巴拉德，灰色;奥斯汀·R·本森。;亚历克斯·德鲁因斯基;本杰明·利普希茨;奥德·施瓦茨 提高快速矩阵乘法的数值稳定性。 （英语） Zbl 1348.65080号 SIAM J.矩阵分析。申请。 37，第4期，1382-1418（2016）。 摘要：矩阵乘法的快速算法，即那些比经典算法执行的标量运算渐近更少的算法，被认为主要具有理论意义。除了Strassen的原始算法外，很少有快速算法被有效地实现或用于实际应用。然而，斯特拉森算法有许多实用的替代方案，其性能和数值特性各不相同。众所周知，快速算法在数值上是稳定的，但由于其误差边界比经典算法略弱，因此即使在提供性能优势的情况下也不使用它们。在本文中，我们认为快速算法的数值牺牲，特别是对于实际算法的典型用例，并不是禁止的，并且我们探索了从理论和经验上提高准确性的方法。快速矩阵乘法的数值精度取决于算法和输入矩阵的特性，我们分别考虑了这两种贡献。我们推广并加强了以往对快速算法的错误分析，并比较了它们的性能。我们从两个角度讨论了改进误差保证的算法技术：操作算法和通过各种形式的对角线缩放减少输入异常。最后，我们对性能进行了基准测试，并展示了我们改进的数值精度。 引用于5文件 MSC公司： 65层35 矩阵范数、条件、缩放的数值计算 65克50 舍入误差 关键词：实用快速矩阵乘法;误差界限;对角线缩放 软件：mctoolbox软件;z3（零3） PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{G.Ballard}等人，SIAM J.矩阵分析。申请。37，第4号，1382--1418（2016；Zbl 1348.65080） 全文： 内政部 arXiv公司 参考文献： [1] G.Ballard、J.Demmel、O.Holtz、B.Lipshitz和O.Schwartz，{斯特拉森矩阵乘法的通信优化并行算法}，第24届ACM算法与架构并行性研讨会论文集，ACM，纽约，2012年，第193-204页，http://dx.doi.org/10.1145/2312005.2312044doi:10.1145/2312005.2312044·Zbl 1385.68057号 [2] G.Ballard、J.Demmel、O.Holtz和O.Schwartz，《快速矩阵乘法的图扩展和通信成本：定期提交》，发表在第23届美国计算机学会算法与体系结构并行性研讨会论文集上，美国计算机学会，纽约，2011年，第1-12页，http://doi.acm.org/10.1145/1989493.1989495doi:10.1145/1989493.1989495·Zbl 1281.68241号 [3] A.R.Benson和G.Ballard，{实用并行快速矩阵乘法框架}，《第20届ACM SIGPLAN并行编程原理与实践研讨会论文集》，ACM，纽约，2015年，第42-53页，http://dx.doi.org/10.1145/2688500.2688513doi:10.1145/2688500.2688513。 [4] D.Bini和G.Lotti，{矩阵乘法快速算法的稳定性}，数值。数学。，36（1980），第63-72页，http://dx.doi.org/10.1007/BF01395989doi:10.1007/BF01395989·Zbl 0431.65024号 [5] M.Bla¨ser，{论小格式矩阵乘法的复杂性}，《复杂性杂志》，19（2003），第43-60页，http://dx.doi.org/10.1016/S0885-064X（02）00007-9网址：10.1016/S0885-064X（02）000007-9·Zbl 1026.68062号 [6] R.P.Brent，{\it矩阵乘法算法}，技术报告，斯坦福大学，加利福尼亚州斯坦福，1970年·Zbl 0193.11902号 [7] R.P.Brent，｛\it使用Winograd恒等式的矩阵乘法和三角分解算法的误差分析｝，Numer。数学。，16（1970年），第145-156页，http://dx.doi.org/10.1007/BF02308867doi:10.1007/BF02308867·Zbl 0193.11902号 [8] R.R.Castrapel和J.L.Gustafson，{斯特拉森/温诺格拉德矩阵乘法的精度改进方法}，美国专利7209939，2007年4月24日，http://www.google.com/patents/US7209939。 [9] P.D’Alberto，{《Strassen-Winograd算法的更好精度》（FastMMW）}，《高级线性代数矩阵理论》，4（2014），第9-39页，http://dx.doi.org/10.4236/alamt.2014.41002doi:10.4236/alamt.20144.41002。 [10] L.De Moura和N.Björner，{\it Z3:一个有效的SMT求解器}，摘自《系统构建和分析的工具和算法》，《计算讲义》。科学。4963，施普林格，柏林，2008年，第337-340页，http://link.springer.com/chapter/10.1007 [11] J.Demmel、I.Dumitriu和O.Holtz，{快速线性代数是稳定的}，Numer。数学。，108（2007），第59-91页，http://dx.doi.org/10.1007/s00211-007-0114-xdoi:10.1007/s00211-007-0114-x·Zbl 1133.65015号 [12] J.Demmel、I.Dumitriu、O.Holtz和R.Kleinberg，{快速矩阵乘法是稳定的}，Numer。数学。，106（2007），第199-224页，http://dx.doi.org/10.1007/s00211-007-0061-6doi:10.1007/s00211-007-0061-6·Zbl 1134.65030号 [13] B.Dumitrescu，改进和估计Strassen算法的准确性，Numer。数学。，79（1998），第485-499页，http://dx.doi.org/10.1007/s002110050348doi:10.1007/s002110050348·Zbl 0911.65034号 [14] F.Le Gall，{张量的幂与快速矩阵乘法}，第39届符号与代数计算国际研讨会论文集，美国计算机学会，纽约，2014年，第296-303页，http://dx.doi.org/10.1145/2608628.2608664doi:10.1145/2608628.2608664·Zbl 1325.65061号 [15] H.V.Henderson和S.R.Searle，《vec-置换矩阵、vec算子和Kronecker积：综述》，《线性多线性代数》，9（1981），第271-288页，http://dx.doi.org/101080/0308108817379doi:10.1080/0308108810817379·Zbl 0458.15006号 [16] N.J.Higham，{数值算法的准确性和稳定性}，SIAM，费城，2002，http://dx.doi.org/10.1137/1.9780898718027doi:10.1137/1.9780898718027·Zbl 1011.65010号 [17] R.W.Johnson和A.M.McLoughlin，{（3×3）矩阵乘法的非交换双线性算法}，SIAM J.Compute。，15（1986）第595-603页，http://dx.doi.org/10.1137/0215043doi:10.1137/0215043·Zbl 0622.68037号 [18] I.Kaporin，{\it快速矩阵乘法的实用算法}，Numer。线性代数应用。，6（1999），第687-700页·Zbl 0982.65048号 [19] I.Kaporin，{\it作为快速矩阵乘法实用工具的聚集和抵消技术}，Theoret。计算。科学。，315（2004），第469-510页，http://dx.doi.org/10.1016/j.tcs.2004.01.004doi:10.1016/j.tcs.2004.01.004·Zbl 1057.65020号 [20] J.Laderman，V.Pan，和X.-H.Sha，{关于加速矩阵乘法的实用算法}，线性代数应用。，162-164（1992），第557-588页，http://dx.doi.org/10.1016/0024-3795（92）90393-O代码：10.1016/0024-3795（92）90 393-O·Zbl 0748.65043号 [21] J.W.Landsberg，{矩阵乘法秩的新下界}，SIAM J.Compute。，43（2014），第144-149页，http://dx.doi.org/10.1137/120880276doi:10.1137/120880276·兹比尔1298.68100 [22] B.Lipshitz、G.Ballard、J.Demmel和O.Schwartz，{通信-避免并行Strassen:实现和性能}，《高性能计算、网络、存储和分析国际会议论文集》，IEEE出版社，新泽西州皮斯卡塔韦，2012年，第1-11页，http://dx.doi.org/10.109/SC.2012.33doi:10.1109/SC.2012.33。 [23] W.Miller，{计算复杂性和数值稳定性}，SIAM J.Comput。，4（1975年），第97-107页，http://dx.doi.org/10.1137/0204009doi:10.1137/0204009·Zbl 0303.65028号 [24] A.V.Smirnov，{矩阵乘法的双线性复杂性和实用算法}，计算。数学。数学。物理。，53（2013），第1781-1795页，http://link.springer.com/article/10.1134/S0965542513120129doi:10.1134/S0965542513120129·Zbl 1313.65094号 [25] V.Strassen，{高斯消去不是最优}，Numer。数学。，13（1969年），第354-356页，http://dx.doi.org/10.1007/BF02165411doi:10.1007/BF02165411·Zbl 0185.40101号 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。