朱兴文;何明艳;孙鹏涛 无网格深层神经网络方法与有限元方法求解非线性双曲/波动方程的比较研究。 （英文） Zbl 1513.65394号 国际期刊数字。分析。模型。 19，第5号，603-629（2022）. 摘要：本文研究了在高维空间（mathbb{R}^d）（d>1）中求解两类耦合非线性双曲/波偏微分方程（PDEs）的有限元方法（FEM）和无网格深层神经网络（DNN）方法，其中，要研究的第一个PDE系统是模拟浅水表面孤立波和波浪的耦合非线性Korteweg-De-Vries（KdV）方程，第二个PDE系是模拟孤立波和孤立波的耦合非线性Klein-Gordon（KG）方程。通过基于DNN近似解将每个PDE模型重新定义为最小二乘（LS）问题，然后使用（d+1）维时空采样点（训练）集优化LS问题，为两个耦合非线性PDE开发了一种全连接、前馈、多层、无网格的DNN方法。数学上，两个耦合非线性双曲问题在各自的偏微分方程理论上有显著差异；在数值上，它们通过完全连接的前馈DNN结构以统一的方式进行近似。作为对比，针对每个耦合非线性双曲方程组，分别采用空间上的Galerkin近似和时间上的有限差分格式，针对每个双曲偏微分方程组的不同特性，建立了一个独特而复杂的有限元模型。总的来说，与精细开发的、依赖于问题的有限元方法相比，所提出的无网格DNN方法可以对两个耦合非线性双曲型方程组进行统一开发，且不需要网格生成，但有限元方法可以生成与网格大小和时间步长有关的具体收敛顺序，甚至可以保留KG方程的总能量，而DNN方法就所采用的DNN结构的参数而言不能显示出明确的收敛模式，而只能显示出一种普遍的近似性质，即相对较小的误差，其大小几乎不会改变，更不用说KG方程的DNN近似能量耗散了。这两种方法都有各自的优缺点，通过比较所开发的有限元方法的收敛精度和基于不同类型的离散化参数在倍增过程中变化的双曲/波动方程的无网格DNN方法的逼近性能，在数值实验中也得到了验证，具体来说，比较从两种方法获得的KG方程的离散能量。 引用于2文件 MSC公司： 65M60毫米 涉及偏微分方程初值和初边值问题的有限元、Rayleigh-Ritz和Galerkin方法 6500万06 含偏微分方程初值和初边值问题的有限差分方法 65N30型 含偏微分方程边值问题的有限元、Rayleigh-Ritz和Galerkin方法 65K10码 数值优化和变分技术 65个M12 含偏微分方程初值和初边值问题数值方法的稳定性和收敛性 35L57型 高阶双曲方程组的初边值问题 35升75 高阶非线性双曲方程 35升70 二阶非线性双曲型方程 68问题32 计算学习理论 68T07型 人工神经网络与深度学习 76B25型 不可压缩无粘流体的孤立波 35C08型 孤子解决方案 第35季度53 KdV方程（Korteweg-de-Vries方程） 关键词：耦合双曲/波动方程;Korteweg-de-Vries（KdV）方程;Klein-Gordon（KG）方程;深度神经网络;有限元法;时空采样点（训练）集;最小二乘法;收敛精度;节能 软件：PPINN公司;DGM公司;亚当 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit｛X.Zhu｝等人，国际数字杂志。分析。模型。19，第5号，603--629（2022；Zbl 1513.65394） 全文： 链接 参考文献： [1] T Alagesan、Y Chung和K Nakkeeran。耦合非线性Klein-Gordon方程的孤子解。混沌，孤子与分形，21（4）：879-8822004·Zbl 1046.35092号 [2] A.Aly、G.Guadagni和J.B.Dugan。使用局部搜索的神经网络的无导数优化。2019年，IEEE第十届普及计算年度电子移动通信会议（UEMCON），第0293-0299页，2019年。 [3] D.N.Arnold和R.Winther。Korteweg-de-Vries方程的超收敛有限元方法。计算数学，38（157）：23-361982·Zbl 0487.76028号 [4] J.Bellazzini、V.Benci、C.Bonanno和A.M.Micheletti。非线性Klein-Gordon方程的孤子。高级非线性研究，10（2）：481-4992010·Zbl 1200.35248号 [5] M.Boiti、JJ-P Leon、M.Manna和F.Pempinelli。关于二维Korteweg-de-Vries方程的谱变换。反问题，2（3）：271-2791986·Zbl 0617.35119号 [6] 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