阿鲁尼·乔达里;迈克尔·科伯;沙拉特·拉格文德拉 用移位整数格和立方复数改进近似Rips滤波。 （英语） Zbl 1487.55009号 J.应用。计算。白杨。 5，编号3，425-458（2021）。 本文致力于发展有限维欧氏空间中大型点集的拓扑不变量和同伦不变量的计算方法。在古典作品中已经做了很多工作[G.卡尔森，公牛。美国数学。Soc.，新Ser。46，第2期，255–308（2009年；Zbl 1172.62002号)][H.埃德尔斯布伦纳和J.L.哈勒，计算拓扑。介绍。普罗维登斯，RI:美国数学学会（AMS）（2010；Zbl 1193.55001号)], [H.埃德尔斯布伦纳等人，《离散计算》。地理。28，第4期，511-533（2002年；Zbl 1011.68152号)]. 但这个话题总是带来新的问题。设（P）是欧氏空间中的一组点（{mathbbR}^d），设（alpha\geq0）是实数。中\（P\）上的Rips复合体规模\（α）是一个单纯形复数，其单纯形（σ=（p_0，dots，p_n）的直径最多为（α），其中所有（0leqi\leqn）的直径为（p_i\in p）。在本文中，（{mathcal R}{alpha}）用欧几里德度量表示标度为（2\alpha）的Rips复形，而（{mathcal R}^{infty}{alha}）则用（L_{infty}）范数的度量表示。当\（alpha\）从\（0）增加到\（infty）时，Rips复合物形成过滤。同源性\（H（{mathcal R}_{alpha}）\）构成持久性模块。轴分为开放区间，在每个开放区间内复数（{mathcal R}_{alpha}）的同源向量空间（和孔数）不变。这种区间划分称为研究点云的条形码。从文本中可以看出：“Rips复合体的计算缺陷在于它们的绝对大小：Rips复数的（k）骨架（也就是说，最多只考虑大小为（k+1）的子集）由（Theta（n^{k+1}））简单组成，因为每个\)-子集连接复合体以获得足够大的参数。这种尺寸限制使得即使对于低维同源特征，也无法对大点云进行条形码计算。这一困难引发了这样一个问题，即在不显式构建所有简单结构的情况下，我们可以对Rips过滤的条形码说些什么。我们使用近似技术解决这个问题。条形码空间形成一个度量空间：如果相似的同源特征出现在大致相同的范围内，则两个条形码是相近的。更准确地说，瓶颈距离被用作条形码之间的距离度量。第一近似方案D.R.希伊【离散计算几何》49，第4期，778–796（2013；Zbl 1280.55005号)]对于任意有限度量空间，仅使用（n（frac{1}{varepsilon}）^{O（lambdak）}）单形构造Rips过滤的（k\）骨架的（1+varepsilen）-近似，其中（lambda）是度量的加倍维。Rips复数的进一步逼近技术[T.K.戴等，摘自：《第30届计算几何年度研讨会论文集》，SoCG’14，日本京都，2014年6月8日至11日。纽约州纽约市：计算机协会（ACM）。345–354（2014年；Zbl 1395.68299号)]和密切相关的采气综合体[M.B.博特南和G.斯普里曼，申请。代数工程通讯。计算。26，第1-2期，第73-101期（2015年；Zbl 1320.55002号);N.J.卡瓦纳等，LIPIcs–莱布尼茨国际程序。通知。34, 23–25 (2015;Zbl 1378.68163号);M.Kerber先生和R.Sharathkumar公司，莱克特。注释计算。科学。8283, 666–676 (2013;Zbl 1406.68119号)]随后导出，所有这些都具有可比较的大小边界。最近，我们构造了一个近似方案[A.乔达里等，第30届ACM-SIAM离散算法年会论文集，SODA 2019。宾夕法尼亚州费城：工业和应用数学学会（SIAM）；纽约州纽约市：计算机协会（ACM）。2675–2688 (2019;Zbl 1432.68474号)]（{mathbb R}^d）中具有（n（frac{1}{varepsilon}）^{O（d在[A.乔达里等人，《离散计算》。地理。61，第1期，42–80页（2019年；Zbl 1441.62937号)]构造了欧氏空间中Rips滤波的一个近似方案，该方案只产生了较差的近似因子“O（d）”，但只使用了“（n2^{O（d\log{k}+d）}”单形。这里还显示了近似大小的一个下限结果：对于任何具有常数（c在（0，1）中）的（varepsilon<1/log^{1+c}n），任何（varepsilon）-近似过滤都具有大小（n^{Omega（log\logn）}）。摘自正文：“也有人在使用立方复合体计算持久同源性方面的工作，例如[H.瓦格纳等，数据分析和可视化中的拓扑方法II。理论、算法和应用。基于数据分析和可视化中基于拓扑的方法第四次研讨会，TopoInVis 2011。柏林：斯普林格。91–106 (2012;Zbl 1246.68245号)]. 立方复数通常比简单复数小，只是因为它们避免了三角剖分。然而，据我们所知，还没有尝试将它们用于计算过滤的近似值。此外，虽然有有效的方法计算与单纯形映射相连的单纯形复数的持久性([T.K.戴等，位置。引用文献][M.Kerber先生和H.施赖伯，LIPIcs-莱布尼茨国际程序。通知。77，第57条，第16页（2017年；Zbl 1436.55009号)])，我们还没有发现立方体复合体有这样的对应物。我们的贡献对于在（L_{infty}）范数中取距离的（{mathbb R}^d）中的（n）点的Rips过滤，我们给出了一个（2）-近似，其（k）-骨架的大小最多为[n6^{d-1}（2k+4）（k+3）！左{开始{矩阵}d\\k+2\结束{矩阵}\right\}=n2^{O（d\log k+d）}\]其中\（left\{开始{矩阵{a\\b）表示第二类斯特林数。这转化为欧几里德度量中Rips过滤的（2d^{0.25}）近似，因此改进了我们之前方法的渐近近似质量[A.乔达里等，位置。引用]具有相同大小的边界。与所有以前的方法相比，我们的方案提供了最佳的大小保证。在较高的层次上，我们的方法遵循一个简单的近似方案：给定一个缩放且适当移动的整数网格（{mathbb R}^d），我们识别那些接近输入点的网格点，并使用这些网格点构建一个近似复合体。挑战在于如何将这些网格点连接到一个简单的复合体中，这样就近连接网格点，同时避免过多的连接以保持较小的尺寸。我们的方法首先在网格上定义的立方体复合体中选择一组活动面，并使用该立方体复体的重心细分定义近似复合体。我们还描述了一种输出敏感算法来计算近似值。通过随机化上述网格的移动，我们得到了最坏情况下的运行时间预期为（n2^{O（d）}\log\Delta+2^{O审核人：艾哈迈特·库萨诺夫（Komsomolsk-om-Amur） 引用于1文件 MSC公司： 55N31号 持久同源性及其应用，拓扑数据分析 62R40型 拓扑数据分析 关键词：持久同源性;撕裂过滤;条形码;近似算法;拓扑数据分析 引文：Zbl 1172.62002号;Zbl 1193.55001号;Zbl 1011.68152号;Zbl 1280.55005号;Zbl 1395.68299号;Zbl 1320.55002号;Zbl 1378.68163号;Zbl 1406.68119号;Zbl 1432.68474号;Zbl 1441.62937号;Zbl 1246.68245号;Zbl 1436.55009号 软件：索菲娅 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{A.Choudhary}等人，J.Appl。计算。白杨。5、编号3、425--458（2021；Zbl 1487.55009） 全文： 内政部 arXiv公司 OA许可证 参考文献： [1] 博特南，M。；Spreemann，G.，通过塌陷近似欧几里德空间中的持久同源性，应用。代数工程通讯。计算。，26, 1-2, 73-101 (2015) ·Zbl 1320.55002号 ·doi:10.1007/s00200-014-0247-y [2] Bourgain，J.，《关于有限度量空间在Hilbert空间中的Lipschitz嵌入》，以色列数学杂志。，52, 1-2, 46-52 (1985) ·Zbl 0657.46013号 ·doi:10.1007/BF202776078 [3] Bubenik，P。；Scott，JA，持久同源的分类，离散计算。地理。，51, 3, 600-627 (2014) ·Zbl 1295.55005号 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