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大卫·伯杰;梅尔夫·库特鲁

一类离散分布的拟无限可除性。 （英语） Zbl 1512.60009号

程序。美国数学。Soc公司。 151，第5期，2211-2224（2023）.
设\（\mu\）是一个分布，即\（\mathbb｛R｝\）上的概率测度，形式为\[\mu:=p\mu{d}+（1-p）\mu{ac}\]对于（0<p\leq1），离散分布（mu{d}）和绝对连续分布（mu}ac}）。然后存在一个离散子集\（a\subset\mathbb{R}\）和一个序列\（a{y}）{y\在a}\subset[0，\infty[\）中，这样\（a}a{y{=1\）和\（mu{d}:=sum{y\，其中\（delta{y}\）表示点\（y\ in\mathbb{R}）的Dirac测度此外，存在一个勒贝格密度，即（mu_{ac}（dx）=f（x）dx\）。然后通过下式给出\（\mu\）的特征函数\[\在A}A{y}e^{izy}+（1-p）\int_{mathbb{R}}f（x）e中，widehat\mu（z）=p\sum_y\^{izx}dx，\quad z\in\mathbb{R}。\标记{\（\ast\）}\]无穷可分分布是一类非常重要的概率分布，具有多种应用，因为它们自然地对应于Lévy过程。无穷可分分布完全由著名的Lévy-Khintchine公式刻画，该公式指出，在（mathbb{R}）上的分布（mu）是无穷可分的当且仅当其特征函数允许表示\[\widehat\mu（z）：=\int_{mathbb{R}}e^{izx}\mu（dx）=\exp\left（i\gamma-\frac{a}{2}z^2+\int_}\mathbb}R}}（e^{izx}-1-izx\数学BF{1}_{]-1，1[}（x））（dx）\右），\]对于所有的\（z\in\mathbb{R}）和一些\（a\geq0），\（gamma\in\mathbb{R}）以及\（nu）是\（mathbb}）上的Lévy测度，也就是说，满足\（nu（{0}）=0）和\（int_{mathbb{R}}（x^2\wedge 1）nu（dx）<+infty）的测度。三元组\（（a，\gamma，\nu）\）是唯一的，称为\（\mu\）的特征三元组。有关无穷可分分布的这一信息和更多信息，请参阅[K.-I.佐藤Lévy过程和无穷可分分布。第二修订版，剑桥：剑桥大学出版社（2013；Zbl 1287.60003号)]. 拟不可分分布推广了一类无穷可分分布。
作者考虑了（mathbb{R}）上的分布，它可以写成非零离散分布和绝对连续分布的和。他们证明了这样一个分布是拟不可分的当且仅当其特征函数有界远离零时，从而给出了一类新的拟不可分割分布。对于这类分布，作者刻画了某些函数（H）的（H）矩的存在性。更准确地说，他们证明了以下定理，该定理给出了\（mathbb{R}\）上一类更一般的复值函数的结果，并可用于获得\（mu\）的拟无限可除性的特征，如\（ast）\：
定理。设（F:\mathbb{R}\to\mathbb{C}），（z\mapsto F（z）=A}中的sum_{y\_{y} e（电子）^{izy}+\int_{\mathbb{R}}f（x）e^｛izx｝dx\)其中，\（emptyset\neqA\subset\mathbb{R}）是离散的，\（A{y}）{y\在A}\subset\nathbb{C}中是一个系数序列，对于和，它保持为\（0<sum_y\在A}|A{y{|<infty\）和\（f\在L^1中（\mathbb{R}；\mathbb2{C}）。
那么以下陈述是等价的：
（i）
\（\inf_{z\in\mathbb{R}}|F（z）|>0\）；
（ii）
\（F（z）\neq 0）表示全部（z\ in \mathbb{R}）和（inf_{z\ in \ mathbb}}|\sum_{y\ in A}A{y}e^{izy}|>0）；
（iii）
存在一个离散子集（B\subset\mathbb{R}）、一个序列（B_subset\mathbb{C}中的（B_y}）{y\）和一个函数（L^1中的g\），使得函数（g:mathbb}R}to mathbb_2C}）由\[G（z）：=B}B{y}e^{izy}+int_{mathbb{R}}G（x）e中的sum_{y\^｛izx｝dx\四元\text{for-all}z\in\mathbb{R}\]满足所有（z\in\mathbb{R}）的（F（z）G（z）=1）；
（iv）
\（F）承认陈述\[F（z）=\exp\左（i\gammaz+\sum_{y\在C}C_{y}e^{izy}+\int_{mathbb{R}}h（x）e中^{izx}dx+m\int_{\mathbb{R}}\frac{e^{-|x|}}{x|}\mathrm{sgn}（x）（e^{izx}-1)dx\右）\]对于所有带有一些（gamma）、离散子集（C\subset\mathbb{R}）、序列（C_{y}）和序列（C_subset\mathbb{C}）的所有（z），使得（sum_y\ in C}|C_{y}|<infty）、（h z中的\）；
（v）
\（F）承认陈述\[F（z）=\exp\左（i \gamma z-\frac{a}{2}z^2+\int_{mathbb{R}}（e^{izx}-1-izx\马特布夫{1}_{]-1，1[}（x））（dx）\右）\]对于所有\（z\in\mathbb｛R｝\），具有一些\（a\），\（\gamma\in\mathbb｛C｝\）和\（\mathbb｛R｝\）上的复拟莱维型测度\（\nu\）。
如果这些语句中的一个，也就是所有语句都适用于满足GRS条件的\（L_\omega^1（\mathbb{R}；\mathbb2{C}）\）和\（A}\omega（y）|A{y}|<\infty）上的某个权重\（\omega\），则\（g，H，（b_{y}）_{y\在b}\）和\（C_{y{）_}y\在C}\）相应地改变，在这个意义上，L_\omega^1（\mathbb{R}；\mathbb2{C}）中的\（g，h），B}\omega（y）|B_{y}|<\infty）中的\sum_{y\和C}\omega\（y）| C_{y{|<\infty）。
审核人：努雷丁·戴利（Sétif）

引用于1文件

MSC公司：

60E07型 无限可分分布；稳定分布
60E10型 特性函数；其他变换
60E05型 概率分布：一般理论

关键词：

分布;离散和绝对连续分布;无限可分分布;准无限可除性

引文：

Zbl 1287.60003号
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{D.Berger}和\textit{M.Kutlu}，程序。美国数学。Soc.151，No.5，2211--2224（2023；Zbl 1512.60009）
全文： DOI程序 arXiv公司

参考文献：

[1] I.A.Alexeev和A.A.Khartov，离散概率律特征函数的谱表示，预印本，2101.06038，2021·Zbl 1476.60034号
[2] 青山，高弘，概率观点下多变量有限欧拉积的行为，数学。纳克里斯。，1691-1700 (2013) ·兹比尔1293.60023 ·doi:10.1002/mana.201200151
[3] Balan，Radu，一个几乎周期的非交换Wiener引理，J.Math。分析。申请。，339-349 (2010) ·Zbl 1211.46043号 ·doi:10.1016/j.jmaa.2010.04.053
[4] David Berger，《关于点质量的拟无限可分分布》，数学。纳克里斯。，1674-1684 (2019) ·Zbl 1480.60038号 ·doi:10.1002/mana.201800073
[5] 大卫·伯杰{e} vy（虚拟）过程，广义矩和一致可积性，Probab。数学。统计人员。，109-131 (2022) ·Zbl 1520.60027号
[6] Chaumont，Lo\“{i}c，通过随机漫步和L\'的一生短途旅行{e} vy（虚拟）过程——纪念罗恩·多尼80岁生日的一本书。一生中通过随机游动和L{e} vy（虚拟）过程，程序。概率。，1-11（[2021]©2021），Birkh“{a} 用户/查姆施普林格·Zbl 1496.01009号 ·doi:10.1007/978-3-030-83309-1
[7] 伯杰，大卫，一个疯子{e} r-沃尔德（mathbb{Z}^d）值分布的无限可除性装置，伯努利，1276-1283（2022）·Zbl 1527.60019号 ·doi:10.3150/21-bej1386
[8] Chhaiba，Hassan，双曲Landau水平广义负二项分布分析，J.Math。物理。，072103，14页（2016）·Zbl 1342.81106号 ·doi:10.1063/1.4958724
[9] Cordunenu，Constantin，《几乎周期性振荡和波动》，viii+308 pp.（2009），纽约斯普林格·Zbl 1163.34002号 ·doi:10.1007/978-0-387-09819-7
[10] R.Cuppens，《多元概率分解》，学术出版社，纽约，1975年·Zbl 0363.60012号
[11] Demni，Nizar，与较高Landau能级相关的广义泊松分布分析，Infin。尺寸。分析。量子概率。相关。顶部。，1550028，13页（2015）·Zbl 1333.81454号 ·doi:10.1142/S021902571550289
[12] Evans，Lawrence C.，偏微分方程，数学研究生院，xxii+749页（2010），美国数学学会，罗得岛普罗维登斯·Zbl 1194.35001号 ·doi:10.1090/gsm/019
[13] Gelfand，I.，交换赋范环，306页（1964），切尔西出版公司，纽约
[14] K.Gr“ochenig，Wiener引理：主题和变化。谱不变性及其应用简介，四门简谐分析课程，Birkh”auser，波士顿，2010年，第175-234页·Zbl 1215.46034号
[15] Khartov，A.A.，离散律的拟无限可除性准则，Statist。普罗巴伯。莱特。，论文编号109436，第4页（2022年）·Zbl 1486.60027号 ·doi:10.1016/j.spl.2022.109436文件
[16] M.G.Krein，带核的半线积分方程，取决于参数的差异，Trans。阿米尔。数学。Soc.22（1962），163-288·Zbl 0119.09601号
[17] Levitan，B.M.，《概周期函数和微分方程》，xi+211 pp.（1982），剑桥大学出版社，剑桥-纽约·Zbl 0499.43005号
[18] A.Lindner、L.Pan和K.Sato，《关于拟不定可除分布》，Trans。阿米尔。数学。Soc.370（2018），8483-8520·Zbl 1428.60034号
[19] Nakamura，Takashi，完全黎曼-泽塔分布和黎曼假设，伯努利，604-617（2015）·Zbl 1328.60048号 ·doi:10.3150/13-BEJ581
[20] 佐藤、肯·伊蒂、L\'{e} vy（虚拟）过程和无限可分分布，《剑桥高等数学研究》，xiv+521 pp.（2013），剑桥大学出版社，剑桥·Zbl 1287.60003号
[21] 张慧明，离散复合泊松模型及其在风险理论中的应用，保险数学。经济。，325-336 (2014) ·Zbl 1306.60050号 ·doi:10.1016/j.insmateco.2014.09.012
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