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奇异三次四倍上Fano线变种的奇异性。 (英语) Zbl 1524.14021号

根据一个著名的结果A.博维尔R.多纳吉[C.R.科学院,巴黎,SéR.I 301,703–706(1985;Zbl 0602.14041号)]光滑三次四次曲面上的Fano线簇是一个紧致的hyperkähler流形变形,等价于K3曲面上两点的Hilbert格式。从模空间的角度来看,很自然地会问,如果三次四次(X)退化会发生什么。人们仍然可以考虑其Fano系列(F(X))。这是众所周知的[C.莱恩,数学。字290,第1-2号,379-388(2018;Zbl 1407.14037号)]如果\(X\)只允许简单奇点,那么\(F(X)\)具有博维尔意义上的辛奇点。
另一方面,有一个相关的(K3)曲面。如果X中的p是一个奇点,那么X到p上的线的变化是(mathbb p^4)中的6次完全交集。此外,如果(X)的奇点是简单的,则(S_p)是(可能是ADE-singular)(K3)曲面。所有(S_p)的轨迹,其中(p)穿过奇异轨迹(X),被证明是奇异轨迹(F(X)),参见引理2.3。(S_p)奇点的类型由(X)奇点类型决定,这种对应关系由1999年C.T.C.Wall的预印本明确表示。
还已知变种\(F(X)\)和\(\mathrm{Hilb}^2(S_p)\)是双变异体。本文回顾的目的是确定这两个变量的奇点之间的联系。这是作为一个非常好的更一般的结果(定理3.1)的特例获得的,该结果陈述了以下内容。
设(pi:Y到Z)是一个(K3^{[2]})型簇的收缩(即紧超卡勒流形,其变形等价于光滑(K3)曲面上两点的Hilbert格式)。假设\(\pi\)是\(Z\)的唯一辛分辨率。然后,对于z中的每一个(z),使得(pi^{-1}(z))是二维的(这些是z中最深的奇点层),对于一些ADE奇点最差的(q)和一些(K3)曲面(S),胚(z,z)同构于((mathrm{Hilb}^2(S)、q)。这一结果的证明使用了拜耳-马克力理论。

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14D06日 代数几何中的纤维化、简并
14日J17 曲面或高维变量的奇异性
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