杨，杨;司志勇 不可压缩MHD方程的一致投影有限元方法。 （英语） 兹比尔1482.76081 申请。分析。 100，第12号，2606-2626（2021）. 本文研究不可压缩MHD方程的全离散投影有限元方法。在引言中，讨论了磁流体动力学问题，作者阐明了他们考虑的是中等磁雷诺数，但较大的流体动力学雷诺数。导言的其余部分讨论了之前关于MHD方程离散化和投影方法的一些结果，这些方法最初由A.J.乔林[数学计算.22745-762（1968年；Zbl 0198.50103号)]和雷曼（R.Témam）[《建筑定量力学分析》33、377–385（1969；Zbl 0207.16904号)]解耦Navier-Stokes方程中的速度和压力。本文的思想是探索最初由R.H.诺切托和J.-H.皮奥MHD方程[Numer.Math.98，No.4，695-702（2004；Zbl 1065.65130号)]. 因此，它可以被视为Nochetto和Pyo关于Navier-Stokes方程和Boussinesq方程的出版物的延伸。第二部分考虑了对所提出的投影有限元方法的描述，包括整个论文中使用的空间和假设。作者对连续空间使用标准假设。对于离散空间，作者似乎假设了一个点态无发散速度和磁场的赫兹空间。这似乎是一个疏忽，因为这通常意味着一个不连续（不一致）的安萨茨空间，但在弱公式中没有考虑到这一点。此外，原始论文也没有这样的要求。此外，虽然在后面的分析中，尤其是对于斯托克斯投影仪，inf-sup条件似乎至关重要，但并未讨论。尚未引入空格\（P_h\）。似乎作者忽略了此处使用的空间的关键假设。此外，三线性/非线性对流项B_h从未被正确定义，但可以从上下文中推导出来。这里重要的是说明所使用的确切版本，因为标准的非对称形式通常不是斜对称的，除非只考虑逐点无发散函数，这是值得怀疑的。在陈述了一些更标准的假设之后，作者在算法2.1中引入了一致投影方法。这（预计）与最初的Gauge-Uzawa方法非常相似。但是，不清楚如何定义\（E_h^0）。关于连续解的正则性的进一步假设是标准的，并且与原论文一致，但导出的引理当然依赖于离散的inf-sup条件。下一节将讨论拟议方案的稳定性分析，并密切关注（即使使用相同的词语）Nochetto和Pyo的相应论文。结果表明，类似的界成立，即离散解的离散范数由初始数据限定。不过，演示文稿似乎很简短。值得注意的是，该证明具有与雷诺数相关的上界，而该定理并未明确提及这种相关性。第四节是该方法的误差分析。作者从半离散线性MHD方程的稳定性结果开始，该结果与之前证明的结果相似，基本上表明解的范数受力项和初始数据的限制。本节剩余部分的思想是推导连续解和半离散解之间的误差估计。定理4.1与原论文中相应的引理4.1非常相似。特别地，证明了能量范数的一阶收敛性。在引理4.3和定理4.2中考虑完整格式的误差估计之前，引理4.2涉及更高导数的一些稳定性结果。读者很难看到定理4.1和引理4.2的结果是如何准确地用于以下内容的。全误差估计的剩余部分，即半离散和全离散格式解之间差异的估计，其思想是使用半离散方程的Stokes投影作为中间步骤。同样，在定义错误分解时，原始论文和本文提出的工作在语言上的相似性是惊人的。定理4.2中的最终估计显示了与原论文中引理4.4（速度收敛的约化速度）相对应的时间和空间收敛性。定理4.3将结果推广到与原论文引理4.7（速度的完全收敛速度）相对应的磁场中速度的L^2范数的收敛结果。最后一节显示了一些数值结果，这些结果应该证实了之前证明的误差估计。作者选择了一个光滑的参考溶液，并根据制造溶液的方法比较了误差。不幸的是，作者没有阐明问题的域是什么。由于应该使用零边界条件，可以推断出它应该是（[-1,0]^2）。误差的呈现也相当罕见，因为结果是以线性增加的倒数均匀网格尺寸来评估的，而不是选择二次幂。由于本文的主题是MHD方程的完全离散化，所以也令人惊讶的是，没有考虑在时间上收敛的结果。此外，MHD方程的解经常会受到正则性降低的影响，而且对于更现实的测试用例，所提出的方案将如何执行将是非常有趣的。总的来说，本文通过展示Gauge-Uzawa方法对MHD方程的适用性，涵盖了一个有趣的主题。在进行关键假设时要更加谨慎，并更详细地说明以后如何使用中间结果，这将有助于演示。此外，无论是在技术上还是在词语的选择上，论文都与原稿保持了非常接近的水平。有些段落似乎只是简单地复制并作了相应的修改。不幸的是，这篇论文还遗漏了一个很好的数值演示。审核人：丹尼尔·阿恩特（橡树岭） 引用于6文件 MSC公司： 76M10个 有限元方法在流体力学问题中的应用 76周05 磁流体力学和电流体力学 65个M12 含偏微分方程初值和初边值问题数值方法的稳定性和收敛性 65岁15岁 涉及PDE的初值和初边值问题的误差界 关键词：最佳误差估计;有限元法;不可压缩MHD Navier-Stokes方程;无条件稳定性 引文：Zbl 0198.50103号;Zbl 0207.16904号;Zbl 1065.65130号 软件：自由Fem++ PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{Y.Yang}和\textit{Z.Si}，应用。分析。100，编号122606-2626（2021；兹bl 1482.76081） 全文： 内政部 参考文献： [1] Moreau，R.，《磁流体动力学》（1990年），多德雷赫特：科鲁沃，多德雷赫特·Zbl 0714.76003号 [2] Gerbeau，J.，《不可压缩磁流体动力学方程的元素法》，《数值数学》，87，83-111（2000）·Zbl 0988.76050号 ·doi:10.1007/s002110000193 [3] 杰博，J。；LeBris，C。；Lelivre，T.，液态金属磁流体动力学的数学方法（2006），牛津：牛津大学出版社，牛津·Zbl 1107.76001号 [4] He，Y.，三维不可压缩MHD方程Euler半隐式格式的无条件收敛，IMA J Numer Anal，35，767-801（2015）·Zbl 1312.76061号 ·doi:10.1093/imanum/dru015 [5] 莱顿，W。；Tran，H。；Trenchea，C.，用于解耦进化磁流体流动的两种分区方法的数值分析，数值方法部分差异Equ，30，1083-1102（2014）·Zbl 1364.76088号 ·doi:10.1002/编号21857 [6] Yuksel，G。；Ingram，R.，有限元数值分析。小磁雷诺数下MHD流动的Crank-Nicolson离散化，国际J数值分析模型，10，74-98（2013）·Zbl 1266.76066号 [7] Sermange，M。；Temam，R.，《与MHD方程相关的一些数学问题》，《Comm Pure Appl 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