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使用概率学习工具更新基于单目标FRF的结构动力学中不确定且昂贵的计算模型。 (英语) Zbl 1519.74079号

小结:本文提出了一种适当而有效的方法来更新非常大的不确定计算模型的控制参数,用于分析在宽频带分析中存在大量相互交织的局部和全局弹性结构模态的高度复杂结构的频域线性振动。此外,假设使用计算模型对频率响应函数进行单一评估的数值成本非常高,并且只有一个实验频率响应函数可用作目标。为了降低这一具有挑战性的问题的数值代价,构造了一个参数化降阶模型。然而,这种减少不足以解决与更新相关的非凸优化问题。因此,为了避免调用计算模型,流形上的概率学习用于从训练集生成学习集,该训练集与条件统计相结合,允许在不调用计算模型的情况下评估成本函数。给出了一个数值例子来验证所提出的方法。

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全文: 内政部

参考文献:

[1] O.Ezvan。;曾,X。;加尼姆,R。;Gencturk,B.,《具有众多局部振动模式的多尺度结构宽带频率分析的主要振动模式》,国际数值方法工程杂志,117,6,644-692(2019)·Zbl 07865265号 ·doi:10.1002/nme.5971
[2] O.Ezvan。;曾,X。;加尼姆,R。;Gentruk,B.,满载乏核燃料罐的多尺度模态分析,计算方法应用机械工程,367113072(2020)·Zbl 1442.74225号 ·doi:10.1016/j.cma.2020.113072
[3] 埃兹万,O。;曾,X。;加尼姆,R。;Gentruk,B.,满载乏核燃料罐的主要子结构振动模式,计算力学,67,1,365-384(2021)·Zbl 07360508号 ·doi:10.1007/s00466-020-01937-8
[4] 马萨诸塞州格雷普;Maday,Y。;Nguyen,北卡罗来纳州。;Patera,A.T.,非仿射和非线性偏微分方程的高效降基处理,ESAIM数学模型数值分析,41,3,575-605(2007)·Zbl 1142.65078号 ·doi:10.1051/m2an:2007031
[5] Nguyen,N。;Peraire,J.,《非线性参数化偏微分方程的有效降阶建模方法》,国际J数值方法工程(2008)·兹比尔1162.65407 ·doi:10.1002/nme.2309
[6] Chaturantabut,S。;Sorensen,DC,通过离散经验插值减少非线性模型,SIAM科学计算杂志,32,5,2737-2764(2010)·Zbl 1217.65169号 ·doi:10.1137/090766498
[7] 德鲁特,J。;Virendels,J。;Willcox,K.,为设计优化和概率分析获得参数化模型而在降阶矩阵之间进行插值,国际数值方法流体,63,207-230(2010)·Zbl 1188.65110号 ·doi:10.1002/fld.2089
[8] 卡尔伯格,K。;Bou-Mosleh,C。;Farhat,C.,通过最小二乘Petrov-Galerkin投影和压缩张量近似实现高效非线性模型简化,国际数值方法工程杂志,86,2,155-181(2011)·Zbl 1235.74351号 ·doi:10.1002/nme.3050
[9] 卡尔伯格,K。;Farhat,C.,用于静态系统模型约简的低成本、面向目标的紧凑适当正交分解基础,Int J Numer Methods Eng,86,3381-402(2011)·Zbl 1235.74352号 ·doi:10.1002/nme.3074
[10] Amsallem,D。;扎尔,MJ;Farhat,C.,基于局部降阶基的非线性模型降阶,国际数值方法工程杂志,92,10,891-916(2012)·Zbl 1352.65212号 ·doi:10.1002/nme.4371
[11] 卡尔伯格,K。;Farhat,C。;科尔蒂尔,J。;Amsallem,D.,《非线性模型简化的gnat方法:计算流体动力学和湍流的有效实施和应用》,《计算物理杂志》,242623-647(2013)·Zbl 1299.76180号 ·doi:10.1016/j.jcp.2013.02.028
[12] 扎尔,M。;Farhat,C.,pde-constrained最优化参数降阶模型的渐进构造,国际数值方法工程杂志,102,5,1077-1110(2015)·Zbl 1352.49029号 ·doi:10.1002/nme.4770
[13] Amsallem,D。;扎尔,M。;Choi,Y。;Farhat,C.,《使用超降阶模型进行设计优化》,Struct Multidisip Optim,51,4,919-940(2015)·doi:10.1007/s00158-014-1183-y
[14] 巴斯,KJ;Wilson,EL,《有限元分析中的数值方法》(1976),纽约:普伦蒂斯·霍尔出版社,纽约·Zbl 0387.65069号
[15] 杰拉丁,M。;Rixen,D.,《机械振动》(1997),奇切斯特:威利
[16] Ohayon,R。;Soize,C.,《高级计算振动声学:降阶模型和不确定性量化》(2014),纽约:剑桥大学出版社,纽约·doi:10.1017/CBO9781107785328
[17] Ohayon,R。;Soize,C.,《结构声学与振动:力学模型、变分公式和离散化》(1998),圣地亚哥:学术出版社,圣地亚戈
[18] O.Ezvan。;巴图,A。;Soize,C.,中低频率范围结构动力学的多级降阶计算模型,计算结构,160,111-125(2015)·doi:10.1016/j.compstruc.2015.08.007
[19] O.Ezvan。;巴图,A。;Soize,C。;Gagliardini,L.,计算结构动力学中不确定性量化的多级模型约简,Comput Mech,59,219-246(2017)·Zbl 1398.74327号 ·doi:10.1007/s00466-016-1348-1
[20] 雷耶斯,J。;笛卡尔,C。;Soize,C。;Gagliardini,L.,计算振动学中不确定性量化的多频模型简化,计算力学,69,661-682(2022)·兹伯利07492689 ·doi:10.1007/s00466-021-02109-y
[21] Ohayon,R。;Soize,C.,《关于具有物理柔性接口的子结构部件模态综合方法的澄清》,《国际航空航天科学杂志》,第15、2、113-122页(2014年)·doi:10.5139/IJASS.2014.15.2.113
[22] 阿格里斯,JH;Kelsey,S.,《任意截面和锥度机身的分析:dsir赞助的矩阵力法和数字计算机开发和应用研究项目》,Aircr Eng Aerosp Technol,31,9,272-283(1959)·doi:10.1108/eb033156
[23] Przemieniecki,JS,子结构的矩阵结构分析,AIAA J,1,1,138-147(1963)·数字对象标识代码:10.2514/3.1483
[24] Guyan,RJ,刚度矩阵和质量矩阵的缩减,AIAA J(1965)·doi:10.2514/3.2874
[25] Irons,B.,《结构特征值问题:多余变量的消除》,AIAA J,3,5,961-962(1965)·数字对象标识代码:10.2514/3.3027
[26] Hurty,WC,构件模态合成的结构系统振动,ASCE J Eng Mech,86,4,51-69(1960)
[27] Hurty,WC,使用组件模式的结构系统动态分析,AIAA J,3,4,678-685(1965)·数字对象标识代码:10.2514/3.2947
[28] 克雷格(Craig,R.)。;Bampton,M.,动力分析子结构耦合,AIAA J,6,7,1313-1322(1968)·Zbl 0159.56202号 ·数字对象标识代码:10.2514/3.4741
[29] Bhosekar,A。;Ierepatritou,M.,《基于替代物的建模、可行性分析和优化进展:综述》,《计算化学工程》,108,250-267(2018)·doi:10.1016/j.compchemeng.2017.09.017
[30] Nayroles,B。;Touzot,G。;Villon,P.,《有限元方法的推广:漫反射近似和漫反射元素》,《计算力学》,10,5,307-318(1992)·Zbl 0764.65068号 ·doi:10.1007/BF00364252
[31] Belytschko,T。;Krongauz,Y。;器官,D。;弗莱明,M。;Krysl,P.,《无网格方法:概述和最新发展》,计算方法应用机械工程,139,1-4,3-47(1996)·Zbl 0891.73075号 ·doi:10.1016/S0045-7825(96)01078-X
[32] 加利福尼亚州杜阿尔特;Oden,JT,H-p云,一种H-p无网格方法,数值方法部分差分Equ an Int J,12,6,673-705(1996)·Zbl 0869.65069号 ·doi:10.1002/(SICI)1098-2426(199611)12:6<673::AID-NUM3>3.0.CO;2-P型
[33] Breitkopf,P。;Rassineux,A。;Touzot,G。;Villon,P.,MLS形状函数及其导数的显式形式和有效计算,《国际数值方法工程》,48,3,451-466(2000)·Zbl 0965.65015号 ·doi:10.1002/(SICI)1097-0207(20000530)48:3<451::AID-NME892>3.0.CO;2-1
[34] Rassineux,A。;维隆,P。;Savignat,J-M;Stab,O.,通过局部Hermite漫反射插值进行表面重网格,国际数值方法工程杂志,49,1-2,31-49(2000)·Zbl 0990.74080号 ·doi:10.1002/1097-0207(20000910/20)49:1/23.0.CO;2-6
[35] 张,X。;宋,KZ;Lu,兆瓦;Liu,X.,基于径向基函数配置的无网格方法,计算力学,26,4,333-343(2000)·Zbl 0986.74079号 ·doi:10.1007/s00466000181
[36] 加尼姆,R。;希格顿,D。;Owhadi,H.,《不确定性量化手册》(2017),查姆:斯普林格,查姆·Zbl 1372.60001号 ·doi:10.1007/978-3-319-12385-1
[37] Soize,C.,《不确定性量化》。计算工程高级应用速成课程(2017),纽约:Springer,纽约·Zbl 1377.60002号 ·数字对象标识代码:10.1007/978-3-319-54339-0
[38] Kleijnen,JP,《模拟中的克里格元建模:综述》,《欧洲运营研究杂志》,192,3707-716(2009)·Zbl 1157.90544号 ·doi:10.1016/j.ejor.2007.10.13
[39] Dubourg,V.公司。;苏德雷特,B。;Bourinet,J-M,《使用克里金代理和子集模拟进行基于可靠性的设计优化》,Struct-Multidisip Optim,44,5,673-690(2011)·doi:10.1007/s00158-011-0653-8
[40] 克绍迪,P。;苏德雷特,B。;瓦西尔,N。;皮康,O。;Wiart,J.,结合kriging和多项式混沌展开的新代理建模技术——在计算剂量学不确定性分析中的应用,《计算物理杂志》,286103-117(2015)·Zbl 1351.94003号 ·doi:10.1016/j.jcp.2015.01.034
[41] 加尼姆,R。;Spanos,PD,《随机有限元:谱方法》(1991),纽约:Springer,纽约·Zbl 0722.73080号 ·doi:10.1007/978-1-4612-3094-6
[42] 秀,D。;Karniadakis,GE,随机微分方程的Wiener-Askey多项式混沌,SIAM科学计算杂志,24,2,619-644(2002)·Zbl 1014.65004号 ·doi:10.1137/S1064827501387826
[43] Soize,C。;Ghanem,R.,《具有随机不确定性的物理系统:具有任意概率测度的混沌表示》,SIAM科学计算杂志,26,2395-410(2004)·兹比尔1075.60084 ·doi:10.1137/S1064827503424505
[44] 万,X。;Karniadakis,GE,任意概率测度的多元广义多项式混沌,SIAM科学计算杂志,28,3,901-928(2006)·Zbl 1128.65009号 ·doi:10.1137/050627630
[45] Soize,C。;Desceliers,C.,构建高维多项式混沌实现的计算方面,SIAM科学计算杂志,32,5,2820-2831(2010)·Zbl 1225.60118号 ·数字对象标识代码:10.1137/100787830
[46] 布拉特曼,G。;Sudret,B.,基于最小角度回归的自适应稀疏多项式混沌展开,《计算物理杂志》,230,6,2345-2367(2011)·Zbl 1210.65019号 ·doi:10.1016/j.jcp.2010.12.021
[47] 佩兰,G。;Soize,C。;Duhamel,D。;Funfscrilling,C.,从一组实现中识别高维多项式混沌表示,SIAM科学计算杂志,34,6,A2917-A2945(2012)·Zbl 1262.60067号 ·doi:10.1137/11084950X文件
[48] 蒂皮雷迪,R。;Ghanem,R.,齐次混沌空间中的基自适应,计算物理杂志,259304-317(2014)·Zbl 1349.60058号 ·doi:10.1016/j.jcp.2013.12.009
[49] Babaei,M。;Alkhatib,A。;Pan,I.,使用多项式混沌和响应面替代物的地下流鲁棒优化,Comput Geosci,1979-998(2015)·Zbl 1391.76672号 ·doi:10.1007/s10596-015-9516-5
[50] Soize,C.,多模随机向量的多项式混沌展开,SIAM-ASA J Uncertain Quantif,3,1,34-60(2015)·Zbl 1327.62332号 ·doi:10.1137/140968495
[51] 亚伯拉罕,S。;Raisee,M。;Ghorbanias,G。;康蒂诺,F。;Lacor,C.,构建稀疏多项式混沌展开的稳健高效逐步回归方法,《计算物理杂志》,332461-474(2017)·Zbl 1384.62216号 ·doi:10.1016/j.jcp.2016.12.015
[52] 鲁顿,N。;马雷利,S。;Sudret,B.,《稀疏多项式混沌展开:文献综述和基准》,SIAM/ASA J Uncertain Quantif,9,2,593-649(2021)·Zbl 1464.65008号 ·doi:10.1137/20M1315774
[53] Soize,C。;Ghanem,R.,流形上数据库的多项式混沌表示,计算物理杂志,335201-221(2017)·Zbl 1375.60028号 ·doi:10.1016/j.jcp.2017.01.031
[54] 贝纳多,JM;史密斯,AFM,贝叶斯理论(2000),奇切斯特:威利·Zbl 0943.62009号
[55] MC肯尼迪;O'Hagan,A.,计算机模型的贝叶斯校准,J R Stat Soc Ser B(Stat Methodol),63,3,425-464(2001)·Zbl 1007.62021号 ·数字对象标识代码:10.1111/1467-9868.00294
[56] Congdon,P.,贝叶斯统计建模(2007),纽约:威利,纽约
[57] 英国石油公司卡林;Louis,TA,数据分析的贝叶斯方法(2008),纽约:Chapman和Hall/CRC,纽约·Zbl 1165.62003号 ·doi:10.1201/b14884
[58] Marin,J。;Pudlo,P。;罗伯特·C。;Ryder,R.,近似贝叶斯计算方法,统计计算,22,6,1167-1180(2012)·兹比尔1252.62022 ·doi:10.1007/s11222-011-9288-2
[59] 斯科特,SL;拦截器,AW;博纳西,FV;奇普曼,HA;乔治,EI;McCulloch,RE,Bayes和大数据:共识蒙特卡罗算法,国际管理科学与工程管理杂志,11,2,78-88(2016)·doi:10.1080/1759653.2016.1142191
[60] Soize,C。;加尼姆,R。;Desceliers,C.,《利用非高斯概率学习从小数据集对流形进行贝叶斯后验抽样》,《统计计算》,30,5,1433-1457(2020)·Zbl 1452.62987号 ·doi:10.1007/s11222-020-09954-6
[61] 马尔祖克,YM;纳吉姆,HN;Rahn,LA,高效贝叶斯反问题解的随机谱方法,计算物理杂志,224,2,560-586(2007)·Zbl 1120.65306号 ·doi:10.1016/j.jcp.2006.10.010
[62] Stuart,AM,《逆向问题:贝叶斯观点》,《数值学报》,第19期,第451-559页(2010年)·Zbl 1242.65142号 ·doi:10.1017/S0962492910000061
[63] Soize,C.,使用贝叶斯方法识别非常高维非高斯随机场的计算逆方法,计算方法应用机械工程,200,45-46,3083-3099(2011)·Zbl 1230.74241号 ·doi:10.1016/j.cma.2011.07.005
[64] Dashti,M。;斯图亚特,AM;加尼姆,R。;希格顿,D。;Houman,O.,《反问题的贝叶斯方法》,《不确定性量化手册》,第10章,第311-428页(2017年),查姆:施普林格,查姆·doi:10.1007/978-3-319-12385-17
[65] Arnst,M。;阿贝洛·阿尔瓦雷斯,B。;彭肖特,J-P;Boman,R.,Itó-SDE MCMC方法,用于不确定性量化随机扩展方法中与数据限制相关的误差的贝叶斯表征,计算物理杂志,349,59-79(2017)·Zbl 1380.62106号 ·doi:10.1016/j.jcp.2017.08.005
[66] 佩兰,G。;Soize,C.,在贝叶斯框架中间接识别随机场统计特性的自适应方法,计算统计,35,1,111-133(2020)·Zbl 1505.62316号 ·doi:10.1007/s00180-019-00936-5
[67] 拉塞尔,S。;Norvig,P.,《人工智能,现代方法》(2016),哈洛:皮尔逊,哈洛
[68] Gurney,K.,《神经网络导论》(1997),伦敦:CRC出版社,伦敦·doi:10.1201/9781315273570
[69] LeCun,Y。;Y.本吉奥。;Hinton,G.,《深度学习》,《自然》,521436-444(2015)·doi:10.1038/nature14539
[70] Soize,C。;Ghanem,R.,《歧管上的数据驱动概率集中和采样》,《计算物理杂志》,321242-258(2016)·Zbl 1349.62202号 ·doi:10.1016/j.jcp.2016.05.044
[71] Soize,C。;Ghanem,R.,流形上的概率学习,发现数据科学,2,3,279-307(2020)·doi:10.3934/fods.2020013年
[72] Soize,C.公司。;Ghanem,R.,带分区流形上的概率学习(plom),国际数值方法工程杂志,123,1,268-290(2022)·Zbl 07757774号 ·doi:10.1002/nme.6856
[73] Talwalkar A、Kumar S、Rowley H(2008)《大尺度流形学习》。2008年IEEE计算机视觉和模式识别会议。IEEE,第1-8页。doi:10.1109/CVPR.2008.4587670·Zbl 1317.68192号
[74] 戈里森,D。;库库特,I。;Demeester,P。;Dhane,T。;Crombecq,K.,《基于计算机的设计的代理建模和自适应采样工具箱》,J Mach Learn Res,11,68,2051-2055(2010)
[75] 奥兹蒂雷利,AC;Alexa,M。;Gross,M.,《流形的光谱采样》,ACM Trans Graph(TOG),29,6,1-8(2010)·doi:10.145/1882261.1869190
[76] Marzouk Y、Moselhy T、Parno M、Spantini A(2016)《通过测量传输进行采样:简介》。不确定度量化手册,第1-41页。doi:10.1007/978-3-319-11259-623-1
[77] 医学博士帕诺;Marzouk,YM,运输图加速马尔可夫链蒙特卡罗,SIAM/ASA J Uncertain Quantif,6,2,645-682(2018)·Zbl 1394.65004号 ·doi:10.137/17M1134640
[78] 佩兰,G。;Soize,C。;Ouhbi,N.,相关约束下未知块相关结构采样的数据驱动内核表示,计算统计数据分析,119139-154(2018)·Zbl 1469.62129号 ·doi:10.1016/j.csda.2017.10.005
[79] 齐利维斯,P。;Ghanem,R.,利用测地线上的变分推理和采样对混沌表示进行贝叶斯自适应,Proc R Soc A数学物理工程科学,474,2217,20180285(2018)·Zbl 1407.62087号 ·doi:10.1098/rspa.2018.0285
[80] Kevrekidis,Y.,参数简化的流形学习,Bull Am Phys Soc(2020)·Zbl 1452.37090号 ·doi:10.1016/j.jcp.2019.04.015
[81] 加尼姆,R。;Soize,C.,函数求值次数固定的概率非凸约束优化,国际数值方法工程杂志,113,4,719-741(2018)·Zbl 07867277号 ·doi:10.1002/nme.5632
[82] 加尼姆,R。;Soize,C。;Thimmesety,C.,《使用概率学习的最佳井眼布置》,数据启用Discov Appl,2,1,1-16(2018)·数字对象标识代码:10.1007/s41688-017-0014-x
[83] Soize,C.,使用概率学习算法在生物组织中中尺度植入物不确定性下的设计优化,计算力学,62,3,477-497(2018)·Zbl 1457.74142号 ·文件编号:10.1007/s00466-017-1509-x
[84] 加尼姆,R。;Soize,C。;萨夫塔,C。;欢,X。;拉卡泽,G。;Oefelein,JC;Najm,HN,使用流形上的概率学习对不确定性下的超燃冲压发动机进行设计优化,计算物理杂志,399(2019)·doi:10.1016/j.jcp.2019.108930
[85] 阿梅达,JO;Rochinha,FA,一种应用于风电场尾流转向优化的概率学习方法,J Comput Inf Sci Eng,23,1(2022)·数字对象标识代码:10.1115/1.4054501
[86] 加尼姆,R。;Soize,C。;梅雷斯,L。;Aitharaju,V.,复合材料系统数字孪生体的概率学习和更新,国际J数值方法工程(2020)·Zbl 07767895号 ·doi:10.1002/nmE6430
[87] Arnst,M。;Soize,C。;Bulthies,K.,通过流形上的概率学习从小数据集进行全局敏感性分析中sobol指数的计算,国际不确定量子化杂志,11,2,1-23(2021)·Zbl 1498.62356号 ·doi:10.1615/国际不确定性定量杂志.200032674
[88] Farhat,C。;特泽尔,R。;查普曼,T。;艾弗里,P。;Soize,C.,振动分析中模型形式不确定性量化的可行概率学习方法,AIAA J,57,11,4978-4991(2019)·doi:10.2514/1.J057797
[89] Soize,C。;加尼姆,R。;萨夫塔,C。;欢,X。;叶片,ZP;Oefelein,JC;拉卡泽,G。;Najm,HN,使用流形上的概率学习增强超燃冲压发动机的模型可预测性,AIAA J,57,1,365-378(2019)·doi:10.2514/1.J057069
[90] Soize,C。;Farhat,C.,非线性计算力学中建模和量化模型形式不确定性的概率学习,国际数值方法工程杂志,117819-843(2019)·Zbl 07865239号 ·doi:10.1002/nme.5980
[91] 吉列米诺,J。;Dolbow,JE,随机复合材料断裂路径的数据驱动增强,Mech Res Commun,103(2020)·doi:10.1016/j.mechrescom.2019.103443
[92] Soize,C。;Ghanem,R.,流形上的物理约束非高斯概率学习,国际数值方法工程杂志,121,1,110-145(2020)·Zbl 07841255号 ·doi:10.1002/nme.6202
[93] Soize,C。;Ghanem,R.,小数据集非线性偏微分方程约束流形上的概率学习,计算方法应用机械工程,380(2021)·兹比尔1506.65175 ·doi:10.1016/j.cma.2021.113777
[94] Duong T,Hazelton ML(2005)多元核密度估计的交叉验证带宽矩阵。Scand J Stat 32(3):485-506。doi:10.1111/j.1467-9469.2005.00445.x·Zbl 1089.62035号
[95] Duong,T。;考林,A。;科赫,I。;Wand,M.,《多元核密度估计的特征重要性》,《计算统计数据分析》,52,9,4225-4242(2008)·Zbl 1452.62265号 ·doi:10.1016/j.csda.2008.02.035
[96] Filippone M,Sanguinetti G(2011)多元核密度估计中带宽的近似推断。计算统计数据分析55(12):3104-3122。doi:10.1016/j.csda.2011.05.023·Zbl 1271.62083号
[97] Zougab,N。;Adjabi,S。;Kokonendji,CC,多元核密度估计中自适应带宽矩阵的贝叶斯估计,计算统计数据分析,75,28-38(2014)·Zbl 1506.62212号 ·doi:10.1016/j.csda.2014.02.002
[98] 泽林卡,I。;斯纳塞尔,V。;Abraham,A.,《优化手册:从经典到现代方法》(2013),纽约:Springer,纽约·Zbl 1251.90001号
[99] LeCun,Y。;博图,L。;Y.本吉奥。;Haffner,P.,《基于梯度的学习应用于文档识别》,IEEE Proc,86,11,2278-2324(1998)·数字对象标识代码:10.1109/5.726791
[100] Spall,JC,《随机搜索和优化导论:估计、模拟和控制》(2005),纽约:威利出版社,纽约
[101] Coello,CC,《进化多目标优化:该领域的历史观点》,IEEE计算智能杂志,1,1,28-36(2006)·doi:10.1109/MCI.2006.1597059
[102] 科纳克,A。;Coit,DW;Smith,AE,《使用遗传算法的多目标优化:教程》,Reliab Eng Syst Saf,91,9,992-1007(2006)·doi:10.1016/j.ress.2005.11.018
[103] Soize,C。;Batou,A.,存在大量局部弹性模式的低频动力学中的随机降阶模型,J Appl Mech(2011)·doi:10.115/1.4002593
[104] 吉列米诺,J。;Soize,C.,《关于表现材料对称性的随机弹性张量分量的统计相关性》,《弹性力学杂志》,111,2,109-130(2013)·Zbl 1273.74007号 ·doi:10.1007/s10659-012-9396-z
[105] 科伊夫曼,R。;Lafon,S.,《扩散图》,《应用计算哈蒙分析》,第21、1、5-30页(2006年)·Zbl 1095.68094号 ·doi:10.1016/j.aca.2006.04.006
[106] 拉丰,S。;Lee,AB,《扩散图和粗粒度:降维、图分区和数据集参数化的统一框架》,IEEE Trans-Pattern Ana Mach Intell,28,9,1393-1403(2006)·doi:10.1109/TPAMI.2006.184
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