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卡尔·西奥多·斯特姆

四维随机黎曼几何。 （英语） Zbl 1514.60049号

Chen，Zhen-Qing（编辑）等，Dirichlet forms and related topics，以纪念福岛Masatoshi beiju，IWDFRT 2022，日本大阪，2022年8月22日至26日。新加坡：斯普林格。Springer程序。数学。《美国联邦法律大全》第394卷第493-510页（2022年）。
利用Dirichlet能量的共形不变性，可以在曲面上构造出共形不变量的随机黎曼几何，这种构造产生了高斯自由场。然而，在更高的维中，狄利克雷能量不再是保角不变的。取而代之的是，可以考虑双拉普拉斯能量加上低阶修正项。作者和合作者最近追求这一想法，在偶维黎曼流形上构造共形不变随机场，本文在四维情况下考察了这些结果。
特别地，在四维光滑紧连通黎曼流形（（M，g））上，Paneitz能量\[\马特拉克{e} g（_g）（u，u）=\frac{1}{8\pi^2}\int_M\left[（\Delta_gu）^2-2\mathrm{Ric}（_g）（\nabla_gu，\nabla_gu）+\frac{2}{3}\mathrm{缩放}_g\cdot|\nabla_gu|^2\right]\，d\mathrm{vol}_g ,\]它是（L^2（M）上的双线性形式，域为Sobolev空间（H^2（M）），是保角不变的。如果\（\mathfrak{e} g（_g）>在与常数函数正交的（H^2（M）的子空间上，我们说（（M，g））是可容许的。虽然并非所有紧致的四维黎曼流形都是允许的，但大类是允许的。如果\（（M，g）\）是可容许的，我们现在假设它是Paneitz算子\[\数学{p} g（_g）=\frac{1}{8\pi^2}\left[\Delta_g^2+\mathrm{div}\left（2\mathrm｛Ric｝_格-\裂缝{2}{3}\mathrm{缩放}_g\右）\nabla\right]\]是\（L^2）上的自共轭正算子。然后是\（\mathrm的倒数{p} g（_g）\)，\（\mathrm{k} g（_g）\)，承认一个积分核（kg（x，y）），该积分核在（x）和（y）中对称，在对角线附近具有对数散度，并且在加性校正之前是保角不变的。
继续，（M，g）上的共双全纯场（h）被定义为具有协方差结构的中心高斯函数的线性族（左（左，右）{u\[\mathbb{E}\left[\langle h，u\rangle^2\right]=\langle u，\mathrm{k} g（_g）u\rangle\quad\text{代表全部（u\in H^{-2}（M）\）。}\]给出了几个可用于构造（h）的近似值。对于任何（gamma）in（-\sqrt{8}，\sqrt}8}），量子Liouville测度（mu），其启发式定义为具有密度\[d\mu（x）=e^{γh（x）-\压裂{γ^2}{2} k个（x，x）}\，d\mathrm{vol}_g ,\]是通过近似严格构造的。量子Liouville测度在保角变换下是准变的。
最后一节将更深入地研究（M，g）是平坦环面（mathbb{R}^4/mathbb}Z}^4）的情况。特别地，基于离散环面和各向同性Haar系统，给出了共双调和场和量子Liouville测度的离散近似。
有关整个系列，请参见[Zbl 1493.11005号].
审核人：罗伯特·内尔（伯利恒）

MSC公司：

60G15年 高斯过程
58年 流形上的扩散过程与随机分析
31C25型 Dirichlet形式

关键词：

随机黎曼几何;高斯场;保形不变;Paneitz运算符;双拉普拉斯;双谐波;膜模型;量子Liouville测度
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{K.-T.Sturm}，施普林格程序。数学。Stat.394，493--510（2022；Zbl 1514.60049）
全文： 内政部 arXiv公司

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