×
雷纳·迪特曼;克里斯蒂安·埃尔肖尔茨

算术集中的希尔伯特立方体。 （英语） Zbl 1342.11085号

马特·伊贝罗姆（Mat.Iberoam）版本。 31，第4期，1477-1498（2015）.
如果\（a_0\neq 0，a_1，\dots，a_d\）是加法群的元素，则集合\[H（a_0；a_1，\点，a_d）：=a_0+\{0，a_1\}+\cdots+\{0，a_d\}=\left\{a_0+\sum\limits_{i=1}^d\varepsilon_i a_i:\varepsiln_i\in\{0,1\}\right\}\]称为维为\（d）的希尔伯特立方体。对于\（a_0=0\），可以将定义稍微修改为\[H（0；a_1，\点，a_d）：=\left\{\sum\limits_{i=1}^d\varepsilon_i a_i:\varepsilen_i\in\{0,1\}，\sum\limits_{i=1}^2\varepsilon_i>0\right\}\]不包括空总和。齐次希尔伯特立方体的这种特殊情况也通常称为“子集和”集。在给定的整数集合（S）中存在Hilbert立方体（H（a_0；a_1，dots，a_d））的最大尺寸（d）问题一直是人们经常研究的问题。在本文中，作者重点讨论了集（S）具有一些有趣的算术意义的问题，例如平方集或强大数集。
（a）
对于这组正方形，它们得到\（d=O（\log\log N）\）。使用以前已知的方法，只有在有条件的情况下才能达到这个界限，但需要解决以下问题P.Erdős公司和R.收音机[J.Lond.数学Soc.35，85-90（1960；Zbl 0103.27901号)].
（b）
对于一组强大的数字，它们显示为（d=O（（log N）^2））。
（c）
对于纯幂的集合（V），它们也显示为（d=O（（\log N）^2），但对于同质希尔伯特立方体，如果（a_0=0），当（a_i）是不同的，并且通常情况下，这可以改进为（d=O（（[log\log N]）^3/\log\log\log N）））。这与文献中的结果进行了比较。
（d）
对于集合（V），它们还解决了N.Hegyári和A.萨尔科齐[Ramanujan J.3，第3期，303–314（1999年；Zbl 0990.11011号)]也就是说，它们表明\（V）不包含无限希尔伯特立方体。
（e）
对于没有长度\（k\）算术级数的集合，他们证明了\（d=O_k（\log N）\），这接近于真实的数量级。
审核人：王国庆（天津）

引用于2文件

MSC公司：

11便士70 加法数论的反问题，包括和集
11B75号 其他组合数论
11对25 算术级数
11B30型 算术组合学；高度均匀性
11号36 筛分法的应用

关键词：

希尔伯特立方体;算术级数;总和增长;正方形;强大的数字;纯粹权力

引文：

Zbl 0103.27901号;Zbl 0990.11011号
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{R.Dietmann}和\textit{C.Elsholtz}，马特·伊贝隆（Mat.Iberoam）版本。31，第4号，1477--1498（2015；Zbl 1342.11085）
全文： 内政部 arXiv公司

参考文献：

[1] Alon，N.，Angel，O.，Benjamini，I.和Lubetzky，E.：稀疏图上的和和乘积。以色列J.数学。188 (2012), 353-384. ·Zbl 1288.05124号 ·doi:10.1007/s11856-011-0170-x
[2] Bergelson，V.：超滤、IP集、动力学和组合数论。在Utrafilters的数学课程中，23-47。当代数学530，Amer。数学。Soc.，普罗维登斯，RI，2010年·Zbl 1237.05205号
[3] Brown，T.C.，Erd\急性\急性os，P.和Freedman，A.R.：准增殖波和下降波。J.组合理论，Ser。A 53（1990），第1期，81-95·Zbl 0699.10069号 ·doi:10.1016/0097-3165（90）90021-N
[4] Cilleruelo，J.和Granville，A.：圆上的格点，算术级数中的方块，以及方块的和集。《加法组合学》，241-262。CRM流程。课堂笔记43，Amer。数学。Soc.，普罗维登斯，RI，2007年·Zbl 1183.11058号
[5] Conlon，D.，Fox，J.和Sudakov，B.：一些极值结果的简短证明。组合概率。计算。23 (2014), 8-28. ·Zbl 1290.05089号 ·doi:10.1017/S0963548313000448
[6] Croot，E.，Laba，I.和Sisask，O.：集和Lp-几乎周期的算术级数。组合。可能性。计算。22（2013），第351-365号·Zbl 1348.11011号
[7] Croot，E.，Ruzsa，I.和Schoen，T.：稀疏和集中的算术级数。《整数7》（2007），第2期，论文A10·Zbl 1178.11011号
[8] Csikvári，P.：避免二次无保留的子集和。女演员阿里思。135（2008），第1期，第91-98页·Zbl 1166.11013号 ·doi:10.4064/aa135-1-6
[9] Darmon，H.和Merel，L.：缠绕商和费马最后定理的一些变体。J.Reine Angew。数学。490 (1997), 81-100. ·Zbl 0976.11017号
[10] Dickson，L.E.：数论史。第二卷：丢番图分析。切尔西出版公司，纽约，1966年·Zbl 0958.11500号
[11] Dietmann，R.和Elsholtz，C.：无进位集和正方形集中的希尔伯特立方体。以色列J.数学。192 (2012), 59-66. ·Zbl 1347.11013号
[12] Dujella，A.和Elsholtz，C.：和集是正方形。数学学报。匈牙利。141（2013），第4期，353-357·Zbl 1313.11120号 ·doi:10.1007/s10474-013-0334-8
[13] Erd\Acute\ Acute os，P.：关于我最希望解决的组合问题。组合数学1（1981），第1期，25-42·Zbl 0486.05001号 ·doi:10.1007/BF02579174
[14] Erd\急性\急性os，P.和Radó，R.：集合系统的交集定理。J.伦敦数学。Soc.35（1960），85-90·Zbl 0103.27901号 ·doi:10.1112/jlms/s1-35.1.85
[15] Erd\Acute\急性os，P.和Sárközy，A.：子集和中的算术级数。离散数学。102（1992），第3期，249-264·Zbl 0758.11007号 ·doi:10.1016/0012-365X（92）90119-Z
[16] Erd\急性\急性os，P.和Shapiro，H.N.：关于素数的最不原始根。太平洋数学杂志。7 (1957), 861-865. ·兹比尔0079.06304 ·doi:10.2140/pjm.1957.7.861
[17] Erd\急性\急性os，P.和Szemerédi，E.：关于整数的和和乘积。《纯粹数学研究》，213-218。Birkhäuser，巴塞尔，1983年。
[18] Erd\急性\急性os，P.和Turán。P.：关于一些整数序列。J.伦敦数学。《社会学杂志》S1-11（1936），261-264。1497
[19] 加拉赫，P.X.：一个更大的筛子。女演员阿里思。18 (1971), 77-81. ·Zbl 0231.10028号
[20] Gowers，W.T.：Szemerédi定理的新证明。地理。功能。分析。11 (2001), 465-588. ·Zbl 1028.11005号 ·doi:10.1007/s00039-001-0332-9
[21] 美国格兰维尔：美国广播公司允许我们计算平方。国际。数学。1998年Res.Notices，第19号，991-1009·Zbl 0924.11018号 ·doi:10.1155/S1073792898000592
[22] Green，B.：和集中的算术级数。地理。功能。分析。12（2002），第3期，584-597·Zbl 1020.11009号 ·doi:10.1007/s00039-002-8258-4
[23] Green，B.和Tao，T.：素数包含任意长的算术级数。数学年鉴。(2) 167 (2008), 481-547. ·Zbl 1191.11025号 ·doi:10.4007/annals.2008年167.481
[24] Gunderson，D.S.，Rödl，V.和Sidorenko，A.：构成布尔代数和完全部分超图的集合的极值问题。J.组合理论系列。A 88（1999），342-367·Zbl 0939.05079号 ·doi:10.1006/jcta.1999.2973
[25] Gyarmati，K.：关于丢番图的问题。女演员阿里思。97 (2001), 53-65. ·Zbl 0986.11016号 ·doi:10.4064/aa97-1-3
[26] Gyarmati，K.，Sárközy，A.和Stewart，C.L.：关于幂的总和。数学学报。匈牙利。99 (2003), 1-24. ·兹比尔1026.11019 ·doi:10.1023/A:1024545026029
[27] Györy，K.、Hajdu，L.和Pintér，Á：算术级数中守恒项乘积的完美幂。作曲。数学。145 (2009), 845-864. ·Zbl 1194.11043号 ·doi:10.1112/S0010437X09004114
[28] Hegyári，N.：关于加法数论中的表示问题。数学学报。匈牙利。72 (1996), 35-44. ·Zbl 0866.11015号 ·doi:10.1007/BF00053695
[29] Hegyvári，N.：关于希尔伯特立方体的维度。《数论杂志》77（1999），326-330·Zbl 0989.11012号 ·doi:10.1006/jnth.1999.2389
[30] Hegyvári，N.和Sárközy，A.：关于特定集合中的希尔伯特立方体。Ramanujan J.3（1999），第303-314页·Zbl 0990.11011号 ·doi:10.1023/A:1009883404485
[31] Henriot，K.：关于A+B+C.《国际数学》中的算术级数。Res.不。IMRN 2014，第18期，5134-5164·Zbl 1362.11014号
[32] 希尔伯特·D·：你会死在不可撤销的粮食配给商Funktitionen mit ganzzahligen Koeffizienten手中。J.Reine Angew。数学。110 (1892), 104-129.
[33] Iwaniec，H.和Kowalski，E.：解析数论。美国数学学会学术讨论会出版物53，美国数学学会，普罗维登斯，RI，2004年·Zbl 1059.11001号
[34] Khalfalah，A.和Szemerédi，E.：关于x+y=z2的单色溶液的数量。组合概率。计算。15（2006），第1-2、213-227号·Zbl 1093.11017号 ·doi:10.1017/S0963548305007169
[35] Kostochka，A.V.：集合系统的交集定理。《随机结构算法》9（1996），第1-2期，第213-221页·Zbl 0861.05059号 ·doi:10.1002/（SICI）1098-2418（199608/09）9:1/2<213:：AID-RSA13>3.0.CO；2-O型
[36] Lagarias，J.C.，Odlyzko，A.M.和Shearer，J.B.：关于整数序列的密度，其中任何两个的和都是平方。二、。一般顺序。J.组合理论系列。A 34（1983），第2期，123-139·兹伯利0514.10041 ·doi:10.1016/0097-3165（83）90051-1
[37] Masser，D.W.：未决问题。解析数理论研讨会论文集，伦敦，帝国理工学院，1985年。
[38] Nguyen，H.H.和Vu，V.H.：集合中的平方。在一个不规则的头脑中，491-524。Bolyai Soc.数学。21号研究生，János Bolyai Math。2010年布达佩斯Soc·Zbl 1222.11012号
[39] Rivat，J.，Sárközy，A.和Stewart，C.L.：和集上\Omega函数的同余性质。伊利诺伊州J.数学。43（1999），第1期，第1-18页·Zbl 0926.11075号
[40] Ruzsa，I.Z.：和集中的算术级数。女演员阿里思。60（1991），第2期，191-202·Zbl 0728.11009号
此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。