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约瑟夫·迪克;Robert N.甘特纳。;Le Gia，Quoc T。;克里斯托夫·施瓦布

多级高阶拟蒙特卡罗贝叶斯估计。 （英语） Zbl 1375.65169号

数学。模型方法应用。科学。 27，第5期，953-995（2017）.
偏微分方程的贝叶斯反问题中出现的条件期望的高阶拟蒙特卡罗近似的应用是解决上述问题的现代方法。在本文中，作者提出并分析了具有不确定分布参数的算子方程的贝叶斯反演的确定多级（ML）近似。这些算法使用基于确定性高阶拟蒙特卡罗（HoQMC）求积的ML方法来逼近贝叶斯估值器中出现的高维期望，使用Petrov-Galerkin（PG）方法来逼近潜在偏微分方程的解。这扩展了以前的单级（SL）方法。与SL方法相比，ML方法的收敛性分析需要对正问题的可数参数不确定性到观测映射的全形性和正则性进行更强的假设。得到了实现任意高代数收敛速度的充分条件。
第二节抽象了输入数据不确定的非线性参数算子方程，给出了输入数据的参数化及其参数解的PG近似。在2.1小节中，提出了不确定性参数化的概念。在第2.2小节中，抽象正向问题\[\文本{给定}\；\；u \ in \ tilde{X}：\；\文本{查找}\；\；{\mathcal X}\；中的q；\文本{这样}\；\；y^\素数<R（u；q），v>y=0，\；\；\对于{\mathcal Y}中的所有v\，\]其中，\（X，\）\（{mathcal X}\）和\（{mathcal Y}\）是实可分的Banach空间，\（R:X\ times{mathcalX}\ to{mathcall Y}^\ prime）是前向算子的正则。在第2.3小节中，开发了尺寸截断技术。在第2.4小节中，提醒了光滑非线性正问题解的正则分支的PG离散化概念。
第三节回顾了函数空间中适定贝叶斯反问题的一般理论。ML-HoMC方法是一种稀疏网格近似形式，其误差分析要求对混合正则性进行模拟。第3.1小节给出了适定性和近似的概念。第3.2小节介绍了参数贝叶斯后验。在3.4小节中，给出了全纯参数依赖性的概念。
第4节包含几个ML可计算贝叶斯估计及其误差分析。对ML-HoQMC-PG组合算法进行了误差与功的分析。在第4.1小节中，给出了正向问题的ML离散化。在第4.2小节中，描述了两种ML估计量——比率估计量和分裂估计量。第4.3小节专门用于误差分析。
第5节给出了参数正演问题的具体示例。考虑二维空间中的线性仿射参数扩散问题，利用正则三角剖分上连续、分段线性函数空间的变分形式。
第6节包含了第5节中考虑的偏微分方程问题正向和反向不确定性量化的拟议估计器的数值测试。数值结果与理论相符。
审核人：瓦西尔·格罗兹达诺夫（布拉戈耶夫格勒）

引用于32文件

MSC公司：

65N75型 涉及偏微分方程边值问题的概率方法、粒子方法等
65二氧化碳 蒙特卡罗方法
65立方厘米35 随机粒子方法
65 C50 其他概率计算问题（MSC2010）
65N21型 含偏微分方程边值问题反问题的数值方法
2015年1月62日 贝叶斯推断
65N12号 偏微分方程边值问题数值方法的稳定性和收敛性
65奈拉 涉及偏微分方程的边值问题的误差界

关键词：

高阶拟蒙特卡罗求积;贝叶斯反问题;多级近似;非线性参数算子方程;误差分析;数值试验;算法;Petrov-Galerkin法;汇聚;不确定性量化
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\textit{J.Dick}等人，《数学》。模型方法应用。科学。27，第5号，953--995（2017；Zbl 1375.65169）
全文： 内政部 arXiv公司

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