高，李;马吕斯·荣格;爱德华·麦克唐纳 具有非对易导数的量子欧几里德空间。 （英语） Zbl 1508.46052号 J.非通勤。地理。 16，第1期，153-213（2022）. 量子欧几里德空间在非交换几何（和量子物理）中以CCR代数、非交换欧几里得空间和Moyal平面的名义进行了研究。这些可以用投影仪（x_1，ldots，x_d）所跨越的von Neumann代数（mathbb R_theta）来识别，投影仪满足（[x_i，x_j]=-\mathrm{i}\theta{i，j}）和（mathrm}=\sqrt{-1}）的偏对称矩阵。此外，§2中详细构造了满足\[[x_k，x_j]=-\mathrm{i}\theta_{k，j}\quad[D_j，D_k]=0\quad\text{和}\quad[x_k，D_j]=\mathrm{i}\，\delta_{k,j}\text{代表所有}j，k=1，\ldots，D，\]在这些关系下，DO-演算被建立为（L_2（mathbb R_theta）上的算子[A.M.González-Pérez先生等，量子欧氏空间中的奇异积分。普罗维登斯，RI:美国数学学会（AMS）（2021；Zbl 1495.42001号)]. 在本文中，作者用更一般的规则取代了CCR\[[x_j，x_k]=-\mathrm｛i｝\，\theta_｛j，k｝，\quad[\xi_j，\xi_k]=-\mathrm｛i｝\，\theta'_{j，k｝，\quad[x_j，\xi_k]=\mathrm｛i｝\，\delta_{j，k｝\text｛for all｝j，k=1，\ldots，d，\]对于一个附加的偏对称矩阵（θ’），利用（θ=big（begin{smallmatrix}\theta&I&theta'end{smallmetrix}\big），对（L_2（mathbb R{theta}）上的DO理论进行了深入的发展。除了在数学上很自然之外，这些广义CCR的另一个优点是，在垂直于该平面的恒定磁场存在下，它们适用于（mathbb R^d）上带电粒子的量子动力学。每一个（xi_j）都是一个推广的协变导数（D_j）（“普通偏导数”），但关键是，（[\xi_i，\xi_j]\）不完全相同（0）（标题中的“非对易导数”）。这里发展的（Psi）DO演算还允许作者证明作用于Hilbert空间（mathcal H_\Theta=L_2（mathbb R_\Theta）\otimes\mathbb C^{N}）上的代数（mathcalA_\Thet=W^{1，\infty}（mathbbR_\Theta））上谱三元组的局部指数公式。在这里，定义了以下Dirac运算符\[D_{\Theta}=\sum_{j=1}^{D}\xi\otimes\gamma_j，\]其中\（\gamma_1，\ldots，\gamma_d\）生成Clifford代数\（\mathrm{氯}_d\)而\（\mathbb C^N\）是旋量空间。作者证明了在一个均匀维量子空间（比如说（d=2n）上，旋量空间是（mathbb C^{2^n}），谱三元组（（A_ Theta，H_ Theta和d_ Theta））是偶数、光滑可和、半有限非均匀的（在[A.L.凯里等，高级数学。202，第2期，451–516页（2006年；Zbl 1118.46060号)])它具有孤立的谱维。他们证明了a（K_0（mathcal a_\Theta^{\sim}）-元素（[e]-[1_e]\）与前面的谱三元组（a_\Theta，H_\Theta，D_\Theta）的指数配对公式。也就是说，\[\frac1{\pi^n}\big\langle[e]-[1_e]，（A_\Theta，H_\Theta，D\Theta）\big\ rangle=\tau_\Theta\otimes\mathrm{tr}\big（\gamma（e-1_e）\frac{\omega^n}{n！}\Bing）+\sum_{m=1}^{n}\frac}{1}{（2m）！mathrm de）^{2m}\frac{\omega^{n-m}}{（n-m）！}\big），\]其中\（\omega\）是曲率形式\（\omega=\frac｛\mathrm｛i｝｝｛2｝\sum_｛j，k=1｝^d\theta_｛j，k｝\gamma_j\gamma_k\）。上面，\（\gamma\）是\（\mathcal H_\Theta\）的\（\ mathbb Z_2）-分级，\（\ tau_\Theta\）是与\（\ mathbb R^d\）相关的规范化记录道。本文很有见地，包含了一个重要的示例，该示例在文章的末尾针对该公式的情况（d=2）进行了深入研究。审核人：卡洛斯·佩雷斯·桑切斯（海德堡） 引用于三文件 MSC公司： 46升87 非交换微分几何 35平方米 伪微分算子作为偏微分算子的推广 58B34型 非交换几何（a-la Connes） 53D55型 变形量化，星形产品 47G30型 伪微分算子 58J22型 流形上的奇异指数理论 关键词：光谱三元组;指数理论;伪微分算子;非交换几何;莫亚尔平面;量子欧几里德空间 引文：Zbl 1495.42001号;Zbl 1118.46060号 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{L.Gao}等人，J.Noncommul。地理。16，编号1，153-213（2022；兹bl 1508.46052） 全文： 内政部 arXiv公司 参考文献： [1] J.Avron，I.Herbst和B.Simon，Schrödinger磁场算符。I.一般互动。杜克大学数学。J.45（1978），编号4，847-883 Zbl 0399.35029 MR 518109·Zbl 0399.35029号 [2] T.A.Bhuyain和M.Marcolli，非对易二托利上的利玛窦流。数学。物理学。101（2012），编号2173-194 Zbl 1261.53063 MR 2947960·Zbl 1261.53063号 [3] D.P.Blecher和R.R.Smith，Haagerup张量积的对偶。J.伦敦数学。Soc.（2）45（1992），编号1，126-144 Zbl 0712.46029 MR 1157556·Zbl 0712.46029号 [4] O.Bratteli和D.W.Robinson，算子代数和量子统计力学。1:C-代数和W-代数，对称群，状态分解。第2版。，文本单声道。物理。，纽约施普林格，1987 Zbl 0905.46046 MR 887100·Zbl 0905.46046号 [5] 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