路易吉·阿达里奥·贝里（编辑）;Shankar巴米迪（编辑）;范德霍夫斯塔德，雷姆科（编辑）;弗兰克·登·霍兰德（编辑） 网络模型：结构和功能。2017年12月10日至16日举行的研讨会摘要。 （英语） Zbl 1409.00060号 Oberwolfach代表。 14，第4号，3427-3470（2017）. 摘要：会议的重点是复杂网络的数学分析，包括网络是如何通过微观交互规则出现的，以及网络上的动态过程和优化问题，包括随机行走、交互粒子系统和搜索算法。讨论的主题包括：图上的渗透和巨型组件出现的临界状态；图形极限和图形；流行病、传播和竞争；树木和森林；动态随机图；局部与全局算法；网络上的统计学习。 MSC公司： 00英镑05 讲座摘要集 00时25分 杂项特定利益的会议记录 60二氧化碳 组合概率 60D05型 几何概率与随机几何 60K35型 相互作用的随机过程；统计力学类型模型；渗流理论 60K37型 随机环境中的进程 82B20型 格系统（伊辛、二聚体、波茨等）和平衡统计力学中出现的图上系统 82B26型 平衡统计力学中的相变（一般） 82B27型 平衡统计力学中的临界现象 82个B41 平衡统计力学中的随机行走、随机表面、晶格动物等 82C22型 含时统计力学中的相互作用粒子系统 82-06 与统计力学有关的会议记录、会议、收藏等 软件：尼斯波克 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{L.Addario-Berry}（编辑）等人，Oberwolfach Rep.14，No.4，3427-3470（2017；Zbl 1409.00060） 全文： 内政部 参考文献： [1] D.Aldous，一般有限加权图上键渗流的初始巨分量，电子。Commun公司。Probab 21（2016），论文编号68。3436 Oberwolfach报告57/2017网络数据集：一些概率工具Luca Avena（与Alexandre Gaudilli“ere，Fabienne Castell，Clothilde M´elot联合工作）受统计物理组合问题的启发，在最近的论文中[1]我们刻画了任意加权有限图上某些随机生成森林的性质和有效的抽样算法。这些对象与给定加权图（或相应邻接矩阵）的基本代数和概率结构有关。这些研究涉及不同性质的问题，并在现实世界网络分析中产生了许多应用。这篇演讲是关于最近获得的三个主要此类应用程序：1）网络中“均匀分布”节点的下采样过程[1,4]；2） 图和相关过程的粗粒度或约简方案[2,4]；3） 处理图上任意信号的类金字塔小波算法[2,4]。这些应用程序基于随机森林以及其他概率工具，包括所谓的Wilson算法、耦合技术和马尔可夫链交织对偶。工具书类 [2] L.Avena和A.Gaudilli’ere，《随机跨越森林的两种应用》，《理论概率杂志》，DOI:10.1007/s10959-017-0771-3（2017）·Zbl 1397.05161号 [3] L.Avena，F.Castell，A.Gaudilli’ere和C.M´elot，通过随机跨越森林的缠绕方程的近似和精确解，PREPRINT，arXiv.org:1702.05992（2017）。 [4] L.Avena，F.Castell，A.Gaudilli’ere和C.M´elot，通过随机森林对图进行缠绕小波或多分辨率分析，PREPRINT，arXiv.org:1707.04616（2017）。 [5] L.Avena、F.Castell、A.Gaudilli’ere和C.M’elot，《随机森林和网络分析》，arXiv:1711.01635（2017）。图形和图形作为稀疏图形的极限：第一部分和第二部分克里斯蒂安·博格斯、詹妮弗·查耶斯（与亨利·科恩、希尔申杜·甘古利、尼娜·霍尔顿、克里斯蒂娜·李、拉西·洛瓦兹、德瓦夫拉特·沙阿、亚当·斯密、维克托·威奇、赵宇飞合作）图和图是图的极限，它允许我们对大规模网络的特性进行建模和估计。在这一对对话中，我们回顾了稠密图极限理论，并给出了稀疏图极限的两种可选理论，一种是概率空间上的无界图，另一种是σ-有限测度空间上的有界图（和图）。Jennifer所作的Talk I将回顾一般理论，重点介绍无界图形，并展示如何使用它们一致地估计大型稀疏网络的属性。本讲座还将介绍这些稀疏图在稀疏二部网络上的协同过滤中的应用。Christian给出的Talk II将根据可交换性和Aldous Hoover定理重铸稠密图的极限，并将其推广到获得稀疏图和图作为网络模型的极限：从稀疏图序列中采样的结构和功能3437子图。这将提供稀疏图极限作为过程和随机度量的双重视图，这种方法允许对稠密图序列的许多著名结果和技术进行概括。工具书类 [6] C.Borgs、J.T.Chayes、H.Cohn和Y.Zhao。稀疏图收敛理论I：极限、稀疏随机图模型和幂律分布。预印本，arXiv:1401.29062014·Zbl 1417.05186号 [7] C.Borgs、J.T.Chayes、H.Cohn和Y.Zhao。稀疏图收敛的一个理论Ⅱ：LD收敛、商和右收敛。Ann.Probab。，将于2018年上市。arXiv:1408.0744提供预打印·Zbl 1386.05099号 [8] C.Borgs、J.T.Chayes、H.Cohn和N.Holden。稀疏可交换图及其通过graphon过程的极限。《机器学习研究杂志》，2018年出版。arXiv:1601.07134提供预印本·Zbl 1469.60158号 [9] C.Borgs、J.T.Chayes、H.Cohn和V.Veitch。稀疏可交换图上的采样透视图。预印本，arXiv:1708.032372017·Zbl 1448.60025号 [10] C.Borgs、J.T.Chayes、H.Cohn和S.Ganguly。重尾稀疏图的一致非参数估计。预印本，arXiv:1508.066752015年·兹比尔1486.62080 [11] C.Borgs、J.T.Chayes和A.Smith。稀疏图的私有graphon估计。《神经信息处理系统进展》28，第1369-1377页，2015年。可从arXiv:1506.06162获取带证明的扩展版本。 [12] C.Borgs、J.Chayes、C.E.Lee和D.Shah。你的朋友是我的朋友：稀疏矩阵估计的迭代协同过滤。在I.Guyon、U.V.Luxburg、S.Bengio、H.Wallach、R.Fergus、S.Vishwanathan和R.Garnett编辑的《神经信息处理系统进展》30，第4718-4729页。2017年。可从arXiv:1712.00710获取带证明的扩展版本。 [13] C.Borgs、J.T.Chayes、H.Cohn和L.M.Lov´asz。grapexes和弱核度量的可识别性。预印本，正在准备中，2018年。非齐次随机图的标度极限Nicolas Broutin（与Thomas Duquesne和Minmin Wang联合工作）1。泊松非均匀随机图我们考虑以下秩为1的非均匀随机图形模型。对于整数n≥1，设w=（w1，w2，…，wn），其中w1≥w2≥··≥wn≥0，为权重序列，定义σ1=σ1（w）=Piwi。给定w，在V={1，2，…，n}上构造一个随机图G（w）=（V，E），其中两条边中的每一条独立于其他边存在于E中，边{i，j}包含概率为1−exp（wiwj/σ1）。该模型历史悠久。Aldous[4]首先将其视为经典Erdos-R´enyi随机图的非均匀版本，然后由Aldous和Limic[5]进一步研究。它也出现在诺罗斯和雷图的作品中[7]。一般来说，人们实际上可以想象一个图形过程Gt（w），其中边包含概率为1−exp（twiwj/σ1）的边。随着t增加[0，∞），我们观察到某些tc的结构突然发生变化：对于3438Oberwolfach Report 57/2017 t>tc，该图很可能包含一个包含顶点线性比例的“巨大”连接组件。我们对临界点tc的行为感兴趣，更具体地说，对图的缩放极限感兴趣，请参见n表示度量空间，其中度量是图距离，度量是顶点上的计数度量。感兴趣的拓扑包括Gromov Prokhorov（GP）或Gromov Hausdorff Prokhorov（GHP）拓扑，它们分别在一定程度上对应于图的有限维分布的收敛和一致收敛。在下文中，我们假设w被缩放为tc=1，并完全删除对t的所有引用。2.临界状态和缩放限制连接部件的重量。Aldous[4]，然后Aldous和Limic[5]考虑了与乘法合并相关的模型，并且主要关注连接组件的w-mass（权重总和）。设（Wt）为标准布朗运动，c=（c1，c2，…）∈У3且α∈R，β，κ≥0。然后定义1 2κβt2+pβWt+Xci（1ξi≤tcitκ−ciκt），i其中（ξi）是i.i.d.指数r.v.，平均值为1。然后，根据Yt−inf{Ys:s≤t}偏离零的持续时间给出了Aldous-Limic极限。连接部件的质量。Bhamidi、van der Hofstad和van Leeuwaarden[11,14]证明了当所有i的ci=0时，或当ciare规则变化且β=0时最大连接分量中节点数的缩放极限实际上与Aldous和Limic考虑的w-weight相同。连接组件的公制。Addario-Berry，B.和Goldschmidt[1,2]在所有权重相同的特殊情况下证明了关于度量的第一个结果（对应于经典的Erdos-R´enyi随机图模型）。他们特别证明了标度极限由一系列紧致的度量空间组成，在所有i≥1的特殊情况下，当ci=0时，可以从（Yt）构造度量空间，以及一个附加的独立泊松点过程。因此，极限是纯粹的“布朗”。连接的组件被描述为随机实树，由反射过程的偏移进行编码，其中识别出泊松点过程给出的有限数量的点对来创建图形。生成树的定律也可以描述为Aldous连续统随机树的度量变化[3]。Bhamidi、Sen和X.Wang[12]然后考虑了不均匀性足够弱的情况，它确实改变了极限的性质（即c=0），并且权重仅通过确定性乘法常数影响结果。证明依赖于用生日树（均匀树的加权版本）对生成树的描述[6]。Bhamidi、van der Hofstad和Sen[13]已经考虑了强非均匀状态，并且还依赖于生日树及其缩放极限，即非均匀连续随机树[6]。网络模型：结构和功能3439虽然前面的结果已经很好地描述了G（wn）对于长度增加的权重序列的极限，但许多方面仍不清楚。第一个是一组可能的极限：我们还期望Aldous和Limic根据（1）中定义的（Yt）获得的所有极限都应该提升到极限度量空间，但以前的结果只涉及特定的情况。此外，度量极限的证明是特定于区域的（“弱”或“强”非均匀），而Aldous-Limic结果则透明地处理了非均匀量。即使对于已经构建的极限，许多特性仍然很吸引人，例如连接组件的紧密性、分形维数和吸引域的延伸。3.结果和证明思想从（1）中的每个过程（Yt）出发，我们构造了一个度量空间序列。度量由本地时间1Zt Ht=lim1（Ys≤infYu+ǫ）ds的过程给出。ǫ→0s≤u≤t上述极限存在的事实并不平凡。进程（Ht）远离零的偏移每个都编码一棵树，然后通过创建有限多个“捷径”对树进行修改，这些捷径的位置由带有速率κ的泊松点进程的标记在Ytabove其下确值进程的偏移下给出（与Ht的偏移一一对应）。度量空间的紧性和分形维数是根据与（Yt）相关的拉普拉斯指数确定的。我们还得到了极限定理：对于上述任何一个极限对象，都存在一个序列（wn），使得相应的图G（wn）在适当的重标度下收敛到它；对于GP，也有收敛的序列，但对于更强的GHP拓扑，则没有收敛，即使极限是紧的。中心思想是在Galton-Watson森林中嵌入离散非均匀随机图的一种新表示。直观地说，我们在N上构建了一个无限图，然后对其进行修剪，以便（a）只保留每个权重的一个副本，并且（b）确保剩余部分中的度量正好是N上度量的检索。然后在Levy森林的一个子森林上构建极限图。这使得有可能利用Le Gall&Le Jan[10]和Duquesne&Le Gall[8]关于Galton-Watson森林缩放限制的结果，并避免正面处理图的定律。特别是，这使得可以从Levy树的相应结果（上面提到的Laplace指数是嵌入（Yt）的Levy过程的指数）中透明地推导出连接组件的紧致条件及其分形维数（Hausdorff和packing）。3440Oberwolfach报告57/2017参考文献 [14] L.Addario-Berry、N.Broutin和C.Goldschmidt，临界随机图的连续极限。普罗巴伯。理论相关领域152，3-4（2012），367-406·Zbl 1239.05165号 [15] L.Addario-Berry、N.Broutin和C.Goldschmidt，《临界随机图：限制结构和分布性质》。概率电子期刊15（2010），741–774·Zbl 1227.05224号 [16] D.Aldous，连续随机树。I.《概率年鉴》19（1991），1-28·Zbl 0722.60013号 [17] 奥尔德斯，布朗漂移，临界随机图和乘法合并。安·普罗巴伯。25, 2 (1997), 812-854. ·Zbl 0877.60010号 [18] D.Aldous和V.Limic，乘法合并的入口边界。电子。J.概率。3（1998），第3期，59页·Zbl 0889.60080号 [19] D.Aldous和J.Pitman，非均匀连续统随机树和加性合并的入口边界。概率论及相关领域118（2000），455-482·Zbl 0969.60015号 [20] I.Norros和H.Reittu，关于条件泊松图过程。《应用概率进展》38（2006），59-75·Zbl 1096.05047号 [21] T.Duquesne和J.-F.Le Gall，《随机树、L´evy过程和空间分支过程》。Ast´erisque，281（2002），vi+147·Zbl 1037.60074号 [22] T.Duquesne和J.-F.Le Gall，《L´evy树的概率和分形方面》。普罗巴伯。理论相关领域131，4（2005），553-603·Zbl 1070.60076号 [23] J.-F.Le Gall和Y.Le Jan，《L´evy过程中的分支过程：勘探过程》。安·普罗巴伯。26, 1 (1998), 213-252. ·Zbl 0948.60071号 [24] S.Bhamidi，R.v.d.Hofstad和J.van Leeuwaarden，有限三阶矩临界非齐次随机图的标度极限。《概率电子杂志》15（2010），1682-1702·Zbl 1228.60018号 [25] S.Bhamidi，S.Sen，和X.Wang，临界非齐次随机图的连续极限。概率论及相关领域（待出版）·Zbl 1407.60014号 [26] S.Bhamidi，R.v.d.Hofstad和S.Sanchayan，乘法合并，非均匀连续随机树，以及临界随机图的新普适类。《概率论及相关领域》（即将出版），2015年·Zbl 1384.05138号 [27] S.Bhamidi，R.v.d.Hofstad和J.van Leeuwaarden，临界非均匀随机图的新尺度极限。概率年鉴40（2012），2299-2361。随机线性方程Amin Coja-Oghlan（与Peter Ayre、Pu Gao、Noela Muller联合工作）假设A是Fq域上的随机m×n矩阵，对于每行精确k≥3个非零项的素数幂q。随机选择y∈Fmquniformly。这个讨论的主要结果提供了随机线性系统Ax=y具有解的精确阈值m/n。定理1。设k≥3，设q>1是素数幂，设P是F*kq上的置换不变分布。设（1）ρk，d=supx∈[0，1]：x=1−exp（−dxk−1）为d>0，并定义（2）dk=infd>0：ρk、d−dρk−1k、d+（1−1/k）dρkk、d<0o。网络模型：结构与功能3441假设m=m（n）是km/n～d的序列，那么（limP∃x∈Fnq:Ax=y=1如果d<dk，n→∞0ifd>dk，因此对于d<dk（3）limP[rank（a）=m]=1。n→∞作为推论，我们得到了随机矩阵a的随机性的一个公式。推论1。设k≥3，设q>1是素数幂，设P是F*kq上的置换不变分布。那么对于任何d>dk，当n→∞时，我们有秩（A）k m-→1+dρk，d−kρk−1k，d+（k−1）ρkk，din概率。这些结果扩展和概括了以前在特殊情况下的工作。特别是q=2的情况，即随机k-XORSAT问题，受到了相当大的关注[1,5,6,8,9]。更准确地说，在q=2和k=3的情况下，可满足性阈值由Dubois和Mandler[6]通过二阶矩法确定。这一论点随后被扩展到k>3[5，9]，尽管这一扩展需要相当技术性的计算。通过技术上更复杂的二阶矩论证，对q=3,4的情形进行了扩展[7]。相比之下，本证明基于一种不同的技术，该技术受到数学物理思想的启发，特别是所谓的Aizenman-Sims-Starr方案[2]及其对统计推断问题的适应[4]。证据的全部细节见[3]。工具书类 [28] D.Achlioptas，M.Molloy：随机线性方程的解空间几何。《随机结构与算法》46（2015）197-231·Zbl 1309.05129号 [29] M.Aizenman，R.Sims，S.Starr：SK旋类模型的扩展变分原理。物理学。版本B 68（2003）214403。 [30] P.Ayre，A.Coja-Oghlan，P.Gao，N.M¨uller：随机线性方程的可满足阈值。arXiv:1710.07497（2017）·Zbl 1463.05507号 [31] A.Coja-Oghlan、F.Krzakala、W.Perkins和L.Zdeborova：空腔方法的信息理论阈值。程序。第48届STOC（2017）146-157·Zbl 1370.68222号 [32] M.Dietzfelbinger、A.Goerdt、M.Mitzenmacher、A.Montanari、R.Pagh、M.Rink：通过XORSAT进行布谷鸟散列的严格阈值。arXiv:0912.0287v3（2010）·兹比尔1256.68047 [33] O.Dubois，J.Mandler：3-XORSAT阈值。程序。第43届FOCS（2002）769-778·Zbl 1038.68052号 [34] A.Goerdt，L.Falke：满足性阈值超过k-XORSAT。Proc。第七届俄罗斯国际计算机科学研讨会（2012）148-159·Zbl 1360.68779号 [35] M.Ibrahimi，Y.Kanoria，M.Kraning，A.Montanari：随机XORSAT公式的解集。《应用概率年鉴》25（2015）2743-2808·Zbl 1341.68061号 [36] B.Pittel，G.Sorkin：k-XORSAT的可满足阈值。组合数学，概率与计算25（2016）236-268。3442Oberwolfach报告57/2017配置模型Mia Deijfen上的竞争性第一通道渗流（与Daniel Ahlberg、Remco van der Hofstad、Svante Janson的联合工作）竞争性第一通道渗流描述了两种竞争性感染在底层图结构上的增长。我们研究了由配置模型生成的图上的模型，即每个顶点i∈{1，…，n}都配备有双半边，其中{Di}是独立且相同分布的，然后将半边均匀随机配对以生成边。从均匀随机选择的两个顶点开始，感染通过图中的边传播，其中未感染的顶点成为类型1（2）感染的速率λ1（λ2）乘以类型1（1）的最近邻数。我们对度分布的假设确保了图中包含一个巨大的分量，该分量占据了n→∞中除消失部分外的所有顶点，因此当进程终止时，几乎所有的顶点都很可能被感染。我们感兴趣的问题是这次比赛的结果。具体来说，这两种类型是否会在极限中占据顶点的严格正分数n→∞？当E[D2]<∞时，我们证明如果λ1=λ2，答案是肯定的。具体来说，最终被类型1感染的顶点的分数收敛于连续随机变量V∈（0，1），作为n→∞。另一方面，如果λ16=λ2，则强度较大的类型占据了除消失分数外的所有顶点。当度数服从指数τ∈（2，3）的幂律时，平均值是有限的，但方差是无限的，那么其中一种感染类型很可能会占据除有限个顶点之外的所有顶点。此外，哪一种感染获胜是随机的，无论λ1和λ2的值如何，这两种感染都有正的获胜概率。在这两种情况下，感染的初始增长可以用连续时间的分支过程来近似，结果表明，在此阶段之后处于领先地位的类型将赢得竞争。当度分布具有无穷方差时，近似分支过程将具有无穷平均值（由于大小偏差）。这意味着它们在有限的时间内爆炸，然后这两种类型都有先爆炸的正概率。当度具有有限方差时，分支过程将具有有限均值，增长率之间的关系将决定结果。控制分支过程阶段后生长的方法针对指数分布的通过时间。一个自然的延伸是研究更一般的通过时间分布，这两种类型可能不同。另一个扩展是研究更一般的初始条件，其中一种或两种类型的初始数量可能随着n而增长，或者其中顶点是基于度来选择的。例如，如果弱类型可以从一个或多个高次顶点开始，而强类型可以从具有较小次数的顶点开始，那么在有限方差情况下，弱类型是否可以捕获顶点的正分数？网络模型：结构和功能3443参考文献 [37] D.Ahlberg，M.Deijfen，S.Janson，有限方差度随机图上的竞争第一遍渗流，arxiv:1711.02902·Zbl 1479.05320号 [38] M.Deijfen和R.van der Hofstad，《胜利者通吃》，《应用概率年鉴》26（2016），2419-2453。随机d过程Laura Eslava（与Lutz Warnke联合工作）图过程（G（i），i≥0）中巨分量的大小通常定义如下。从n个顶点上的空图开始，在每个步骤i，从一组可用边添加一条随机边。对于d-过程，在当前阶数最多为d−1的所有连接顶点的边中均匀随机选择边。在该过程中，当达到阶数d时，顶点会饱和，这一事实使得该过程在很大程度上依赖于其历史。然而，它与经典的Erdos-R´enyi图过程有一些共同的定性性质。例如，存在一个临界时间tcat，一个巨大的分量出现，whp（即G（tn）中最大的分量从对数阶变为线性阶）。在本次演讲中，我们认为d≥3是固定的，并描述了巨分量的大小增长。特别地，我们证明了G（（tc+ε）n）中最大分量的whp具有渐近大小cn，其中c～cdε是时间ε作为ε→0+的函数。ε中的线性增长是与Erdos-R´enyi图过程共享的一个新的通用定性特征，可以推广到具有不同最大允许度序列的超图过程。这是与Lutz Warnke联合进行的工作。工具书类 [39] L.Eslava，L.Warnke随机d-过程中巨大成分的大小。 [40] L.Warnke，N.Wormald，《随机图过程中的相变，准备中》。3444Oberwolfach报告57/2017汉明图的临界渗流Lorenzo Federico（与Remco van der Hofstad、Frank den Hollander、Tim Hulshof共同工作）汉明图渗流d维汉明图H（d，n）定义为每个n个顶点上d个完整图的笛卡尔积。注意，对于参数的具体选择，我们得到了两个非常著名的模型：H（1，n）上的渗流是Erdos-R´enyi随机图（ERRG），而H（d，2）上的渗透是超立方体渗流。我们研究了d固定和n→∞的渐近行为。本项目的主要目标是比较渗流的临界阶段和临界ERRG。关键点。获得的第一个结果是确定临界点，如[2]所示。我们证明了H（d，n）上渗流的临界点具有m次幂的负幂展开，类似于van der Hofstad和Slade在[4]中推导的超立方体或Zd上渗流的临界点。我们得到了临界窗12d2−11 m2（d−1）2m2+O（m−3）+O（m−1V−1/3）的以下公式，对于d≤6，该公式是渐近精确的。这是已知的第一个有限图上渗流临界窗口的精确确定。通过明确利用H（d，n）的几何结构的簇探索的分支过程控制获得了p（d）cis的下界，特别是所有线都是完整图，因此在渗流模型中它们等价于ERRG，而上界是通过花边展开获得的。临界缩放限制。另一个重要结果是确定临界状态下部件尺寸和剩余边缘的缩放极限。Aldous在[1]中为ERRG导出了它，从那时起，它被扩展到了各种各样的非几何模型，但这是对具有非平凡底层几何的随机图模型的第一次扩展。困难在于，由于簇的顶点位置缺乏独立性，通常用于推导这些限制的探索算法在存在几何体的情况下失败。我们利用H（d，n）上RW的快速混合时间，利用渗流和分支随机游动（这是为一般正则图定义的）之间的耦合来解决这个问题。因此，我们导出了最大临界分量的尺寸和剩余边的如下缩放极限，即d=2、3、4和n→∞n−2d/3|Cλ（j）|，n1−2d/3Sp（C（j）λ）-→Cλj，1Cλj=12（d−1）2jj≥1。组件大小的缩放限制与ERRG的缩放限制相同（即使使用相同的限制变量），而剩余边的数量不是在分布上收敛到一个紧随机变量，而是发散的，并且集中取决于组件大小。这是因为网络模型：结构和功能3445汉明图的线是完整图，因此在渗滤之后形成了一些更密集的子图，其中包含的短循环比整个图的平均值要多。这与几何增加随机图中聚类的一般想法是一致的。我们也有强有力的证据表明，如果我们只考虑长周期产生的盈余，这与ERRG的盈余具有类似的比例。工具书类 [41] D.奥尔德斯。布朗漂移、临界随机图和乘法合并。Ann.Probab。，25(2):812-854, (1997). ·Zbl 0877.60010号 [42] L.Federico、R.v.d.Hofstad、F.d.Hollander和T.Hulshof。汉明图的渗流临界点展开。arXiv:1701.02099，预印本（2017）·Zbl 1434.60287号 [43] L.Federico、R.v.d.Hofstad、F.d.Hollander和T.Hulshof。海明图上临界渗流的标度极限。正在准备中 [44] R.v.d.Hofstad和G.Slade。n-立方体和Zn上渗流临界值的n−1展开：前三项。组合概率。计算。，15(5):695-713, (2006). 高维迷宫中的蚂蚁Alexander Fribergh（与G´erard Ben Arous、Manuel Cabezas联合工作）随机环境中随机行走中最著名的开放问题之一是了解临界渗流簇上简单随机行走的行为，这是一种称为迷宫中蚂蚁的模型。我们将给出关于高维临界分支随机游动上简单随机游动的标度极限的新结果，在标度后，它收敛到积分超布朗运动上的布朗运动。根据花边展开，我们认为该模型的极限行为对于高维临界结构上的简单随机游动应该是通用的。特别是，最近的进展表明，格子树也有类似的结果。参考文献·兹比尔1102.60090 [45] G.Ben Arous、M.Cabezas和A.Fribergh，简单迷宫中蚂蚁的缩放极限，arxiv 1609.03979·Zbl 1427.60212号 [46] G.Ben Arous，M.Cabezas和A.Fribergh，高维abyrinth中蚂蚁的缩放极限，arxiv 1609.03980 3446 Oberwolfach Report 57/2017（有争议）平均约束满足困难问题David Gamarnik定义在随机图等随机实例上的许多组合优化问题，在最佳值（可以用非结构化方法估计）和快速（多项式时间）算法可实现的最佳值之间存在明显差距。作为一个典型的例子，考虑在随机图G（n，p）中寻找最大团的问题。众所周知，最大团的渐近大小为2 log1/pn，而最佳（贪婪）算法只能构造一个大小为log1/p（n）的团。自从1976年卡普提出这一挑战以来，乘法因子2的差距仍然存在[8]。类似地，对于边缘概率为d/n的稀疏随机图G（n，d/n），最大独立集的大小为2（log d/d）n，渐近为n→∞，然后是d→∞（按此顺序），而最佳（再次贪婪）算法找到的是一个仅具有大小（log d）n的独立集，即因子2小于最佳的独立集。作为第三个例子，考虑K-SAT问题的一个随机实例。K-SAT问题是n个布尔变量x1，…，上的规范NP-完全问题，通过构造一个共轭C1∧··∧Cmof m子句Cj来定义x，每个子句都是形式Cj=aj1∨··∨ajK的析取，每个aiji是n个变量x1，x或其n个否定项中的一个？x1，？xn。假设K-SAT问题的一个实例是随机一致构造的（在某种适当的意义上）。众所周知，当子句密度m/n=d约为2Klog 2−O（1）时，实例允许满意赋值[1]，[4]。然而，当d≤（2K/K）log K，即因子K/log K小于最佳可能值时，最佳算法结果只能构造出令人满意的赋值[3]。在高维统计和机器学习的许多现代模型中也存在类似的差距。例如，考虑形式为Y=Xβ*+W的回归模型，其中X是n×p具有i.i.d.标准高斯项，W具有i.i.d.n（0，σ）高斯项，β*是要从观测到的X和Y中恢复的一些未知回归向量。众所周知，如果β*是k稀疏的，即它最多有k个非零项，并且每个非零项都是常数级的，那么，如果n大约至少是2k log p，那么向量β*可以通过凸松弛技术（如LASSO或Dantzig Selector）重建（在k、n、p和σ的一些附加假设下），当n≤2k log p时，这些技术可以证明是失败的。同时，当n≥2klog p/log（1+k/σ2）时，蛮力搜索可以再现β*。然而，在这个阈值以下，理论上重建β*是不可能的。特别是，当σ为常数阶时，最佳算法可处理技术和理论上可获得的最佳结果信息之间的差距为对数（log（1+k/σ2））阶。通过数学家、计算机科学家和统计物理学家的共同努力，很明显，设计算法弥合上述几个示例所示的算法鸿沟的一个潜在障碍，在某些情况下是一个可证明的障碍，是一个近似最优解的复杂几何体，特别是存在某种重叠间隙特性（OGP）。这个属性网络模型：结构和功能3447可以大致定义如下。上述大多数模型通常可以描述为在一些决策变量σ上最小化某些成本函数F（σ，Z）的问题，其中Z是创建随机目标函数F的随机“干扰”。例如，在G（n，p）中的团的情况下，σ∈{0，1}是团的编码，Z∈{0,1}（2）编码每条边的状态（开/关）。在回归问题W=（X，Y）和F（β，W）=kY−Xβk2的情况下，最小βkY−的Xβk2=k稀疏向量β∈Rp。我们注意到，在这个例子中，扰动W依赖于一些隐藏信号β*到Y=Xβ*+W。粗略地说，如果对于每两个近似最优解σ1，σ2，即满足σj≈minσF（σ，W），j=1,2，hσ1、σ2i≈0或hσ2、σ2 i≈kσ1k2≈k∑2k2的解，则模型显示OGP。也就是说，每两个近似最优解要么是近似正交的，要么是近似相同的。OGP的精确形式因问题而异。在本次演讲中，提出了几个定理，证明OGP的开始几乎与算法硬度的（明显）开始一致，此外，OGP的存在意味着某类所谓的局部算法的可证明失败。具体结果涉及寻找随机稀疏超图的最大割集的问题（与Chen、Panchenko和Rahman的联合工作[2]）、寻找随机矩阵的最大子矩阵的问题（和Li的联合工作[5]）以及上面讨论的稀疏回归问题（与Zadik的联合工作[6]、[7]）。工具书类 [47] D.Achlioptas和Y.Peres，随机k-SAT的阈值为2kln2−O（k），Proc。第45届Ann.计算机理论研讨会（2003年）·兹比尔1192.68333 [48] W.-K.Chen，D.Gamarnik，D.Panchenko和M.Rahman，一类极大割问题局部算法的次优性。arXiv预印本arXiv:1707.05386（2017）·Zbl 1466.60200号 [49] A.Coja-Oghlan，随机k-sat的更好算法，SIAM计算杂志39（2010），第7期，2823-2864·Zbl 1209.68345号 [50] A.Coja-Oghlan，渐近k-sat阈值，第46届ACM计算理论研讨会论文集，ACM，2014年，第804-813页·Zbl 1315.68146号 [51] D.Gamarnik和Q.Li，《发现高斯随机矩阵的一个大子矩阵》，arXiv预印本arXiv:1602.08529（2016）·兹比尔1401.68120 [52] D.Gamarnik和I.Zadik，二元系数的高维回归。《估计平方误差和相变》，《学习理论会议论文集》，2017年·兹比尔1486.62200 [53] D.Gamarnik和I.Zadik，高维线性回归。算法障碍和局部搜索算法，提交（2017年）·兹比尔1486.62200 [54] R.M.Karp，一些组合搜索算法的概率分析，算法和复杂性：新方向和最新结果1（1976），1-19。3448Oberwolfach报告57/2017具有i.i.d.幂律度的临界随机图的标度极限Christina Goldschmidt（与Guillaume Conchon-Kerjan联合工作）此摘要基于正在编写的论文[4]。设n≥1，并固定一个度序列d=（d1，d2，…，dn），使得，dn≥1且Pni=1di为偶数。假设具有顶点集[n]：={1，2，…，n}且顶点i具有度dii的图的集G（d）是非空的。设Gnbe是G（d）中均匀随机选择的元素。生成这种图形的标准方法是通过配置模型（有关以下引用的一般结果的详细描述和精确参考，请参见van der Hofstad[9]）。给顶点i指定一个半边数，然后随机均匀地配对半边。一般来说，这会生成一个多重图Mn（即一个具有自循环和多条边的图），但如果我们将其条件设置为简单，它与Gn具有相同的定律。配置模型的一个重要特征是，我们可以按照便于分析的顺序逐边生成配对。我们在度为随机变量D1、D2、…、，Dn其独立且相同分布，并且（1）E[D12]=2E[D1]；（2） 对于常数c>0和α∈（1,2），kα+2P（D1=k）→c作为k→∞。如果Pni=1Di是奇数，那么在进行配对时只需丢弃最后的半边。我们观察到，在这种情况下，P（G（D）6=∅）收敛到严格的正常数n→∞，因此，对于足够大的n，将多重图条件化为简单是有意义的。条件（1）表示图形是关键的。条件（2）要求度具有有限方差但无限三阶矩。有限三阶矩设置已被广泛研究，特别是Joseph[10]和Riordan[11]（针对构件尺寸）以及Dhara、van der Hofstad、van Leeuwaarden和Sen[5]（针对公制结构）。这里的标度极限（最多为常数）与[1]中临界Erdos-R´enyi模型获得的标度限相同（建立在Aldous[2]的工作基础上，他表明组件大小可以编码为带抛物线漂移的布朗运动的运行最小值以上的偏移长度）。让我们假设条件（1）和（2）。写入C1n、C2n。对于Gnlisted中按大小降序排列的连接组件，以及|C1n|，|C2n|。对于这些尺寸。设（Lt，t≥0）是具有拉普拉斯变换E[exp（−λLt）]=exp（cαtλα）、λ≥0、t≥0的谱正α稳定L´evy过程，其中cα=µα（α−1）cΓ（2-α）。通过以下鞅测度变化定义一个新过程（Lt，t≥0）：对于任意t≥0和任意有界可测测试函数f，E[f（Ls，0≤s≤t）]1Ztc=Eexp（Ls−Lt）ds−αtα+1f（Lµ0（α+1）µα+1s，0≥s≤t。网络模型：结构与功能3449然后，下面的结果是对Joseph[10]的一个定理的扩展（从Mnto到Gn）和重新表述。定理1。当n→∞，n-α/（α+1）（|C1n|，|C2n|，…）→（γd1，γ2。是指在其运行最小值之上的L偏移的规定长度。我们的主要结果描述了组件本身的度量空间缩放限制。考虑组件C1n、C2n。Gnas的度量空间，通过赋予每个度量空间图形距离，并为每个顶点分配质量n-α/（α+1）。极限空间有明确的描述。首先，观察稳定L´evy过程L的偏移可以通过所谓的高度过程H（参见Duquesne和Le Gall[7]）来编码稳定树森林。我们可以使用~L和L之间的绝对连续性关系来定义对应于~L的高度过程~H：对于任何t≥0和任何有界可测量测试函数g，E[g（~Ls，~Hs，0≤s≤t）]1Ztc=Eexp（Ls−Lt）ds−αtα+1 g（Lµ0（α+1）µα+1s，Hs，0≤s≤t）。让我们写下Rt=Lt−infLs，t≥0。0≤s≤t写ε1，ε2。对于R在0以上的偏移，按长度的递减顺序，注意这些偏移与偏移h1，h2，…一一对应。H大于0（再次按长度降序列出）。特别是，当i≥1时，ε和hi都有长度γi。设（Ti，di，µi）是以标准方式由hi编码的测量R树，具有正则投影pi:[0，γi]→Ti。在R上，现在考虑强度为µ1{0≤x≤Rt}dtdx的R+×R+上的泊松点过程。（等价地，这是过程R图下方和水平轴上方区域中的速率1泊松点过程。）假设对于i≥1，点的数量miof落在偏移εi之下。如果mi≥1，则设（s（i）1，x（i）l），（s（i）mi，x（i）mil）是点本身。然后，对于1≤k≤mi，设tk=inft≥s（i）k:εi（t）=x（i）ko。最后，对于i≥1，如果mi=0，则letCi=（Ti，di，µi）；如果mi≥1，则设Ci为通过识别点对pi（s（i）1）、pi（t（i））、…、，π（s（i）mi），π（t（i）mi）。对于测量的公制空间（M，d，µ），写下aM作为（M，ad，µ）的缩写。设M是紧测度空间的保测度等距类的序列集，赋予乘积Gromov-Hausdorff-Prokhorov拓扑。然后我们有以下缩放限制。3450Oberwolfach报告57/2017定理2。M中的n→∞，n−（α−1）/（α+1）（C1n，C2n，…）→（Cd1，C2，…）。最近，Dhara、van der Hofstad、van Leeuwaarden和Sen[6]（对于元件尺寸）以及Bhamidi、Dhara，van der Hofstad和Sen[3]（对于度量结构）证明了密切相关的结果。另请参阅本卷尼古拉斯·布鲁丁的演讲摘要，内容涉及他即将与托马斯·杜奎斯内和王敏敏合作的作品。我们观察到，i≥1的生成树（Ti，di，µi）是测量变化的稳定树。实际上，如果是R的偏移量，条件为长度x，并且是（Lt−inf0≤s≤tLs，t≥0）的偏移量条件为长度x（因此编码了大小为x的稳定树），则我们得到expµ1R0x（u）du f（（t），0≤t≤x）i E[f。exp1µR0x（u）du i这个关系以及文献中稳定树的详细知识意味着极限空间C1，C2，…的分布性质。特别容易驾驭；这些性质将在论文[8]的制备中进一步探讨。确认。CG的研究得到了EPSRC Fellowship EP/N004833/1的支持。工具书类 [55] L.Addario-Berry、N.Broutin和C.Goldschmidt，《临界随机图的连续极限》，概率论及相关领域152（2012），367-406·Zbl 1239.05165号 [56] D.奥尔德斯，布朗漂移，临界随机图和乘法合并，《概率年鉴》25（1997），812-854·Zbl 0877.60010号 [57] S.Bhamidi，S.Dhara，R.van der Hofstad和S.Sen，临界重尾网络模型的普遍性：最大分量的度量结构，arXiv:1703.07145（2017）·Zbl 1445.60015号 [58] G.Conchon-Kerjan和C.Goldschmidt，《稳定图：具有i.i.d.幂律度的临界随机图的度量空间尺度极限》，正在编写中·Zbl 1504.05262号 [59] S.Dhara、R.van der Hofstad、J.van Leeuwaarden和S.Sen，配置模型的临界窗口：有限三阶矩，arXiv:1605.02868（2016）·Zbl 1387.60016号 [60] S.Dhara、R.van der Hofstad、J.van Leeuwaarden和S.Sen，临界状态下的重尾配置模型，arXiv:1612.00650（2016）·兹比尔1475.60020 [61] T.Duquesne和J.-F.Le Gall，随机树，L´evy过程和空间分支过程，Ast´erisque 281（2002），vi+147·Zbl 1037.60074号 [62] C.Goldschmidt、B.Haas和D.S´enizergues，《稳定图：分布和断线构造》，准备中·Zbl 1516.05200号 [63] R.van der Hofstad，随机图和复杂网络。第一卷，剑桥大学出版社，剑桥（2017），xvi+321·Zbl 1361.05002号 [64] A.Joseph，给定度序列的临界随机图的分量大小，《应用概率年鉴》，24（2014），2560-2594·Zbl 1318.60015号 [65] O.Riordan，配置模型中的相变，组合数学，概率与计算21（2012），265-299。网络模型：结构和功能3451动态配置模型Hakan G¨uldas（与Luca Avena、Remco van der Hofstad、Frank den Hollander联合工作）根据n个顶点上的配置模型生成的随机图上随机行走的混合时间，有或无回溯，已知是有序对数n。在本次演讲中，我们研究了当随机图变成动态时会发生什么，即在每个时间单位，边的一个分数αno被随机重新布线。在度序列的温和条件下，保证图是局部树状的，我们证明了对于每个ε∈（0，1），无回溯随机游动的ε-混合时间类似于p2-log（1/ε）/log（1/1−αn））作为n→∞，前提是limn→∞αn（logn）2=∞。后一个条件对应于足够快的图形动力学状态。我们的证明基于随机停止时间参数，结合耦合技术和组合估计。感兴趣的停止时间是步行第一次沿着之前重新布线的边缘移动，这接近于一个强大的静止时间。无标度渗流Markus Heydenreich（与Tim Hulshof、Joost Jorritsma联合工作）许多现实世界的网络，如WWW、社交、金融、神经或生物网络，都呈现出一些相当普遍的模式：•两个顶点之间的最小路径的长度相对于系统大小（小世界）来说很小，•顶点的度数表现出幂律（无标度网络），•地理位置接近的顶点可能被连接（几何聚类），•度数较高的顶点可能会被连接，即使彼此相距较远（层次结构）。找到一个好的数学网络模型是一个挑战，它足够丰富，能够捕捉到这些特性，但足够简单，能够进行严格的分析。Deijfen、van der Hofstad和Hooghiemstra（2013）提出的无标度渗流是满足上述所有标准的优秀候选者。它表示Zd上的渗流模型，其中两个格点x和y由概率为px的边连接，y=1−exp−λxWy | x−y |α3452Berwolfach Report 57/2017，其中λ>0是一个渗流参数，Wx和Wyare i.i.d.具有幂律分布P（Wx>w）≈w−（τ−1）、w>0和α>0的边权重表示长程连接的指数。它是（非空间）Norros-Reittu模型和（非无标度）远程渗流的结合，如图1所示。（A） Norros-Reittu随机图，（B）长程渗流，其中px，y=1−exp{−λWxWy/n}，其中px，y=1-exp{-λ/|x−y|α}，τ=1.95，α=3.9，λ=0.9。（C） 无标度渗流，式（）中px，yas，α=3.9，τ=1.95，λ=0.1。图1。Norros-Reittu随机图（A）、长程渗流（B）和无标度渗流（C）的模拟。顶点的大小与其权重成比例绘制。网络模型：结构与功能3453 Bringmann、Keusch和Lengler（2016）考虑了有限域和连续空间中此模型的变体。事实上，他们证明了在一定的参数范围内，无限晶格结转模型的主要结果。Deprez、Hazra和W¨uthrich（2015年）获得了更多地产。我们研究了存在无限连通分量时的结构性质。有趣的是，上面介绍的各种参数可以浓缩为一个新参数γ=α（τ−1）/d，它控制模型的行为。第一个结果涉及无限簇上的随机游动特性。定理1。对于无标度渗流，只要选择参数λ，即存在（唯一）无限团簇，则情况如下。（i） 如果τ≤2且γ∈（1,2）或τ>2且α∈（d，2d），则无标度渗流的无限簇是瞬态的。（ii）在维数d=1,2中，如果γ>2且α>2d，则无标度渗流的无限簇是递归的。对于γ<1或α<d，每个顶点都有a.s.无限度，因此瞬变与复发的概念不适用于这些情况。在维数d≥3的定理的区域（ii）中，研究瞬变与递归是一个公开的问题；这似乎是无法解决的，即使是长期渗流。此外，我们通过引入一个称为层次聚类树的新对象，正式化了“层次”的概念，并证明了当γ∈（1，2）和λ>0时，这种树就存在。有关详细信息，请参阅Heydenreich、Hulshof和Jorritsma（2017）中的定义2.5和定理2.6。工具书类 [66] K.Bringmann、R.Keusch和J.Lengler。具有基本几何结构的一般无标度网络中的平均距离。预印arXiv:1602.05712[cs.SI]，2016年。 [67] K.Bringmann、R.Keusch和J.Lengler。几何非均匀随机图。预印本arXiv:11511.00576[cs.DM]，2016·Zbl 1414.05264号 [68] M.Deijfen、R.van der Hofstad和G.Hooghiemstra。无垢渗流。安·Inst.Henri Poincar´e Probab。统计，49（3）：817-8382013年·Zbl 1274.60290号 [69] M.Heydenreich、T.Hulshof和J.Jorritsma。超临界无标度渗流的结构。Ann.应用概率。，27(4):2569-2604, 2017. ·Zbl 1373.60158号 [70] P.Deprez、R.S.Hazra和M.V.W¨uthrich。用于实际网络建模的非均匀长程渗流。风险，3（1）：2015年1月。微亚临界超立方体渗流Tim Hulshof（与Asaf Nachmias联合工作）我们研究了超立方体内的键渗流{0,1}min，其中p=pc（1-εm）和εm=o（1）但εm≫2−m/3，并研究了体积和直径最大的团簇。我们确定，最大组分很可能具有基数θε−2mlog（ε3m2m），所有3454 Oberwolfach Report 57/2017集群的最大直径为（1+o（1。这些结果具有不同程度的通用性，特别是一些估计适用于各种类型的图，例如高维环面、高次和围长的扩张、完全图的乘积以及高维无限格。边可交换随机图Svante Janson边可交换（多）随机图是由Crane和Dempsey[6,7]引入的。Broderick和Cai[4]以及Campbell、Cai和Broderick[5]给出了一个等效模型，使用了一些不同的公式。其思想是，我们有一个固定的（标记的）顶点集，并添加一系列边（视为顶点对）。允许重复，所以我们构造了一个多重图。边的序列应该是可交换的。根据De Finetti定理，这等价于：设V是有限集或无限集，设µ是V上完整图的边上的确定性或随机概率测度。（1） 给定µ，取具有µ分布的N i.i.d.边缘。（2） 删除所有孤立顶点。在我看来，与具有离散型空间N的顶点可交换随机图（如[2，3，9，1，11]）有一些相似之处，但这两个模型截然不同。例如，边可交换图的每种类型最多有一个顶点。示例1。设（qi）是N上的概率分布。对于每条边，只需使用此分布独立地选取其两个端点。因此，µ（ij）=qiqj。参考点可交换图的类似“秩1”情形，其中W（x，y）=φ（x）φ（y）。示例2。Pittel[10]考虑了一个具有固定顶点集[n]和n条边逐个相加的随机多重图过程，边ij的相加概率与（di+α）（dj+α）成正比，其中dii是i的当前次数（对循环稍作修改）。这里，α>0是一个固定参数。等效：选择概率与di+α成正比的顶点。然后将前两个顶点连接到一条边上，然后连接下两个顶点，依此类推。因此，顶点是根据P´olya urn过程选择的，从每种颜色的α球开始（=顶点）。顶点序列是可交换的，因此边序列也是可交换的。因此，这是一个边缘可交换的随机多重图。备注：（1）可交换性意味着以每个顶点的最终阶为条件，所有可能的边序列具有相同的概率。因此，以度序列为条件，随机多重图是配置模型给出的多重图。网络模型：结构和功能3455（2）P´olya urn过程的标准结果表明，向量（di/2N）收敛到Dirichlet（α，…，α）分布，即N→∞。一个带有其他参数的中餐馆过程会产生一个类似的边可交换随机多重图（在一些顶点上增长到∞）。简单的图形版本。我们可以合并多条边并忽略循环，从而获得随机简单图。这给出了一个简单图形的递增序列。让Gmbe得到具有m条边的简单图。示例3。如果P（ij）～（（i∨j）！）−4，则a.s.Gm=Knwhen m=n2，对于所有大n。因此Gn→图形1 a.s.为n→∞。示例4。V=N上存在一个边的分布µ，使得序列Gnis在图极限空间中稠密，即对于每个图极限（graphon），都存在一个子序列Gmicon？还是什么都没有？详见[8]。工具书类 [71] 克里斯蒂安·博格斯（Christian Borgs）、詹妮弗·查耶斯（Jennifer T.Chayes）、亨利·科恩（Henry Cohn）和尼娜·霍尔顿（Nina Holden）。稀疏可交换图及其通过graphon过程的极限。预印本，2016年。arXiv:1601.07134v1·Zbl 1469.60158号 [72] Christian Borgs、Jennifer T.Chayes、L´aszl´o Lov´asz、Vera T.S´os和Katalin Vesztergombi。稠密图的收敛序列I：子图频率、度量属性和测试，数学进展。219 (2008), 1801-1851. ·Zbl 1213.05161号 [73] Christian Borgs、Jennifer T.Chayes、L´aszl´o Lov´asz、Vera T.S´os和Katalin Vesztergombi。稠密图的收敛序列II。多路切割和统计物理。数学年鉴。（2） 176（2012），第1期，第151-219页·Zbl 1247.05124号 [74] 塔玛拉·布罗德里克和戴安娜·蔡。边交换图和稀疏性。预印本，2016年。arXiv:1603.06898v1 [75] 特雷弗·坎贝尔（Trevor Campbell）、戴安娜·蔡（Diana Cai）和塔玛拉·布罗德里克（Tamara Broderick）。可交换特征分配。预印本，2016年。arXiv:1609.09147v1·Zbl 1411.62068号 [76] 哈里·克莱恩和沃尔特·邓普西。网络数据的边缘可交换模型。预印本，2016年。arXiv:1603.04571v3·Zbl 1402.90027号 [77] Harry Crane和Walter Dempsey。关系可变性。预印本，2016年。arXiv：1607.06762v1 [78] Svante Janson，边上可交换随机图。J.统计物理学，即将出版·兹比尔1405.05161 [79] L´aszl´o Lov´asz，大型网络和图形极限。美国数学学会，普罗维登斯，RI，2012年·Zbl 1292.05001号 [80] 鲍里斯·皮特尔。在随机图上逐步演化。高级数学。223（2010），第2期，619-671·兹比尔1203.05140 [81] 维克多·维伊奇（Victor Veitch）和丹尼尔·罗伊（Daniel M.Roy）。由可交换随机测度产生的一类随机图。预印本，2015年。arXiv:15122.03099 3456 Oberwolfach报告57/2017配置模型中的加权距离J´ulia Komj´athy（与E.Adrians、E.Baroni、R.van der Hofstad联合工作）在本次演讲中，我们研究了配置模型中具有经验度分布的加权距离，该分布遵循指数τ∈（2，3）的幂律。我们给图的边分配独立且同分布的（i.i.d.）权重。我们研究两个均匀选择的顶点之间的加权距离（最短加权路径的长度），称为典型距离。让我们用σ表示边权重分布，让dσ（un，vn）表示图中（-1）n个顶点上两个均匀选择的顶点之间相对于i.i.d.σ分布边权重的加权距离。设Fσ表示σ的分布函数的广义逆。当∞2Fσ（-1）（exp（-ek））<∞时，对于所有τ∈（2，3），发现近似顶点局部邻域的潜在年龄依赖分支过程在有限时间内产生无限多个个体，称为爆炸分支过程。k=1当这个条件成立时，我们证明了加权配置模型中的典型距离在分布上收敛到一个有界随机变量，即对于某些适当的随机变量V，dσ（un，vn）−→Vd，其中−→表示在分布上的收敛 [82] 当基本分支过程不是爆炸性的时，我们证明了log log n/| log（τ−2）| dσ（un，vn）/X2Fσ（−1）（exp（-（τ‐2）−k））-→1，P k=1，其中-→表示概率收敛[2]。这些结果适用于任何（非必要的连续）边重分布。该序列随着顶点数量趋于无穷大，并且通过选择适当的权重分布，可以调整为任何增长函数，即O（log log n），其中n是图中的顶点数。证明技术包括构型模型上的度相关渗流和分支过程近似。工具书类 [83] E.Baroni、R.van der Hofstad和J.Komj’athy。无限方差加权随机图的非普适性，应用概率杂志，54（1）：（2017）146-164·Zbl 1396.05098号 [84] E.Adriaans和J.Komj’athy。无标度配置模型中的加权距离，被《统计物理杂志》专刊《复杂网络》接受。（2018）网络模型：随机平面三角剖分上的结构和功能3457渗流：一种玻尔兹曼方法Gr´egory-Miermont（与Olivier Bernardi、Nicolas Curien联合工作）近年来研究了随机平面地图上Bernoulli渗流的各个方面[1、2、11、7、12、6、8、9]。设Tnbe是具有n个顶点的2球体的均匀选择随机根三角剖分，其中三角剖分被认为是保持根的方向保持同胚。Angel和Schramm已经证明[3]，Tn在分布上局部收敛于一个基本的极限对象，即均匀无限平面三角剖分（UIPT）T∞。我们考虑T∞上的伯努利点（或键）渗流，其中每个顶点（或边）都独立地以概率p声明为开，否则为闭，条件是给定T∞的实现。Angel[1]使用马尔科夫对T∞的探索，将其视为剥离过程，表明贝努利点渗流阈值为psitec（T∞）=1/2，高于该阈值时，T∞根的开簇具有无穷正概率。Angel和Curien[2]后来使用类似的方法确定了T∞的相关半平面型H∞的键渗流阈值为pbondc（H∞）=（2√3−1）/11。与剥离过程的“动态”方法相反，工作[7]使用“固定”组合分解（受[4]启发）和已知的三角剖分枚举结果来研究具有大边界的渗流簇的缩放极限。所有上述工作在某种意义上都集中在一个渗流界面的几何学上，因此研究了大型渗流团簇外边界的几何学。在这里，我们开发了一种方法，旨在研究有限映射中原点的完整簇。我们考虑临界玻尔兹曼三角测量，即随机有限平面三角测量T，其选择概率与z0#三角形成比例，其中z0=432−1/4是该定义有意义的最大值。根据该定律，T有n个三角形的概率在n中多项式衰减。然后，我们将参数p∈[0,1]的Bernoulli位或键渗流模型赋给T，并考虑原点簇C（p）。簇C（p）是一个随机平面映射，它也具有玻尔兹曼分布，从这个意义上讲，存在一个依赖于参数p的非负数序列（qk）k>0，这样C（p）等于任何映射m的概率与mof qdeg（f）的所有面f上的乘积成正比。通过根据边界长度和边界上顶点/边的数量枚举带边界的三角剖分，使用[13，5]中的生成函数方法，我们发现在站点渗透的值√pc=1/2和键渗透的值pc=（23−1）/11处存在相变。这种相变至少以三种方式表现出来：（a）簇C（p）有n个顶点的概率在n中指数衰减（p＜pc），多项式衰减（p≥pc），如n−20/7（p＝pc）和n−5/2（p＞pc），3458 Oberwolfach Report 57/2017（b）围绕C（pp6=pc的指数衰减，p=pc的多项式衰减为n−10/3，（c）p<pc、p=pc和p>pc的序列（qk）k>0的渐近形式不同。通过使用（a）和T与UIPT T∞的比较技术，我们给出了另一种证明，即pc的值对应于渗流阈值pc（T∞）T∞上的位置和键渗流，如上所述。我们还证明了在亚临界状态下C（p）大小的尾部分布的指数衰减。结果（b）表明，条件为具有多个顶点的临界簇C（pc）将具有一些多项式大度的面。结果（c）使我们能够证明临界簇c（pc）是Le Gall和Miermont[10]意义上的非正则临界玻尔兹曼映射。这强烈表明，条件是n个顶点的重标临界渗流簇在法律上收敛于所谓的参数稳定映射76。这个推测极限使我们对C（pc）的分布和几何作出了几个额外的推测，与戈尼、毛雷尔·塞格拉和辛格的最新结果有关 [85] .参考文献 [86] O.安吉尔。均匀无限平面三角剖分上的增长和渗流。地理。功能。分析。，13(5):935-974, 2003. ·Zbl 1039.60085号 [87] O.Angel和N.Curien。无限随机映射上的渗流，半平面模型。Ann.Inst.H.Poincar´e Probab公司。统计人员。，51(2):405-431, 2014. ·Zbl 1315.60105号 [88] O.Angel和O.Schramm。均匀无限平面三角剖分。公共数学。物理。，241(2-3):191-213, 2003. ·Zbl 1098.60010号 [89] G.Boort、J.Bouttier和E.Guitter。通过嵌套循环递归处理随机映射上的O（N）模型。《物理学杂志》。A： 数学。理论。，45, 2012. ·Zbl 1235.82026号 [90] M.Bousquet-M´elou和A.Jehanne。带有一个催化变量的多项式方程、代数级数和地图枚举。J.组合理论系列。B、 96（5）：623–6722006年·兹比尔1099.05043 [91] N.居里。剥离随机平面贴图。可在获取https://www.math.u-psud.fr/居里/·Zbl 1502.60144号 [92] N.Curien和I.Kortchemski。随机三角剖分和稳定循环树上的渗透。普罗巴伯。理论相关领域（即将出现）·Zbl 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Fan联合工作）给定一个图G=（V，E），|V|=n，最小二分问题要求将其顶点集划分为两个基数相等的子集，以最小化划分的边数。在重定标之前，这等价于求解以下整数规划问题最大化σ，AGσi，服从σ∈{+1，−1}nhσ，1i=0，其中AG是G的邻接矩阵。用OPT（G）表示该问题的值。在[1]中证明，如果G是一个Erd¨os-Renyi随机图，具有√平均度d，G√~G（n，d/n），那么高概率OPT（G）/n=2P＊d+on（1）+o（d），其中P＊≈0.763166726566547是Sherrington-Kirkpatrick模型的基态能量，可以使用帕里西公式计算（此处报告的评估是由曼努埃尔·J·施密特提供的）。OPT（G）的多项式时间可计算上界是什么？也就是说，想要一个可以在多项式时间内计算的量UB（G），这样：（i）对于任何图，OPT（G）≤UB（G）；（ii）随机图的OPT（G）≈UB（G）。通过求解以下半定规划（AcenG=AG−（d/n）11T）最大化AcenG，Xi，服从X0，Xi=1∀i，得到了一个经典的此类上界。在[2,3]中，我们证明了这个程序的几个值，用SDP（G）表示。特别是[3]，如果G～G（n，d/n），那么对于d≥1，√1 1√1 2d1−−on（1）≤SDP（G）≤2d1‐+on（1。d+1n2d参考 [99] A.Dembo、A.Montanari和S.Sen，稀疏随机图的极值切割，《概率年鉴》45.2（2017）：1190-1217·兹比尔1372.05196 [100] A.Montanari和S.Sen，稀疏随机图的半定规划及其在社区检测中的应用，第四十八届ACM计算理论研讨会论文集。ACM，2016年·Zbl 1376.90043号 [101] Z.Fan和A.Montanari，局部算法解决半定程序的效果如何？第49届ACM SIGACT计算理论年会论文集。ACM，2017 3460Oberwolfach Report 57/2017 Information Flow on Networks Elchanan Mossel我们首先回顾了树木上的信息流过程，如[3,1]，然后我们讨论了与Anuran Makur和Yury Polyanskiy一起研究的DAG上信息流的新变体。有趣的是，在DAG上的信息流中，网络以对数速度增长就足以记住比特。我们讨论了各种边界和相变。在演讲的第二部分中，基于[2]，我们介绍了信息流过程，该过程对以层次方式生成的数据进行建模。对于这样的模型，我们可以证明深度和浅层算法之间的分离是适当定义的。工具书类 [102] E.莫塞尔。调查：树木信息流。在J.Nestril和P.Winkler，Graphs，Morphisms and Statistical Physics编辑。离散数学和理论计算机科学DIMACS系列，第155-170页。2004. ·Zbl 1066.94006号 [103] E.莫塞尔。深度学习和层级生成模型，2016年。arXiv预打印arXiv:1612.09057。 [104] E.Mossel和Y.Peres。树上的信息流。附录申请。概率。，13(3):817-844, 2003. 分支布朗运动与质量衰减和非局部Fisher-KPP方程Sarah Penington（与Louigi Addario-Berry、Julien Berestycki联合工作）分支布朗运动和质量衰减是[1]中介绍的空间结构种群中资源竞争模型。该模型基于一维分支布朗运动（BBM）。我们给BBM中的每个粒子指定一个质量；对于某些固定的µ>0，粒子的质量在以粒子位置为中心的半径为µ的窗口中以与粒子总质量成比例的速率衰减。更准确地说，我们让N（t）表示时间t时BBM中的粒子数，让（Xi（t），i≤N（t。对于t≥0，x∈R，设1Xζ（t，x）=Mi（t）。2µ{i:|Xi（t）−x|∈（0，µ）}然后对于i≤N（t），设Zt Mi（t）=exp−ζ对于m>0，我们设d（t，m）=inf{x>0:ζ（t，x）<m}和d（t，m）=sup{x:ζ（tx）>m}。然后使用一致网络模型的结果：分支布朗运动的结构和函数3461最大位移[3]，4]，我们在[1]中表明，对于m∈（0，1），几乎可以肯定，√√lim sup2t−d。在最近与Louigi Addario-Berry和Julien Berestycki的联合工作中[2]，我们表明，在很大程度上，有界时间间隔上的局部质量密度可以通过非局部Fisher-KPP方程的解来很好地逼近，其中φ（y）=（2µ）−11|y|≤µ。这使我们能够表明，对于足够小的µ，BBM中的局部质量密度随着质量衰减而收敛到前面后面的一个。对于大µ来说，前部后面的局部质量密度的行为是一个悬而未决的问题。工具书类 [105] L.Addario-Berry，S.Penington。分支布朗运动与质量衰减的前沿位置，《概率年鉴》45（6A）（2017），3752-3794·Zbl 1437.60053号 [106] L.Addario-Berry，J.Berestycki，S.Penington。分支布朗运动与质量衰减和非局部Fisher-KPP方程，arXiv预印本arXiv:1712.08098（2017）·兹比尔1509.35138 [107] B.贾弗尔。分支随机游动与吸收生存的关键障碍，《亨利·庞加尔研究所年鉴》，《概率与统计》48（4）（2012），989-1009·Zbl 1263.60076号 [108] M.罗伯茨。分枝布朗运动一致最大位移的精细渐近性，电子。J.概率。20(28) (2015), 1-26. 随机有向图上随机游动的混合时间和截止时间Justin Salez（与Charles Bordenave，Pietro Caputo联合工作）如果有限遍历马尔可夫链到平衡的距离在一定次数的迭代中保持接近1，然后在更短的时间标度上突然下降到0，则会显示出截止。最初是在洗牌时发现的·兹比尔1320.60145 [109] 现在，对于许多可逆链来说，这一显著现象已经被严格确立。在[2]中，我们考虑了稀疏有向图上随机游动的不可逆情况，对于这种情况，甚至平衡测度也远未被理解。我们在配置模型下工作，允许自由指定入度和出度。我们建立了截止现象，确定了其精确窗口，并证明了截止轮廓接近于一个普适形状。我们还对平衡测度进行了详细描述。3462 Oberwolfach报告57/2017参考文献 [110] D.Aldous和P.Diaconis。洗牌和停止时间，《美国数学月刊》（1986），333-348·Zbl 0603.60006号 [111] C.博尔德纳夫、P.卡普托和J.萨利兹。稀疏随机有向图上的随机游动，概率论及相关领域。最优子图结构Clara Stegehuis（与Remco van der Hofstad和Johan S.H.van Leeuwaarden联合工作）子图揭示了复杂网络的几何和功能信息。我们将一个小连通图作为一个诱导子图（graphlet计数）出现在非均匀随机图或具有无穷方差幂律度的擦除配置模型中的次数进行计数。我们定义了一个优化问题，该问题可以为任何子图找到共同跨越子图的节点的最可能程度。我们发现，每个子图通常出现在具有特定度范围的顶点之间。此外，这些度范围仅具有四个不同数量级。通过这种方式，我们可以计算和刻画所有子图。工具书类 [112] R.van der Hofstad，J.S.H.van Leeuwaarden，C.Stegehuis，无标度配置模型中的最优子图结构，arXiv:1709.03466（2017）。伯努利渗流Augusto Teixeira（与Pierre Nolin、Vincent Tassion联合工作）Benjamini和Kesten在[5]中没有例外的词，他们在1995年提出了将无限二进制序列嵌入到伯努利渗透配置中的问题，即词的渗流。我们对他们的开放问题2给出了一个肯定的答案：几乎可以肯定的是，Z3上的所有单词都是关于参数p=12的站点渗流的。我们还将此结果推广到各个方向。工具书类 [113] Benjamini，I.Kesten，H.，{0，1}N中任意词的渗透，Ann.Prob。23 (1995), 1024-1060. 网络模型：结构和功能3463具有对数权重的资源共享Amandine V´eber（与Philippe Robert合作）我们将考虑J个客户端共享一台服务器的通信网络。如果客户端j有x个挂起的作业，它将接收服务器容量的一小部分，该容量与ln（1+x）成正比。与资源线性分配（即与x成比例）的情况相反，当作业总数趋于无穷大时，几个时间尺度以良好的方式相互作用，形成系统的渐近行为。特别是，对应于每个客户机的作业数量可能会在不同的时间尺度上发展，并且具有非常不同的数量级。将此结果扩展到客户端之间的不同干扰图（即，星形而非完整），可以揭示全球系统的稳定性对交互网络的依赖程度。参考文献·Zbl 0832.60095号 [114] P.Robert和A.V´eber，对数权重资源共享的随机分析，Ann.应用概率论。25 (2015), 2626-2670. ·Zbl 1326.60133号 [115] P.Robert和A.V´eber，具有对数权重的恒星网络的标度分析，预印本（2017）。有界Achlioptas过程中的相变Lutz Warnke（与Oliver Riordan联合工作）在本次讲座中，我们讨论了Achliopsas过程的渗流相变，该过程已成为边之间具有依赖性的随机图过程的一个关键示例（参见，例如[1，6，14，9，15]）。从n个顶点上的一个空图开始，在每一步中均匀地随机选择两个潜在边。然后根据某些规则将这两条边中的一条添加到进化图中，其中的选择可能仅取决于包含四个端点的组件的大小。对于广泛研究的一类有界尺寸规则（其中所有大于某个常数K的组分尺寸都被视为相同的），渗流相变的位置和存在性现在已经得到了很好的理解。然而，尽管在过去十年中取得了许多部分结果（例如，参见[5、21、11、13、4、15、3、2、16、8、17、18]），我们对相变的更精细细节的理解仍然不完整，尤其是关于最大组分的大小。我们的主要结果（来自arXiv：1704.08714和arXiv：1706.00283）解决了所有有界尺寸Achlioptas过程中渗流的有限尺寸标度行为。我们证明，对于任何此类规则，相变在质量上与经典Erdos-R´enyi随机图过程在非常精确的意义上是相同的：“临界窗口”（或“缩放窗口”）的宽度是相同的，3464Oberwolfach报告57/2017窗口上方和下方最大组分大小的渐近行为以及整个相变过程中组分大小分布的尾部行为也是如此。特别地，当ε=ε，i步后最大分量的大小满足（Cε−2log（ε3n），如果i=tcn−εn，L1（i）~Cεnif i=tcn+εn，其中tc，C，C>0是规则相关常数（在Erdõos-R´enyi情况下，我们有tc=C=1/2和C=4）。这些结果和我们关于元件尺寸分布的相关结果解决了[21，20，11，7，13，3，12，8]中的一些猜想和公开问题。用数学物理的语言来说，他们确定所有有界Achlioptas过程都属于同一个“普适性类”（我们不认为这对一般Achliopsas过程来说是真的）。这种强大的结果（完全识别了最大成分的相变和临界窗口）只适用于极少数随机图模型。我们的证明通过组合多轮暴露参数、微分方程方法、PDE理论和耦合参数的混合来处理有界Achlioptas过程中存在的边依赖性。这最终使我们能够通过分支过程参数分析相变，有关详细信息，请参见[19，10]。工具书类 [116] D.Achlioptas、R.M.D’Souza和J.Spencer。随机网络中的爆炸性渗流。《科学》323（2009），1453-1455·Zbl 1226.05221号 [117] S.Bhamidi、A.Budhiraja和X.Wang。随机图的增广乘法合并、有界大小规则和临界动力学。普罗巴伯。理论相关领域160（2014），733-796·Zbl 1318.60012号 [118] S.Bhamidi、A.Budhiraja和X.Wang。有限规模规则：几乎没有亚临界状态。组合概率。计算。23 (2014), 505-538. ·Zbl 1336.05113号 [119] S.Bhamidi、A.Budhiraja和X.Wang。具有有限选择和乘法合并的聚合模型。随机结构。阿尔及利亚。46 (2015), 55-116. ·Zbl 1307.05200号 [120] T.Bohman和D.Kravitz。创建一个巨大的组件。组合概率。计算。15 (2006), 489-511. ·兹比尔1121.05107 [121] T.Bohman。网络连接的出现。《科学》323（2009），1438-1439。 [122] C.Borgs和J.Spencer。个人通信，EURANDOM研讨会概率和图表（2014年）。 [123] M.Drmota、M.Kang和K.Panagiotou。在随机图过程中追求巨人。预印本（2013）。 [124] 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27（2007），587-628。高维线性回归中的相变Ilias Zadik（与David Gamarnik联合工作）在这篇演讲中，我们在X∈Rn×p，W∈Rnhave独立的标准高斯项和已知k稀疏的β*的设置下，考虑稀疏高维线性回归问题Y=Xβ*+W。目标是从观测到的X和Y中恢复向量β*∈Rpf的支持，相对于来自X和w的随机性，具有高概率（w.h.p.）。注意，n对应于样本大小，p对应于特征数量。关于这个主题的大量文献暗示，在某些假设下，信息的最佳已知必要样本量n*与有效恢复向量β*的最佳已知足够样本量nalg之间存在有趣的渐近差距（例如，LASSO或正交匹配追踪等技术在此设置中需要证明的样本大小）。这一差距自然提出了两个问题。假设样本大小n满足n*<n<nalg，是否存在足够的信息来恢复β*，如果有，我们能否构造一个有效的算法来恢复它？在这次演讲中，我们将介绍几个研究这些问题的新结果。首先，我们将给出一个全有或全无类型的结果，完全回答第一个问题。其次，我们将给出一个结果，表明对于满足n*<n<cnalg的样本量，对于一些c>0，问题满足一个称为重叠间隙性质的性质，该性质起源于统计物理学，已知提供了算法难度的证据。最后我们将证明，如果某些C>0的n>Cnalg，问题不满足这个重叠间隙性质，而且问题的“局部”结构足够光滑，因此即使是基于局部搜索的非常简单的算法也可以恢复向量β*。3466 Oberwolfach报告57/2017参考文献 [137] 大卫·加马尼克和伊利亚斯·扎迪克。二元系数高维线性回归：均方误差和相变。学习理论会议（COLT），2017年·兹比尔1486.62200 [138] 大卫·加马尼克和伊利亚斯·扎迪克。稀疏 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。