塔乌弗，马提亚斯;马丁·陶滕哈恩;伊万·维塞利奇 谐波分析和随机薛定谔算子。 （英语） Zbl 1403.35092号 Mantoiu，Marius（编辑）等人，光谱理论和数学物理。会议记录，智利圣地亚哥，2014年11月。巴塞尔：Birkhäuser/Springer（ISBN 978-3-319-29990-7/hbk；978-3-3169-29992-1/电子书）。算子理论：进展与应用254，223-255（2016）。 摘要：本调查基于2014年11月在圣地亚哥举行的随机薛定谔算子学院和智利卡托利卡天主教大学光谱理论和数学物理国际会议期间的一系列讲座。正如标题所示，本材料有两个重点：调和分析，更准确地说，几个自然函数类和薛定谔算子的独特延拓性质，更准确的说，它们的特征值、特征函数和相关微分方程的解的性质。它混合了从（相当）纯数学到（相当）应用数学的主题，以及可以追溯到整个世纪的经典问题和结果，直到最近甚至尚未发表的结果。所涵盖的材料的选择是基于为微型课程所做的选择，当然是符合作者研究兴趣的个人选择。关于整个系列，请参见[兹比尔1354.35004]. 引用于2文件 MSC公司： 35J10型 薛定谔算子，薛定谔方程 35卢比60 随机偏微分方程的偏微分方程 35-02 关于偏微分方程的研究综述（专著、调查文章） 关键词：随机薛定谔算子;微分方程解的唯一延拓原理 软件：天才 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{M.Täufer}等人，作品。理论：高级应用。254223-255（2016；Zbl 1403.35092） 全文： 内政部 arXiv公司 参考文献： [1] ，其中L（左）第页-函数的范数是从适当选择的子集上的局部数据中获得的W公司⊂R.定理3.2（Logvinenko–Sereda定理）。设γ，a>0.让W⊂对是(γ、 一个)- 厚度，即W是可测量的，对于所有间隔i⊂对长度为a |WüI|≥γ·a。 让p∈[1, ∞]、J⊂对是长度为b>的区间0，且ψ∈L第页（右）具有ˆψ 由J支撑。然后有一个常数C=C类(ab，γ)这样的话 ψL（左）第页(W公司)≥C(ab，γ)ψL（左）第页（右）.注意，右侧的常数不取决于间隔的位置J型，也不考虑集合的详细属性W公司.在这里一扮演天平的角色γ密度。洛格维年科和塞雷达用C类(ab，γ)=经验(−c(1 +ab公司)/γ)而Kovrijkine在[Kov01]中表明，常数C类(ab，γ)可以选择为多项式(γ/c)c（c）(1+ab公司)第页，共页γ.在这里c（c）表示与模型参数无关的通用常数。此外，他展示了Logvinenko–Sereda定理的以下定义：定理3.3（Kovrijkine–Logvinenko–Sereda定理）。设γ，a>0.让W⊂对是(γ、 一个)-厚。让p∈[1, ∞]、Jk个⊂对，千= 1, . . . , s为长度间隔b>0, 和ψ∈L第页（右）具有ˆψ由J支撑=∪秒k个=1J型k个.然后 ψL（左）第页(W公司)≥C(ab、γ、s、p)ψL（左）第页（右）使用C(ab、γ、s、p) = (γ/c)ab公司(c/γ)秒+秒−(p−1)/第页存在多维模拟ψ∈L第页（右d日)Logvinenko–Sereda定理，参见[Kov01，MS13]。定理3.3的以下结果是显著的。推论3.4。固定γ，a，b>0，秒∈N个.设B:L（左）2（右）→ L（左）2（右）是乘法 特征函数为(γ、 一个)-厚集。对于间隔J 长度b套F类(J型) ={f∈L}2（R）|支持（f）⊂J.虽然B不是内射的，但我们 有γab公司(c/γ)秒+秒−12ψL（左）2（右）≥BψL（左）2（右）≥ψL（左）2（右）所有ψ∈ ∪+秒k个=1F类(J型k个)c（c）(14)哪里+秒k个=1F类(J型k个)=跨度(F类(J型1), . . .F类(J型秒))而联盟遍历所有s元组 J型1, . . . , J型秒⊂对每个间隔的长度为b。没有子空间F类(J型k个)维数有限，但它们在单位上都是等价的。常量c（c）在（14）中，尤其不取决于间隔的位置J型k个这类似于一致测不准原理或受限等距性质的定义，但所有子空间的维数都是有限的。让我们回顾一下均匀不确定度原理，它在压缩感知和稀疏恢复中起着重要作用，例如[CRT06，FR13]。定义3.5.LetM、 n，秒∈N、，B类：RM（M）→对n个是一张线性地图，并且秒≤M.如果（1− δ秒)ψ2≤Bψ2≤(1 +δ秒)ψ2个代表所有人ψ∈对M（M）具有 支持ψ≤s，那么δ秒被称为限制等距常数（用于秒和B类)、和B类据说满足了一致测不准原理或受限制的 等距特性。通常在这里M（M）-n个虽然此定义涉及有限矩阵，但最有趣的情况是当M（M）变得非常大，并且想要对维度进行显式控制。然后，此设置与一维设置相差不太远。双边不等式（14）可视为定义3.5的一维模拟的一个实例。洛格维年科-塞雷达定理的这个和多尺度版本将在其他地方详细讨论。示例3.6（再次检查球面谐波）。让我们回到前面讨论的球谐函数示例1.9。根据Logvinenko–Sereda定理，人们还可以提出如何选择观测集的问题一L（左）⊂S2、，L（左）∈N、 这样所有人L∈N one有一个一致的可观测性不等式（f）∈FL（左）=（f）∈L2（S2）|f∈跨度{Y}（Y）l、 米|我(我+ 1)<L，−L<m<L,这是一个不平等|如果|2≤C|如果|所有人2人（f）∈FL（左）（15） S2系列一L（左）使用常量C>（C）不依赖于L（左）答案由[OCP13]的定理1给出。我们将其简化为更简单的S2情况。定理3.7（球面上的Logvinenko–Sereda定理）。一系列集合 一L（左）⊂S2系列，L∈N个，满意度(15)当且仅当存在r>0这样的话√体积一L（左）●B类(z、 第页/L（左）Γ = Γ第页：=infinf√>0. L（左）∈N个z（z）∈S2卷B类(z、 第页/L（左） 球是相对于测地线距离取的S2系列. √这里Γ起着密度的作用，而空间尺度由第页/L（左）这尤其意味着，为了（15）保持不变，我们需要r>0这样√对于每个L（左）∈N补语一c（c）L（左）不包含第页/L（左）-球。在下一节中，我们将探讨一个问题，如果所考虑的函数类不是由傅里叶条件给出的，而是由Schr¨odinger算子的本征函数或其线性组合给出的，那么到目前为止讨论的属性中哪一个仍然存在。这是一个自然的问题，因为特征函数的展开可以看作是傅里叶变换的模拟或推广。3.2. Schr¨odinger算子的特征函数L（左）>0，我们写∧L（左）= (−升/2，L/2)d日.我们假设∧∈{}Rd日,ΛL（左）和W公司⊂∧是∧的一个等分布子集。更准确地说，给定G、 δ>0，我们说序列z（z）j个∈对d日,j个∈(G公司Z）条d日是(G、 δ)-等分布的，如果∀j∈(G公司Z）条d日:B类(z（z）j个, δ)⊂ΛG公司+j。对应于(G、 δ)-等分布序列z（z）j个我们定义为L（左）∈GN集合8W公司δ=B类(z（z）j个, δ)∩Λ, j个∈(G公司Z）条d日如图1所示。请注意，集合W公司δ取决于G公司以及选择(G、 δ)-等分布序列和，如果∧=∧L（左），也在天平上L（左）图1W公司δ区域内∧=∧5⊂R2表示周期性（左）和非周期性（右）排列的球。有界且可测的势V（V）：Rd日→我们引入自共轭Schr¨odinger算子H（H）:=−Δ +V（V）在L（左）2（右d日). 如果∧=Rd日然后H（H）∧与H（H），如果∧=∧L（左）对于一些有限的L（左）然后H（H）∧表示限制−Δ +V（V）到L（左）带有Dirichlet、Neumann或周期边界条件的2（∧）。我们的目标是证明ψL（左）2(W公司≥CψL（左）2（右d日)对于本征函数ψ属于H（H）∧，带有显式δ)以及L（左）-独立常数C>（C）0.在一维情况下，这个问题简化为Gronwall不等式的应用，如[Ves96，KV02]中对实线上周期性排列的球和[HV07]中对度量图上的球所执行的，有关详细信息，请参阅预印本[HV06]中的引理10。我们在此重申（1）, δ)-等分布序列。引理3.8。让d= 1对于每个δ∈(0,1/2)有一个常数Cδ>0，这样 对于所有L∈2牛−1和Λ∈{}R,ΛL（左），V：R→对可测量且有界， 全部ψ∈W2,2(Λ)满足HΛψ=某些E的Eψ∈对，全部(1, δ)-等分布的 序列zj个，j∈Z轴，且所有k∈Z轴∩Λ我们有 ψL（左）2(B类(δ、 z（z）k个))≥C联合作战计划ψL（左）2(Λ1(k个))和ψL（左）2(W公司δ)≥C联合作战计划ψL（左）2(Λ), 哪里C类联合作战计划=+1/δ,第2页C类δ+2电压-电流∞−1.因此，我们确实在考虑备注1.3中讨论的类型（6）的不等式。k个,δ))k个, δ)⊂Λ. 通过Sobolev范数估计和特征值方程δ-相关常数C类δ>0，这样？x∂（f）k个(x个)≤2ψL（左）2(B类(x个+z（z）k个,δ))ψL（左）2(B类(x个+z（z）k个,δ))≤2 [C类δ+电压-电流∞]ψ2L（左）2(B类(x个+z（z）k个,δ))= 2 [C类δ+电压-电流∞]（f）k个(x个),详见[Ves96，KV02]。应用Gronwall引理，我们得到（f）k个(x个)≤第2页[C类δ+电压-电流∞]|x个|（f）k个(0)⇔ ψ2L（左）2(B类(x个+z（z）≤第2页[C类δ+电压-电流∞]|x个|ψ2k个,δ))L（左）2(B类(z（z）k个,δ)).（16） 定位x个∈(−1,1） 我们覆盖∧1(k个)由+1/δ,长度间隔δ并获得ψ2L（左）2(Λ1(k个))≤ +1/δ,第2页C类δ+2电压-电流∞ψ2L（左）2(B类(z（z）, k个,δ))这证明了第一个不等式。第二个不等式紧接着对不相交区间∧1求和(k个),k个∈Z轴∩∧.注意常数C类ucpin引理3.8独立于L（左）为此，我们将这种类型的估计称为无标度唯一延拓原理。这个结果的缺点是它仅限于一维情况。此外，我们没有跟踪显式δ-依赖性。现在我们来看多维情况。我们首先回顾定量的唯一连续估计。[BK05]中的以下定理可以理解为定理2.6、2.12和Ineq的类似物。（16） 适用于R上的Schr¨odinger操作员d日.定理3.9。设γ，V：R→对有界且可测，则u：R→C类一 的有界解Δu个=V u（V u）+带u的γ(0) = 1。然后是常数c，c∈(0,∞)，因此对于所有x∈对d日我们有最大值|u个(年)|+γ∞>c（c）经验−c|x个|4/3日志|x个|.(17)|y−x |≤1证据基于以下Carleman估计，见[EV03，BK05]。定理3.10。有α0，C>1使所有ρ>0有wρ：Rd日→对所有α的s.t≥ α0和u∈W2,2（右d日)B中有支架(ρ)0我们有α三w个−1−2αρu个2≤C1ρ4w个2ρ−2α(Δu个)2和|x个|≤w|x个|对d日对d日e（电子）ρρ(x个)≤ρ.（18） 备注3.11。（i） 事实上，人们可以选择ρ >0, 秒 ϕ: [0,∞)→[0, ∞),ϕ(秒) :=秒·经验−1−e（电子）−t吨日期,0t吨 w个ρ：Rd日→[0, ∞),w个ρ(x个) :=ϕ(|x |/ρ).然后ϕ是严格递增的连续函数，在（0,∞)甚至光滑，并且|x个|≤w|x个|e（电子）ρρ(x个)≤ρ为所有人x个∈B(0, ρ).（ii）该Carleman估计的特殊特征是，权重函数不是指数函数，例如在Ineq中。(9). 此外，使用α是获得指数4的关键/Ineq中的3个。(17). （iii）定理3.9是解决随机Schr¨odinger算子理论中一个长期存在的问题的关键步骤，即具有Bernoulli分布耦合常数的连续体Anderson模型的Anderson局部化。让我们强调一下Ineq中的精确衰减率。（17） 对于此应用程序至关重要。如果，而不是Ineq。（17） ，可以使用的版本只有略弱的版本，其中指数4/3将替换为1.35，我们无法使用相同的技术得出连续体Anderson–Bernoulli模型的本地化结论，参见[BK05，p.412]。有本地的L（左）2——定理3.9的变体，参见[GK13，BK13，RMV13]。作为一个例子，我们给出了[BK13]的定理3.4。定理3.12。让Λ⊂对d日是的开放子集对d日并考虑一个真正可测量的 和上的有界函数VΛ.让ψ∈W2,2(Λ)实值和ζ∈L2(Λ)是 由定义−Δψ+Vψ=ζ几乎到处都是Λ.让Θ⊂Λ是有界的并且 可测量集合，其中ψL（左）2(Θ)>0.设置 问(x、，θ）：=支持|y−x|对于x∈Λ. 年∈Θ考虑x0∈ΛΘ使得Q=问(x个0,Θ)≥1,距离(x个0,Θ)>0、和B(x个0,6问+ 2)⊂Λ。然后给出0< δ ≤最小值{}距离(x个0,Θ),1/24，我们有 δK（K）1+V（V）2/三∞问4/3+日志ψL2(Λ)ψL2(Θ)ψ2L（左）2(Θ)≤ ψ2L（左）2(B类(x个0,δ))+δ2ζ2L（左）2(Λ), 问(19)其中K>0是一个仅依赖于d的常数。备注3.13.在本案中ζ=0不等式（19）估计商ψL（左）2(Θ)ψL（左）2(B类(x个0,δ))两个本地L（左）2-用另一个这样的商表示的范数ψL（左）2(Λ)ψL（左）2(Θ).如果没有事先提供对后者的估计，人们可能会怀疑自己是在恶性循环中运行，还是在没有诱导锚的诱导中运行。事实上，对于许多应用，定理3.12中的界限，以及[GK13，RMV13]中的相应估计，都需要一些其他信息来补充。这与示例1.6和推论1.8中遇到的情况非常类似。只有当我们得到一些控制函数全球增长的估计值时（f）k个，我们可以说它在原点以多快的速度消失。备注3.14.定理3.12在[BK13]中的应用是为了获得Schr¨odinger算子在维上的状态密度外测度的界d日∈ {}1,2,三.尺寸限制源于衰减率4/3，并且如果不等式（19）可以用问4/3替换为问然而，在复值势的情况下，Meshkov的例子[Mes92]表明不可能提高指数4/3.梅什科夫的例子不适用于实际价值的潜力。然而，目前尚不知道如何利用这一潜在的额外特性来获得改进的定量唯一连续性估计。特别是，（19）的改进必须基于与Carleman估计不同的一些方法。让我们用Carleman估计（18）勾勒定理3.12证明的基本思想。定理证明示意图三.12.为了简单起见，我们仅限于特殊情况ζ≡0，∧=Rd日和x个0= 0. 我们无法应用Ineq。（18） 至ψ直接，因为ψ中不支持B类(第页)0 对一些人来说r>0.因此，起到切断作用是很自然的。我们选了三个年轮一1=B类(3δ/4)B类(δ/4)，A2=B类（2e）问)B类(3δ/4)，A3=B类（2e）问+ 1)B类（2e）问),和切断功能η∈C0∞（右d日; [0,1] ），如图2所示B类（2e）问+ 1)B类(δ/4） 以及最大值的属性{|∇η|, |}Δη|≤˜Θ1/δ2=：θ1开一1,⎪⎩η≡1开一2,（20） 最大值{|∇η|, |}Δη|≤θ2开一三,对于某些常数ОО1,Θ2>仅依赖于维度的0。注意，通过构造θ⊂A2●B类(问). 现在我们可以应用Ineq。（18） 带有ρ=2e问+2到功能u个=ηψ并使用乘积规则获得(一+b条+c（c）)2≤3(一2+b条2+c（c）2） 和|Δψ|=|Vψ|那个α三w个ρ−1−2αψ2≤C1ρ4w个2ρ−2α(ψΔη+ηΔψ+ 2 (∇η)T型∇ψ)2一2R型d日≤三C类1ρ4++w个2ρ−2α(ψ2|Δη|2+η2V（V）2∞|ψ|2+ 2|∇η|2|∇ψ|2). 一1一2一3自w个ρ−1≥1开一2我们可以将左侧的权重函数替换为w个ρ2−2α.对于这三个积分，我∈ {}1,2,三，在右侧，我们继续一我如下所示。自∇η= Δη ≡0和η ≡1开一2，我们可以包含第二个−2电子质量−Q−三δ−δδ三δ问2电子质量 −2电子质量+ 144442电子质量+ 1一三一2 Θ一1图2.切换功能η，环形一1,一2,一通过选择，将右侧的θ积分集转换为左侧的积分α非常大。对于第一个和第三个积分，我们使用cutoff函数的界（20）和Cacciopoli不等式来估计|∇ψ|2通过常数（取决于δ和V（V）∞)次|ψ|2，如需有关详细信息，请参阅[BK13]。把我们得到的一切放在一起α三w个ρ2−2αψ2w个ρ2−2αψ2+w个2ρ−2αψ2,(21)一2一1一3到乘法常数取决于δ,问,ρ,V（V）∞、θ1和θ2。现在我们用这个θ⊂A2●B类(问),一1⊂B(δ)以及我们对权重函数的界(ρ/|x个|)2α−2≤w2ρ−2α(x个)≤（e）ρ/|x|)2α−2开B类(ρ)获得2α−22α−22α−2α三ψ2 4eρψ2+eρψ2. 问ΘδB类(δ)第二版问∧如果α322α≥2ψ2L（左）2(Λ)/ψ2L（左）2(Θ),我们可以把ψ2进入左侧。结果是收集所有∧常数。注3.15.Ineq。（21）我们估计函数的值ψ在中间环上一2根据内部的值一1和外部一3年鉴。因此，我们有一个类似于哈达玛三圆定理1.7的几何情况。定理3.12中的定量唯一延拓估计有助于获得无标度的定量惟一延拓估计。如果∧=∧，则在[RMV13]中证明了以下定理L（左）并已适应∧=R的情况d日[TV15b]中。它是引理3.8的多维类似物，显式依赖于δ和电压-电流∞.定理3.16。让Λ∈ {}ΛL（左）,对d日.存在一个常数K∈(0, ∞)依靠 仅在维度d上，因此对于任何G>0, δ∈(0，G/2]，任何(G、 δ)- 等分布序列zj个，j∈(G公司Z）条d日，任何可测量且有界的V：Rd日→对, 任何L∈2牛−1和任何实值ψ∈W2,2(Λ)令人满意的|Δψ| ≤ |(电压-电流)ψ| 几乎无处不在Λ我们有 δK（K）(1+G公司4/三电压-电流2/三∞)ψL（左）2(ΛL（左）)≥ ψL（左）2(W公司δ)≥ψL（左）2(ΛG公司L（左）).（22）回忆一下W公司δ表示的并集δ-围绕均匀分布序列的球。与定理2.6相比，这里我们不依赖于集∧的直径L（左），因为我们不仅有一个基点x个0，但为等分布序列z（z）j个,j个∈(G公司Z）条d日备注3.17.此类估计被称为定量唯一连续估计，或不确定性原理，或可观测性估计。既然不依赖L（左）∈2牛−估计值称为无标度和常数/三电压-电流2/三C类sfuc=(δ/G)K（K）0(1+G公司∞)称为无标度唯一连续常数。对其他参数的依赖性也很有趣。只有超常V（V）∞潜在的进入，不知道V（V）除此之外，还使用了无正则性属性。常量C类中的sfucis多项式δ和（几乎）指数V（V）∞备注3.18为了证明定理3.16，我们使用了[RMV13]中的定理3.1，这与上述定理3.12非常相似。不同集合所扮演的角色如下：∧是函数所在的原始有限或有限立方体√ ψ已考虑。θ是62边的立方体+d日,以晶格点为中心k∈Λ∩Z轴d日立方体∧内。人们应该将θ视为单位立方体∧1的邻域(k个)在同一个中心k个.球B类(x个0, δ)放置在邻近∧1的下一个相邻单位立方体中(k个). 晶格位置存在问题k个在∧边界附近，但现在让我们考虑面∧上周期边界条件的情况。然后我们可以等效地考虑环面上的偏微分方程（无边界）。不幸的是，我们没有关于商的先验信息ψL（左）2(Λ)/ψL（左）2(Θ). 如前所述，如果没有此信息，则无法直接应用边界（19）。事实证明，先验界在某种平均意义上成立是有效的：并非对所有晶格点都成立k个∈Λ∩Z轴d日但只针对那些“体重最重”的人。为了使这一概念更加准确主要站点[RMV13]中介绍了。我们使用了以下明显但有用的观察：引理3.19（逆马尔可夫不等式）。让N，T∈N个μ是概率 N上的度量:={}1, . . . , N个.设置A:={n∈n|μ}(n个)≤11然后是μ(一)≤1/T、。 T型N个有关定理3.16证明的详细信息，请参见[RMV13]。备注3.20.如果我们既不处理本征函数ψ，也不是满足不等式的函数|Δψ| ≤ |(电压-电流)ψ|但对于特征函数的线性组合，应用定理3.16并不容易。正如我们将看到的那样，如何处理这个问题（至少）有两种方法：•如果包含相关特征值的能量区间足够小，则可以控制ζ非常有效。缺点是只允许较小的能量间隔。•或者使用更复杂的论点来充分利用Carleman估计的威力。这包括引入额外的重影维度，并基于Carleman估计使用两种不同的插值估计。所有这些将在下一节中讨论。3.3. Schr¨odinger算子的谱子空间在[RMV13]中，作者提出了Ineq是否成立的未决问题。（22）也适用于特征函数的线性组合，即φ∈跑χ(-∞，E](H（H）Λ). 这相当于χ(-∞，E](H（H）Λ)χW公司χ(-∞，E](H（H）Λ)≥Cχ(-∞，E](H（H）L（左）), δ明显依赖于C类关于参数δ,E类和V（V）∞.在这里χ我(H（H）∧）表示光谱投影仪H（H）∧到区间我在有限体积∧的情况下，[Kle13]给出了短能量区间的部分答案={}ΛL（左）并适用于∧=R的情况d日[TV15b]中。定理3.21。让Λ∈{}Rd日,ΛL（左）.有K=K（K）(d日)这样对于所有E、G>0, δ∈(0，G/2)，全部(G、 δ)-等分布序列zj个，任何可测量和有界 V（V）：Rd日→对，任意L∈2牛−1以及所有区间I⊂(-∞，E]具有1δK（K）1+G公司4/3(2V（V）∞+E类)2/三|I |≤2γ其中γ2=,2G公司4G公司 和所有φ∈跑χ我(H（H）Λ)我们有 φL（左）2(W公司δ)≥G4γ2φL（左）2(Λ).上述问题的完整答案，即任意紧能区间的定理3.21我⊂R已在[NTTV15]中给出，而完整的证据将在[NTTV]中提供。定理3.22。让Λ = ΛL（左）.有K=K（K）(d日)这样对于所有G>0，全部 δ∈(0，G/2)，全部(G、 δ)-等分布序列zj个，所有可测且有界 V（V）：Rd日→对，所有L∈GN个，所有E≥0和所有φ∈跑步(χ(-∞，b](H（H）Λ))我们有 L（左） φ2L（左）2(W公司≥Cφ2δ)sfuc公司L（左）2(ΛL（左）)哪里 √ C类sfuc公司=C类sfuc公司(d、 G、δ、E、，V（V）∞) :=δ∞+G公司E类. G公司让我们简短地讨论一下定理3.22的证明思路。通过扩展需要考虑的因素G公司仅为1。鉴于V（V）：Rd日→R和L∈N我们表示为ψk个,k个∈N、 的本征函数H（H）∧，具有相应的特征值E类k个。然后给出L（左） E类≥每个0φ ∈跑步(χ(-∞，E](H（H）∧））可以表示为φ=αk个ψk个具有αk个=ψk个, φ.(23)k∈N个Ek≤E √让对=+第18页d日,利用反射和平移，我们扩展了本征函数和势V（V）L（左）=V（V）|∧以这种方式到达∧RL公司扩展仍然解决了L（左）特征值方程。我们使用相同的符号V（V）L（左）和ψk个用于扩展版本。对于周期性、Dirichlet和Neumann边界条件，这是可能的。让我们更进一步F类:X（X）= ΛRL公司×对→C由定义F类(x、 x个d日+1) =αk个φk个(x个)秒k个(x个d日+1),(24)k∈N个Ek≤b哪里秒k个：R→R由⎪⎨sinh给出(λk个t吨)/λk个,E类k个>0,秒k个(t吨) = ⎪⎩t、，E类k个= 0,罪(λk个t吨)/λk个,E类k个<0,带有λk个=|E类k个|.功能F类全填充ΔF类=∂2我F类=V（V）L（左）F类∧上RL公司×对我=1和∂d日+1F类(·,0) =αk个ψk个(·)∧上RL公司. k∈N个Ek≤b特别是对于所有人x个∈ΛL（左）我们有∂d日+1F类(·，x个) =φ(x个). 这样我们就恢复了我们感兴趣的原始函数X（X）√√1= ΛL（左）×[−1,1] 和X（X）3= ΛL（左）+第18页√d日×[−第9页日期：，第9页d日]. 目标是获得H（H）1-的范数F类，更准确地说L（左）)≤FH（H）1(X（X）3)≤D2φL（左）2(W公司δ)（25）带有显式常数D类1和D类2独立于天平L（左）并在所有其他参数中明确显示。下限是使用集合∧的方式进行计算L（左）和X（X）3被选中。对于上限，我们使用两种不同的Carleman估计，即Ineq。（18） 和[LR95]附录中的命题1，并得出该函数的两个插值不等式F类。两个插值不等式如下所示，具有显式可控常数D类三，D类4和合适的套件U型1⊂U三⊂X3，有关如何操作的详细信息，请参阅[NTTV]U型1,U型3和X（X）3被选中。第3.23号提案。对于所有δ∈(0,1/2)，全部(1, δ)-等分布序列zj个，全部 可测和有界V：Rd日→对，所有L∈2牛−1，所有E≥0以及所有φ，F，如中所示(23)和(24)我们有 F类H（H）1(U型1)≤D三(∂d日+1F类)(·,0)1L（左）/22(W公司F类1/2δ)H（H）1(U型3).第3.24号提案。对于所有δ∈(0,1/2)，全部(1, δ)-等分布序列zj个，全部 可测和有界V：Rd日→对，所有L∈2牛−1，所有E≥0以及所有φ，F，如中所示(23)和(24)我们有 F类H（H）1(X（X）1)≤D4F类γH（H）1(U型F类1−γ1)H（H）1(X（X）3).现在让我们展示一下这两个插值不等式是如何应用于ob3的）≤ D类5F类H（H）1(X（X）1). 应用这两个插值不等式，我们得出结论F类H（H）1(X（X）3)≤D5D类4D类三F类1H（H）−γ1(X（X）3)(∂d日+1F类)(·,0)γ/2L（左）2(W公司F类γ/2δ)H（H）1(U型3).自U型三⊂X3我们发现F类H（H）1(X（X）3)≤(D类5D类4D类3)2/γ(∂d日+1F类)(·,0)L（左）2(W公司δ).自∂d日+1F类(·,0) =φ这提供了上限，并通过仔细估计所有常数得出了结果D类我,我∈ {}1, . . . ,5、和γ在一个更基本的环境中，[JL99]已经制定了这种证明策略。此外，[NTTV]使用了[GK13，RMV13]的想法。4.应用4.1。随机Schr¨odinger算子本节主要讨论具有随机势的Schr¨oding算子。这些算符充当无序凝聚物质的量子力学模型。为了深入了解相应的含时薛定谔方程解的演化行为，研究了相应椭圆偏微分方程解的谱和分析性质。这反过来又可以得出有关模型材料传输特性的结论。最受研究的随机Schr¨odinger算子类型是合金模型，也称为连续介质Anderson模型。我们将关注不同类型的随机算子，即随机呼吸模型。由于随机变量的非线性影响，这在分析上更具挑战性。在数学文献中，随机呼吸电位在 [2] ，并在[CHN01]和[KV10]学习。然而，所有这些论文都假设了非自然的规则性条件，不包括最基本和标准的单站点电位类型，其中u个等于球或立方体的特征函数。有关更多详细信息，请参阅[NTTV15，NTTV]。考虑一个序列ω= (ωj个)j个∈Z轴d日正的、独立的和同分布的随机变量。我们假设分布测度μ属于ωj个每隔一段时间支持[ω−, ω+]满足0≤ ω−< ω+<1/2标准 随机呼吸电位是函数吗j个)(x个), j个∈Z轴d日而家庭(H（H）ω)ω具有H（H）ω:=−Δ +V（V）ω在R上d日被称为标准随机数 通气器型号注意，随机势是非负的且一致有界的，因此算符H（H）ω几乎每个都是自共轭的ω∈Ω. 我们还定义了L（左）∈N操作员H（H）ω、 L（左）作为的限制H（H）ω到∧L（左）使用Dirichlet边界条件。H（H）ω、 L（左）是一个具有紧致预解式的下半有界算子。因此，其谱由有限个多重性的（随机）孤立特征值的有限序列组成E类1L（左）≤E2L（左）≤EL（左）三≤ · · ·.由于遍历性，随机算子的谱H（H）ω在整个空间上是确定的。这意味着有∑⊂R，这样σ(H（H）ω)=∑，几乎可以肯定。类似的说法适用于谱的绝对连续、奇异连续和纯点部分。对于大多数真正的随机模型，谱的奇异连续分量是空的，所以突出的问题是确定Schr¨odinger算子在某一能量区域是否表现出纯点谱或绝对连续谱，对应于局域态或离域态。在同一能量区域中混合使用两种类型的光谱将被视为物理异常。在我们要讨论的内容中，一个中心量是积分态密度（IDS）或谱分布函数N个(E类). 它是能量的函数，测量单位体积到该能量的能量状态数。定义如下：ETrχ(-∞，E](H（H）ω、 L（左）)N个(E类)：=极限,E类∈对. L（左）→∞L（左）d日先验地，不清楚极限是否存在，但在许多情况下，即当随机算子族是遍历的时，这是遍历定理的结果。有关更多详细信息和更多参考，请参阅专著[Sto01，Ves08]。我们对Wegner估计感兴趣，它是对区间内预期特征值个数的估计[E类−ε，E+ε]就ε和L（左）d日，∧的体积。这种估计在证明局部化方面起着重要作用，即几乎可以肯定的纯点谱的存在性H（H）ω靠近∑的底部。此外，我们的Wegner估计表明，积分态密度是H¨older连续的。为了证明Wegner估计，我们需要了解特征值是如何E类L（左）n个,n个∈第N个，共N个H（H）ω、 L（左）如果我们增加所有ωj个少量δ >0.我们使用符号H（H）ω+δ、 L（左）对于操作员H（H）ω,δ所有这些ωj个已被替换ωj个+δ.χW公司 δ/2V（V）ω+δ−伏ω图3.增量图示V（V）ω+δ−伏ω以及选择W公司 δ/2引理4.1（标准随机呼吸模型的特征值提升）。让Hω、 L（左） 如上所述，并假设ω∈[ω−, ω+]Z轴d日, δ≤1/2− ω+然后，对于所有L∈N个和所有n∈N个带En个L（左）(ω)∈(-∞，E0]我们有 δK（K）2+|E类0+1|1/2E类n个L（左）(ω+δ)≥En个L（左）(ω) +,2其中K是定理中的常数三.22特别地，K不依赖于L。 证明。功能V（V）ω+δ−伏ω是环形物不相交并的特征函数，每个环形物都有宽度δ，见图3。每个这样的环都包含一个半径为δ/2，参见图3V（V）ω+δ−伏ω≥ χW公司哪里δ/2χW公司是的特征函数W公司δ/2，联合δ-球，以δ/2 (1, δ)-等分布序列。我们表示本征函数，对应于E类L（左）我(ω+δ)由φL（左）我,我∈N.自E类n个L（左）(ω+δ)≤En个L（左）(ω) + 1≤E0+1，根据定理3.22φ∈跨度{φ}1, . . . , φn个 具有φ= 1, =>δK（K）2+|E类0+1|1/2φ, χW公司φ≥.2利用这一点和特征值的变分特征，我们估计E类L（左）n个(ω+δ) =φn个，Hω+δ、 L（左）φn个=最大值[φ、 小时ω、 L（左）φ+φ,(V（V）ω+δ、 L（左）−伏ω、 L（左）)φ]φ∈跨度{φ}1,...,φn个,φ=1 =>≥最大值φ、 小时ω、 L（左）φ+φ, χW公司φ φ∈跨度{φ}1,...,φn个,φ=1δ/2，L K（K）2+|E类0+1|1/2≥infmax⎣φ、 小时ω、 L（左）φ+δ⎦暗D类=n个φ∈D，φ=12δK（K）2+|E类0+1|1/2 =E类n个L（左）(ω) +.2将这个引理与[HKN+06]中针对合金型势随机Schr¨odinger算子开发的方法相结合，我们在[NTTV15，NTTV]中获得了标准随机呼吸模型的Wegner估计。定理4.2（标准随机呼吸模型的Wegner估计）。假设 μ具有支持的有界密度ν[ω−, ω+]具有0≤ ω−< ω+<1/2. 固定E0∈对.然后是C=C类(d、 E类0)和ε最大值=ε最大值(d、 E类0, ω+)∈(0, ∞)使得对于所有ε∈(0, ε最大值]和E≥0具有[E−ε，E+ε]⊂(-∞，E0]，我们有电子技师χ[E类-ε，E+ε](H（H）ω、 L（左）)≤Cν∞ε[K（K）(2+|E类0+1|1/2)]−1|自然对数ε|d日L（左）d日 其中K是定理中的常数三.22.常数ε最大值可以选择为11/2− ω+K（K）(2+|E类0+1|1/2)ε最大值=.42这里E表示随机变量的期望值ωj个，j∈Z轴d日根据Wegner估计，我们可以推断IDS是局部H¨older连续的。推论4.3（IDS的更高连续性）。对于每个E0∈对有常数1<E2≤E0我们有 |N个(E类2)−牛(E类1)|≤C·|E2−E1|c（c）. 证明。对于每个L（左）∈2牛−1我们有|电子技师χ(-∞，E2](H（H）ω、 L（左）)−电子技师χ(-∞，E1](H（H）ω、 L（左）)|≤电子技师χ[E类1，E2](H（H）ω、 L（左）)L（左）d日L（左）d日 ≤Cν∞E类2−E1[K（K）(2+|E类0+1|1/2)]−1·在E类2−E1d日22≤˜C类|E类2−E1|c（c）.备注4.4.在[NTTV，TV15a]中，我们建立了一类更一般的随机势的Wegner界。这里，为了简单起见，我们仅限于标准随机呼吸模型的情况。在我们目前所介绍的内容中，使用了无标度唯一延拓原理来删除所谓的覆盖条件事实上，这种情况出现在许多关于Wegner估计的早期结果中，例如，参见原始论文[Kir96，CH94]或专著[Ves08]中的详细讨论。由于覆盖条件在随机Schr¨odinger算子谱性质的其他类型的结果中起着作用，因此无标度唯一延拓原理是一个很有前途的工具，它不仅仅是Wegner估计的证明。例如，Shirley[Shi14]关于Minami估计和一维模型的谱统计的结果也使用了覆盖条件。可以很自然地推测，可以使用无标度唯一延拓原理来消除这种假设。事实上，这已经在最近的论文[Shi15]中得到了实现，见定理1.1。它将[NTTV15]的无标度唯一延拓原理用于一维配置空间，参见[Shi15，定理4.1]。4.2. 热方程的控制这里的目的是在多尺度几何中研究热方程控制成本，即L（左）2-在规定时间将系统归零的控制功能规范时间>我们考虑受控热方程∂t吨u个−Δu个+V u（V u）=fχW公司,u个∈L2([0，T型]×Λ),⎪⎩u个= 0,上（0，T型)× ∂Λ,(26)u个(0,·) =u个0,u个0∈L2(Λ),其中∧=∧L（左）是一个d日-边长立方体L（左）∈N和W公司是δ-∧内的球，由a（1）产生, δ)-等分布序列。在（26）中u个是州和（f）是通过控制集作用于系统的控制功能W公司⊂Λ. 我们说系统（26）在时间上是零可控的时间>0，如果每个初始状态都有u个0∈L2（∧）a控制功能（f）∈L2([0，T型]×宽)使得（26）的对应解在时间上为零T型众所周知，例如[FI96]，系统（26）在任何时候都是零位可控的时间>0.然而，我们想估算成本，即L（左）2-控制函数范数（f）∈L2([0，T型]×宽)相对于初始状态的规范u个0.可控性成本C类(T、 u个0）时间T型对于初始状态u个0由给定C类(T、 u个0）=输入（f）L（左）2([0，吨]×ω)|单位是（26）和的解u个(T、·) = 0.将定理3.22与[Mil10]的结果相结合，得出以下结果，详见[NTTV]。定理4.5。对于每个G>0, δ∈(0，G/2)和KV（V）≥0有 T型=T型(G、 δ，KV（V）)>0这样对于所有T∈(0，T型]，全部(G、 δ)-等分布序列，所有可测量 和有界V：Rd日→对d日具有V（V）∞≤KV（V）和所有L∈GN个、系统(26)是 具有成本的集合W上的零可控C类(T、 u个0)令人满意的C类(T、 u个0)≤2一0b条0e个c（c）∗/T型u个0L（左）2(Λ), 哪里 一0= (δ/G)−K(1+G公司4/三V（V）2/三∞), b条0=e2V（V）∞, c（c）∗≤在(克/δ)2(公斤+ 4/第2）2页和 K（K）=K（K）(d日)是定理中的常数三.22.备注4.6.同样的结果也适用于具有周期性或Neumann边界条件的受控热方程，具有明显的修正。致谢最后一位作者感谢随机薛定谔算子学院和谱理论与数学物理国际会议的组织者在智利卡托利卡蓬蒂菲西亚大学的邀请和盛情款待，感谢他们对这一微型课程做了笔记，以及J.-M.Barbaroux、N.Peyerimho off、G.Raikov、C.Rojas-Molina、A.R–uland和C.Shirley，鼓励讨论。此外，作者感谢I.Naki´c对热方程控制理论的持续讨论，感谢T.Kalmes对这份手稿的仔细阅读。工具书类 [3] J.Bourgain和C.E.Kenig，关于连续Anderson中的局部化 高维贝努利模型，发明。数学。161（2005），第2期，389–426·Zbl 1084.82005年 [4] J.Bourgain和A.Klein，Schr¨的态密度的界奥丁格 操作员，发明。数学。194（2013），第1期，第41–72页·Zbl 1362.35113号 [5] S.Brooks、E.Le Masson和E.Lindenstrauss，量子遍历性 和球上的平均操作符，国际数学。Res.Notices（2015），doi:10.1093/imrn/rnv337·Zbl 1404.35307号 [6] P.L.Butzer、W.Splittst–oßer和R.L.Stens，抽样定理与线性 信号分析中的预测，Jber。d.日期。数学-维莱因。90（1988年），第1期，第1-70页·Zbl 0633.94002号 [7] S.B–ocherer、P.Sarnak和R.Schulze-Pillot，算术和均匀分布 球面上的度量、Commun。数学。物理学。242（2003），第1-2期，第67–80页·Zbl 1090.11033号 [8] T.Carleman，解决问题eme d‘unicit’e pour les系统emes d’’’方程式aux d´埃里夫ees partielles的双工变量ind´附属物、方舟号、Mat、Astron。Fysik 26B（1939），编号17，1-9·Zbl 0022.34201号 [9] J.M.Combes和P.D.Hislop，某些连续随机变量的局部化 d维中的哈密顿，J.Funct。分析。124（1994），第1期，149-180·Zbl 0801.60054号 [10] J.M.Combes、P.D.Hislop和F.Klopp，H¨集成的旧连续性 一些随机算子在所有能量下的态密度，国际数学。Res.不。（2003），第4期，179-209。MR 1 935 272号·Zbl 1022.47028号 [11] J.M.Combes、P.D.Hislop和E.Mourre，谱平均，扰动 奇异谱和局部化，事务处理。阿默尔。数学。Soc.348（1996），第12期，4883–4894·Zbl 0868.35081号 [12] J.M.Combes、P.D.Hislop和S.Nakamura，l第页-光谱理论 位移函数、Wegner估计和积分态密度 一些随机算子、Commun。数学。物理学。218（2001），第1期，113-130·兹比尔1042.82024 [13] E.J.Cand´es、J.Romberg和T.Tao，从不完整中恢复稳定信号 以及不准确的测量、Comm.Pure Appl.公司。数学。59（2006），第8期，1207–1223·邮编1098.94009 [14] H.Donnelly和C.Fefferman，黎曼特征函数的节点集 歧管，发明。数学。93（1988），第1期，161-183·Zbl 0659.58047号 [15] Y.Colin de Verdi'ere，遍地开花拉普拉西恩propres du laplacien的功能、Commun。数学。物理学。102（1985），第3期，497–502·兹比尔0592.58050 [16] L.Escuriaza和S.Vessella，解的最优三柱不等式 到具有Lipschitz领先系数的抛物方程《反问题：理论与应用》（G.Alessandrini和G.Uhlmann，eds.），康特姆。数学。，第333卷，美国数学学会，2003年，第79-87页·Zbl 1056.35150号 [17] L.C.Evans，偏微分方程《数学研究生》，第19卷，美国数学学会，普罗维登斯，1998年·Zbl 0902.35002号 [18] A.V.Fursikov和O.Y.Imanuvilov，发展方程的可控性《演讲笔记系列》，第34期，首尔国立大学，1996年·Zbl 0862.49004号 [19] S.Foucart和H.Rauhut，压缩传感器的数学介绍- 惯性导航与制导，Birkh¨auser，巴塞尔，2013年·Zbl 1315.94002号 [20] F.Germinet和A.Klein，连续统局部化的综合证明- 具有奇异随机势的ous-Anderson模型《欧洲数学杂志》。Soc.15（2013），第1期，53–143·Zbl 1267.82066号 [21] J.哈达玛，勒奥cons-sur-la传播des ondes et les’德莱希方程- 流体动力学，A.赫尔曼，巴黎，1903年。[HKN+06]D.Hundertmark、R.Killip、S.Nakamura、P.Stollmann和I.Veselic，界限 关于谱移函数和态密度、Commun。数学。物理学。262（2006），第2期，489–503。[H–或69]L.H–或以下，线性偏微分算子1969年，柏林施普林格·Zbl 1121.47006号 [22] M.Helm和I.Veseli´c，合金类型Schr¨的线性Wegner估计奥丁格 度量图上的算子，arXiv:math/0611609，[math.SP]2006。 [23] ,合金类型Schr¨的线性Wegner估计上的odinger运算符 度量图，J.数学。物理学。48（2007），第9期，092107·Zbl 1152.81470号 [24] D.Jerison和C.E.Kenig，正特征的唯一延续和缺失- Schr¨的值odinger操作符，安。数学。121（1985），第3期，463-494·Zbl 0593.35119号 [25] D.Jerison和G.Lebeau，特征函数和的节点集《调和分析和偏微分方程》（M.Christ、C.E.Kenig和C.Sadosky编辑），芝加哥数学讲义，芝加哥大学出版社，1999年，第223-239页·Zbl 0946.35055号 [26] C.E.Kenig，二阶一致Sobolev不等式的Carleman估计 微分算子与唯一延拓定理，《国际数学家大会论文集》，1986年（A.M.Gleason编辑），美国数学学会，1986年，第948–960页·Zbl 0692.35019号 [27] W.Kirsch，合金型poten的Wegner估计和Anderson局部化- 头衔，数学。Z.221（1996），第1期，507–512·Zbl 0863.35069号 [28] A.克莱因，Schr¨光谱投影的独特延拓原理奥丁格 非遍历随机Schr¨的算子和最优Wegner估计奥丁格 操作员、Commun。数学。物理学。323（2013），编号31229-1246·Zbl 1281.47026号 [29] O.Kovrijkine，关于Logvinenko–Sereda定理的一些结果，程序。阿默尔。数学。Soc.129（2001），第10期，3037–3047·Zbl 0976.42004号 [30] C.E.Kenig、A.Ruiz和C.Sogge，关于唯一延拓定理的注记1986年，马德里阿联酋夏令营研讨会。 [31] I.库卡维察，二阶椭圆算子的数量唯一性杜克大学数学系。J.91（1998），第2期，225-240·Zbl 0947.35045号 [32] W.Kirsch和I.Veselic，一维状态密度的存在性 小支撑合金型势《量子力学中的数学结果》（R.Weber、P.Exner和B.Gr´ebert编辑），Contemp。数学。，第307卷，美国数学学会，2002年，第171-176页·Zbl 1042.35061号 [33] ,一类Schr¨的Lifshitz尾巴随机odinger算子 呼吸型电位，Lett。数学。物理学。94（2010），编号1，27-39·Zbl 1198.35064号 [34] J.E.利特伍德，控制ole exact de l’’’’拉查勒方程，加拿大皇家科学院。科学。154(1912), 335–356. [35] G.勒布和L.罗比亚诺，控制ole exact de l’’’’拉查勒方程、Commun。第部分。Diff公司。等式20（1995），编号1–2，335–356·Zbl 0819.35071号 [36] V.N.Logvinenko和Ju。F.塞雷达，整函数空间中的等价范数- 指数型、特尔。Funkci Funkcional公司。分析。《Priloázen》175（1974），第20期，第102–111页·Zbl 0312.46039号 [37] V.Z.梅什科夫，关于秒级溶液的可能衰变率 阶偏微分方程，数学。苏联Sb.72（1992），第2号，343–361·Zbl 0782.35010号 [38] L.Miller，类热可观测性的直接勒布-罗比亚诺策略 半群，离散连续动态-B 14（2010），第4期，1465–1485·Zbl 1219.93017号 [39] C.Muscalu和W.Schlag，经典和多线性谐波分析《剑桥高等数学研究》，第137卷，剑桥大学出版社，剑桥，2013年。[M–ul54]C.M–uller，关于微分方程δu解的性质=（f）(x、 u个)在一个点的附近、公共采购。申请。数学。7（1954年），第3期，505–515·兹比尔0056.32201 [40] I.Naki´c、M.T¨aufer、M.Tautenhahn和I.Veselic正在准备中。 [41] ,无标度不确定性原理和随机Wegner估计 呼吸电位，C.R.数学。353（2015），第10期，919–923·Zbl 1327.47034号 [42] J.Ortega-Cerd'a和B.Pridhnani，Carleson措施和Logvinenko–Sereda 紧流形上的集，论坛数学。25（2013），第1期，151-172·兹比尔1259.35148 [43] C.罗哈斯·莫利纳和I.维塞利奇，无标度唯一连续性估计和 随机Schr¨的应用odinger操作符、Commun。数学。物理学。320（2013），第1期，245–274·Zbl 1276.47051号 [44] I.Rodnianski和T.Tao，有效限制吸收原理及其应用- 阳离子、Commun。数学。物理学。333（2015），第1期，1-95·Zbl 1310.35204号 [45] W.Rudin，真实和复杂分析伦敦麦格劳希尔出版社，1970年·Zbl 0925.00005 [46] C.雪莉，统计光谱‘op’Schr®酿酒师奥丁格尔风土人情- 尺寸标注2014年，巴黎皮埃尔和玛丽·居里大学博士论文。 [47] C.雪莉，连续和离散游程的去相关估计- dom Schr¨公司维度一中的odinger算子，无覆盖条件，arXiv:1505.06112[math-ph]，2015年。 [48] P.Stollmann，被无序捕获：随机介质中的束缚态《数学物理进展》，第20卷，Birkh¨auser，波士顿，2001年·Zbl 0983.82016号 [49] M.T¨aufer和I.Veselic，标准运行的条件Wegner估计- dom呼吸电位，《统计物理学杂志》。161（2015），编号4902–914·Zbl 1329.82062号 [50] M.Tautenhahn和I.Veselic，L的抽样不等式2-本征范数- Schr¨的函数、光谱投影仪和Weyl序列odinger操作符，arXiv:1504.00554[math.AP]，2015年。 [51] I.维塞利克，Lokalisierung bei zuf¨allig-gest¨或周期性Schr¨奥丁格罗佩拉- 维数Eins中的toren，Diplorabeit，Ruhr-Universit？at Bochum，1996年出版网址：//www.ruhr-uni-bochum.de/mathphys/ivan/dipilmskiwwww-abstract.htm。 [52] I.维塞利克，积分态密度的存在性和正则性 随机Schr¨odinger操作符《数学课堂讲稿》，第1917卷，施普林格出版社，2008年·Zbl 1189.82004号 [53] T.H.沃尔夫，关于二阶椭圆唯一性的尖锐估计的最新工作 延拓问题、J.Geom。分析。3（1993），第6期，621-650·Zbl 0787.35017号 [54] S.泽尔迪奇，球面上的量子遍历性，公共数学。物理学。146（1992），第1期，第61–71页·Zbl 0759.58049号 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。