德巴马利亚·巴萨克;Kunjakanan纳特;亚历山大·扎哈里斯库 小二次剩余和非剩余的高斯现象。 （英语） Zbl 1528.11074号 事务处理。美国数学。Soc公司。 376，第5号，3695-3724（2023）. 设\（p\）是一个奇素数，\（n_p\）表示最小二次非剩余模。国际货币基金组织。维诺格拉多夫证明了（n_p\llp^{frac{1}{2\sqrt{e}}\log p\），并推测对于任何固定的（varepsilon>0），（n_p \ll{varepsilon}p^{varepsilon}）。最佳上界\（n_p\llp^{frac{1}{4\sqrt{e}}+\varepsilon}\）是由于D.A.Burgess博士[Mathematika 4，106–112（1957年；Zbl 0081.27101号)]. 假设广义黎曼假设（GRH），N.C.安肯尼[数学年鉴（2）55，65–72（1952；Zbl 0046.04006号)]显示了\（n_p\ll（\log p）^2），并且Y.拉姆佐里等【数学计算84，No.295，2391–2412（2015；Zbl 1326.11058号)]获取显式绑定\（np\le（\log p）^2）。给定一个整数（m）和一个正整数（h），表示（S_h（m，p）=sum{n=m+1}^{m+h}（frac{n}{p}））。在本文中，作者证明了由于H.达文波特和P.Erdős公司[《数学评论》第2期，252-265页（1953年；兹比尔0050.04302)]格式为\（[1，（\log p）^A]\）的极短间隔，带有任意\（A>1\）。它们表明，当（p）被限制在一个短区间内时，（S_h（m，p））呈现高斯分布。定理1.1。设\（\eta\in（\frac12,1]\）和\（A>1\）为任意常数。对于每个素数（p），选择一个满足（h_p\to\infty）和（frac{\logh_p}{\log\logp}\to0）的整数（h_p）作为（p\to\infty）。然后存在一个素数的（eta）-强集（mathcal{B}），对于任何（mathbb{R}中的lambda\），[lim_{substack{p\to\infty\\p\in\mathcal{B}}}\frac{\#\{1\le-m\le（\log p）^A:S_{h_p}（m，p）\le\lambda-h_p^{\frac12}\}}{（\logp）^A}=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\lambda}e^{-t^2/2}dt，其中是素数集的子集如果\（\#\{（\mathbb{p}\setminus\mathcal{B}）\cap[X，X+X^{\ta}]\}\le\frac{X^{eta}}{（log X）^{1+\delta}}）适用于所有足够大的（X）和一些（delta>0）。本文处理的另一个问题是模两个不同素数的二次剩余和非剩余的分布以及它们之间的关系。作者表明，这种分布也是高斯分布。审核人：科工（开封） MSC公司： 11层40 字符和的估计 11号60 与加法函数和正乘法函数相关的分布函数 11号36 筛分法的应用 关键词：高斯分布;二次残差和非残差;短间隔素数;无平方数 引文：Zbl 0081.27101号;Zbl 0046.04006号;Zbl 1326.11058号;Zbl 0050.04302号 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{D.Basak}等人，翻译。美国数学。Soc.376，No.5，3695--3724（2023；Zbl 1528.11074） 全文： 内政部 参考文献： [1] 北卡罗来纳州安肯尼，《最小二次非残差》，《数学年鉴》。(2), 65-72 (1952) ·Zbl 0046.04006号 ·doi:10.2307/1969420 [2] Baier，Stephan，《关于最小（n）与（chi（n）neq 1）的评论》，Arch。数学。（巴塞尔），67-72（2006）·Zbl 1084.11050号 ·doi:10.1007/s00013-005-1382-2 [3] Baker，R.C.，《连续素数之间的差异》，Proc。伦敦数学。Soc.（3），261-280（1996）·Zbl 0853.11076号 ·doi:10.1112/plms/s3-72.261 [4] 贝克，R.C.，连续素数之间的差异。二、 程序。伦敦数学。Soc.（3），532-562（2001）·Zbl 1016.11037号 ·doi:10.1112/plms/83.3.532 [5] Bober，Jonathan，《大字符和的频率和结构》，《欧洲数学杂志》。Soc.（JEMS），1759-1818（2018）·Zbl 1409.11079号 ·doi:10.4171/JEMS/799 [6] Burgess，D.A.，二次剩余和非剩余的分布，Mathematika，106-112（1957）·兹比尔0081.27101 ·doi:10.1112/S0025579300001157 [7] Chan，O-Yeat，Davenport-Erd结果的多维版本\H{o} 秒，J.整数序列。，第03.2.6条，第9页（2003年）·Zbl 1142.11348号 [8] Davenport，H.，二次型和更高残基的分布，Publ。数学。德布勒森，252-265（1952）·Zbl 0050.04302号 [9] Duke，W.，椭圆曲线的Linnik问题和自守表示的均值估计，发明。数学。，1-39 (2000) ·Zbl 1033.11026号 ·doi:10.1007/s002229900017 [10] Evertse，J.-H.，（Y^n=f（X））的解数的一致界，数学。程序。剑桥菲洛斯。《社会学杂志》，237-248（1986）·Zbl 0611.10009 ·文件编号：10.1017/S0305004100066068 [11] 安德鲁·格兰维尔（Andrew Granville），《大字符和》（Large character sums），J.Amer。数学。Soc.，365-397（2001年）·Zbl 0983.11053号 ·doi:10.1090/S0894-0347-00-00357-X [12] 安德鲁·格兰维尔（Andrew Granville），《大字符和：自命不凡的字符和P》{o} 利亚·维诺格拉多夫定理，J.Amer。数学。《社会学杂志》，357-384（2007）·Zbl 1210.11090号 ·doi:10.1090/S0894-0347-06-00536-4 [13] Andrew Granville，《大字符和：伯吉斯定理和（L）-函数的零点》，《欧洲数学杂志》。Soc.（JEMS），1-14（2018）·Zbl 1444.11177号 ·doi:10.4171/JEMS/757 [14] A.Harper，《关于短移动间隔上字符和的注释》，《预打印》，2203.094482022年。 [15] Konyagin，Sergei V.，短区间二次非残基，Proc。阿默尔。数学。Soc.，4261-4269（2015年）·Zbl 1378.11012号 ·doi:10.1090/S0002-9939-2015-12584-1 [16] 库库洛普洛斯，迪米特里斯，素数的分布，数学研究生课程，xii+356 pp.（[2019]©2019），美国数学学会，普罗维登斯，RI·Zbl 1468.11001号 ·doi:10.1090/gsm/203 [17] Lamzouri，Youness，模字符和的随机性，《数论》，2779-2792（2012）·Zbl 1320.11076号 ·doi:10.1016/j.jnt.2012.05.024 [18] Lamzouri，Youness，短字符和的分布，数学。程序。剑桥菲洛斯。《社会》，207-218（2013）·Zbl 1325.11082号 ·doi:10.1017/S0305004113000170 [19] Lamzouri，Youness，最小二次非剩余问题的条件界及相关问题，数学。公司。，2391-2412 (2015) ·Zbl 1326.11058号 ·doi:10.1090/S0025-5718-2015-02925-1 [20] Linnik，U.V.，关于最小二次非剩余的评论，C.R.（Doklady）Acad。科学。URSS（N.S.），119-120（1942）·Zbl 0063.03570号 [21] G.P’olya，“Uber die verteilung der quadratischen Reste und Nichtrest，Nachr.K.Ges.Wiss.G”，奥廷根（1918），21-29。 [22] 卡尔·普拉查“{U} 错误率莫纳什（Monatsh），克莱恩斯特·夸夸弗雷·扎尔·艾纳（Zahl einer），算术大师赖赫（Reihe）。数学。，173-176 (1958) ·Zbl 0083.03704号 ·doi:10.1007/BF01301288 [23] Shohat，J.A.，《力矩问题》，美国数学学会数学调查，第一卷，xiv+140页（1943年），美国数学协会，纽约·Zbl 0063.06973号 [24] I.M.Vinogradov，《权力的分配与非权力的分配》，J.Phys。数学。Soc.Perm公司。1 (1919), 94-98. 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。