版社，伦敦，1970年，第113-132页·兹比尔0226.10032
[5] Feng，J.和Xu，J.，连分式理论中具有一定阶的狄利克雷不可改进数集。非线性34（2021），第3期，1598-1611·Zbl 1473.11153号
[6] 好，I.J.，连分式的分数维理论。程序。外倾角。菲洛斯。《社会学杂志》37（1941），199-228·Zbl 0061.09408号
[7] Huang，L.和Wu，J.，通过连分式的一致不可改进Dirichlet集。程序。阿默尔。数学。Soc.147（2019），第11期，4617-4624·Zbl 1431.11100号
[8] Huang，L.，Wu，J.，and Xu，J..，连分式中连续偏商乘积的度量性质。以色列《数学杂志》第238卷（2020年），第2期，第901-943页·Zbl 1452.11095号
[9] Hussain，M.，Kleinbock，D.，Wadleigh，N.和Wang，B.-W.，不可改进数集的Hausdorff测度。Mathematika64（2018），第2期，502-518·Zbl 1412.11082号
[10] Iosifescu，M.和Kraaikamp，C.，连分式的度量理论，数学及其应用，547，Kluwer学术出版社，多德雷赫特，2002年·Zbl 1122.11047号
[11] Khintchine，A.Y.，《续分数》，P.Noordhoff Ltd.，格罗宁根，1963年。彼得·韦恩译·Zbl 0117.28503号
[12] Kleinback，D.和Wadleigh，N.，改进Dirichlet定理的零定律。程序。阿默尔。数学。Soc.146（2018），第5期，1833-1844·Zbl 1448.11126号
[13] Lü，M.和Zhang，Z.，关于平面上点的连分式的递增偏商。牛市。澳大利亚。数学。Soc.105（2022），编号3，404-411·Zbl 1500.11062号
[14] Łuczak，T.，关于连分式集的分数维。Mathematika44（1997），第1期，第50-53页·Zbl 0884.11028号
[15] Marstrand，J.M.，分数维平面集的一些基本几何性质。程序。伦敦。数学。Soc.3（1954），第4期，257-302·Zbl 0056.05504号
[16] Wang，B.-W.和Wu，J.，在连续分式展开中产生的某些集合的Hausdorff维数。《高级数学》218（2008），第5期，1319-1339·Zbl 1233.11084号
[17] Zhang，L.，极端Dirichlet不可改进点集。《分形》28（2020），第2期，20050034·Zbl 1434.40003号
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