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伊万·孔特雷拉斯;莫莉·凯勒;Rajan Amit梅塔

跨距类别中的Frobenius对象。 （英语） Zbl 1503.18003号

数学复习。物理学。 34，第10号，文章ID 2250036，34 p.（2022）.
Frobenius代数在拓扑量子场论（TQFT）的研究中发挥着重要作用。特别地，已知交换Frobenius代数对\（2）维TQFT进行分类[L.艾布拉姆斯，J.Knot Theory Ramifications 5，No.5，569–587（1996；Zbl 0897.57015号);https://dspace.library.uu.nl/handle/1874/210872,J.科克、Frobenius代数和2D拓扑量子场理论。剑桥：剑桥大学出版社（2004；兹比尔1046.57001)]. 非交换Frobenius代数出现在扩展TQFT的分类中[https://arxiv.org/abs/1112.1000]，打开-关闭TQFT[A.D.劳达和H.Pfeiffer先生，拓扑应用。155，第7期，623–666（2008年；Zbl 1158.57038号);A.J.布隆伯格等，内容。数学。504, 53–76 (2009;Zbl 1195.57067号)]和晶格TQFT[M.Fukuma先生等，Commun。数学。物理学。161，第1期，157-175（1994年；Zbl 0797.57012号);A.D.劳达和H.Pfeiffer先生，J.Knot Theory Ramifications 16，No.9，1121–1163（2007；Zbl 1148.57039号)]. Frobenius代数在这些上下文中的出现与以下事实密切相关：Frobeniu代数可以根据向量空间范畴中的代数数据来真正定义，这允许通过用aribitrary单体笼替换向量空间范畴来推广定义，导致了Frobenius对象在\（\mathcal{C}\）中[J.富克斯和C.施蒂格纳，阿拉伯。科学杂志。工程师，部门。C、 主题问题33，第2号，175-191（2008年；Zbl 1185.18007号);C.沃尔顿和H.亚达夫，“单体范畴中的过滤Frobenius代数”，预印本，arXiv:2106.01999年;C.希恩和J.维卡里，量子理论的分类。介绍。牛津：牛津大学出版社（2019；Zbl 1436.81004号);J.科克、Frobenius代数和2D拓扑量子场理论。剑桥：剑桥大学出版社（2004；Zbl 1046.57001号);A.D.劳达和H.Pfeiffer先生，J.Knot Theory Ramifications 16，No.9，1121–1163（2007；Zbl 1148.57039号); 拓扑应用程序。155，第7期，623–666（2008年；Zbl 1158.57038号)]. 如果是对称单体，那么可以定义交换Frobenius代数，它对应于值为（mathcal{C}）的二维定向拓扑场理论（TFT）。
本文研究了单体范畴（boldsymbol{Span}）中的Frobenius对象，其中对象是集合，态射是集的跨度的同构类，单体结构由Cartesina积给出。类别（粗体符号{Span}）在这方面的研究很有意思，原因如下。
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作者认为（粗体符号{Span}）是Wehrheim-Woodward辛范畴的一个很好的集合理论模型[K.Wehrheim公司和C.T.伍德沃德、Quantum白杨。第1期，第2期，129-170页（2010年；Zbl 1206.53088号)]. 众所周知，具有相容代数结构（如辛群胚）的辛流形[A.科斯特等，辛组。出版物。第页。数学。，没有。Sér。，克劳德·伯纳德大学，里昂，1987年，法西斯。2A，1-62（1987年；Zbl 0668.58017号)]与拓扑sigma模型的构造密切相关，如泊松sigma模式[M.亚历山德罗夫等，《国际期刊》修订版。物理学。A 12，No.7，1405–1429（1997；Zbl 1073.81655号);A.S.Cattaneo公司和G.伐木，程序。数学。198, 61–93 (2001;Zbl 1038.53074号);P.沙勒和T.斯特罗布，型号。物理学。莱特。A 9，编号331129–3136（1994年；Zbl 1015.81574号)]因此，通过使用函数方法建立类似的关系可能会很有趣，而这项工作正是在这个方向上提供的一个步骤。
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由于\（\boldsymbol{Span}\）是对称的单体，我们可以进一步考虑交换Frobenius对象，它用\（\ boldsympol{Span}\）中的值对\（2）维TFT进行分类。闭合曲面的拓扑不变量取基数幺半群中的值。
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如果我们限制到有限跨度的子范畴，则范畴\（\boldsymbol）中有一个对称单体函子{兽医}_{k} 域\（k\）上向量空间的\）。因此，\（\boldsymbol{Span}\）中的有限Frobenius对象给出了一个通用的Frobeniu代数，即它定义在任何基域上。

本文的主要结果是，（粗体符号{Span}）中的Frobenius对象与在遵循某些性质的（1）-单形集的自同构中装配出来的单形集之间存在一对一的对应关系，直至同构。可以在中形成Frobenius对象而相应的单形集是（G）的神经，其中实现是分类空间（BG）。单形集的自同构是由元素G扭曲的逆映射。更一般地，可以从广群体在\（\boldsymbol{Span}\）中形成Frobenius对象，这与[C.希恩等，J.Pure Appl。《代数》217，第1期，114-124（2013；Zbl 1271.18004号)]中的群胚和特殊匕首Frobenius对象之间存在对应关系，集合和关系的类别以及[R.A.梅塔和R.Zhang（张瑞敏），Lett。数学。物理学。110，第7期，1941-1959年（2020年；Zbl 1441.18006号)]，其中\（\boldsymbol{Rel}\）中的Frobenius对象以简单集的形式进行了类似的描述。本文中的结果并不是[loc.cit.]中结果的严格推广，因为并不是\（\boldsymbol{Rel}\）中的每个Frobenius对象都可以提升为\（\boldsymbol{Span}\）的Frobeniu对象。
这项工作与W.H.斯特恩[J.Homotopy Relat.Struct.16，编号2297-361（2021；Zbl 1484.18024号)]，他在（黑体符号{Span}\left（mathcal{C}\right））中的幺半群对象和（mathcal{C}）中的Segal单形对象之间，以及在（黑体符号{Span}\lert（mathcalight）中的Calabi-Yau代数对象和（mathcal{C}\rift）中的（2）-Segal循环对象之间建立了（infty）-范畴等价。斯特恩研究的对象是在更高的上同调数据中装配出来的，这使得它们比本文中的对象更具限制性。本文在§3.5和§4.5中详细介绍了与\（2）-分段结构的关系。
这项工作至少在精神上也与[R.豪森，数学。字289，第3-4号，1427-1488（2018；兹比尔1400.18006);D.卡拉奇等，“作为扩展拓扑场理论的导出代数几何中的AKSZ构造”，预印本，arXiv公司：2108.02473;D.卡拉奇，印度。数学。，新序列号。25，第5期，926–947（2014年；Zbl 1298.81345号);D.卡拉奇，内容。数学。643, 1–23 (2015;Zbl 1349.14005号);D.卡拉奇等，J.Topol。10，第2期，483–584页（2017年；Zbl 1428.14006号)]通过AKSZ形式主义，从移位辛结构构造具有辛范畴值的扩展TFT。值为\（\boldsymbol{Span}\）的TFT在更容易描述显式示例的上下文中显示了这些构造的影子。
审核人：Hirokazu Nishimura（筑波）

MSC公司：

18B10型 跨度/cospan、关系或部分映射的类别
18B40码 群胚、半群胚、半群、群（视为范畴）
18立方厘米 类别中的结构化对象（组对象等）
18号50 简单集，简单对象
20升05 群胚（即所有态射都是同构的小类）
57兰特 拓扑量子场论（微分拓扑的各个方面）

关键词：

跨度;关系范畴;辛范畴;Frobenius代数;广群;单纯集合;拓扑量子场论

引文：

Zbl 0897.57015号;Zbl 1046.57001号;Zbl 1158.57038号;Zbl 1195.57067号;Zbl 0797.57012号;兹比尔1148.57039;Zbl 1185.18007号;Zbl 1436.81004号;Zbl 1206.53088号;Zbl 0668.58017号;Zbl 1073.81655号;Zbl 1038.53074号;Zbl 1015.81574号;兹比尔1271.18004;Zbl 1441.18006号;Zbl 1484.18024号;Zbl 1400.18006号;兹比尔1298.81345;Zbl 1349.14005号;Zbl 1428.14006号
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{I.Contreras}等人，《数学评论》。物理学。34，第10号，文章ID 2250036，34 p.（2022；Zbl 1503.18003）
全文： 内政部 arXiv公司

参考文献：

[1] Abrams，L.，二维拓扑量子场理论和Frobenius代数，J.Knot理论分歧5（5）（1996）569-587·Zbl 0897.57015号
[2] Alexandrov，M.、Schwarz，A.、Zaboronsky，O.和Kontsevich，M.，《主方程的几何和拓扑量子场论》，国际期刊Mod。物理学。A12（7）（1997）1405-1429·Zbl 1073.81655号
[3] Artin，M.和Mazur，B.，《Etale同伦》，第100卷（Springer-Verlag，1969年）·Zbl 0182.26001号
[4] Baez，J.C.，Hoffnung，A.E.和Walker，C.D.，《高维代数VII:群化，理论应用》。类别24（18）（2010）489-553·Zbl 1229.18003号
[5] Bénabou，J.，《双类别导论》，《中西部类别研讨会报告》（Springer，1967），第1-77页·Zbl 1375.18001号
[6] Bergner，J.E.，Osorno，A.M.，Ozornova，V.，Rovelli，M.和Scheimbauer，C.I.，2-Segal集和Waldhausen构造，Topol。申请235（2018）445-484·Zbl 1422.55036号
[7] Blumberg，A.J.、Cohen，R.L.和Teleman，C.，《开闭场理论、弦拓扑和Hochschild同调》，载《代数拓扑的阿尔卑斯透视》，第504卷（美国数学学会，2009年），第53-76页·Zbl 1195.57067号
[8] Calaque，D.，衍生辛几何和拓扑场理论的三堂课，Indag。数学\（（）N.S.（）25（5）（2014）926-947）·Zbl 1298.81345号
[9] Calaque，D.，映射堆栈和半经典TFT上的拉格朗日结构，收录于《几何中的堆栈和类别》，拓扑和代数（美国数学学会，普罗维登斯，RI，2015），第1-23页·Zbl 1349.14005号
[10] Calaque，D.、Pantev，T.、Toön，B.、Vaquié，M.和Vezzosi，G.，《移位泊松结构和变形量化》，J.Topol.10（2）（2017）483-584·兹比尔1428.14006
[11] D.Calaque，H.Rune和S.Claudia，导出代数几何中的AKSZ构造作为扩展拓扑场理论，预印本（2021），arXiv:2108.02473。
[12] Carboni，A.、Kasangian，S.和Street，R.，《跨度和关系的两类》，J.Pure Appl。阿尔及利亚33（3）（1984）259-267·Zbl 0577.18005号
[13] Cattaneo，A.S.和Felder，G.，Poisson sigma模型和辛群胚，《奇异辛商的量化》（Birkhäuser，巴塞尔，2001），第61-93页·Zbl 1038.53074号
[14] Coste，A.、Dazord，P.和Weinstein，A.，《辛集团》，第2卷（1987年克劳德大学），第i-ii、1-62页·兹伯利0668.58017
[15] MacG，D.R.J.，Paré，R.和Pronk，D.A.，《跨度的普遍性质，理论应用》。类别13（4）（2004）61-85·兹比尔1062.18005
[16] R.H.Dijkgraaf，《二维共形场理论的几何方法》，博士论文（1989年）。
[17] Dyckerhoff，T.和Kapranov，M.，《高层Segal空间》，第2244卷（Springer，Cham，2019）·Zbl 1459.18001号
[18] Feller，M.、Garner，R.、Kock，J.、Proulx，M.和Weber，M.，每个2-Segal空间都是酉的，Commun。康斯坦普。数学23（2）（2021）2050055·Zbl 1452.18027号
[19] Fuchs，J.和Stigner，C.，《关于刚性单体范畴中的Frobenius代数》，阿拉伯。科学杂志。工程部。C主题问题33（2）（2008）175-191·Zbl 1185.18007号
[20] Fukuma，M.，Hosono，S.和Kawai，H.，《二维晶格拓扑场理论》，《公共数学》。《物理学》161（1）（1994）157-175·Zbl 0797.57012号
[21] Gálvez-Carrillo，I.、Kock，J.和Tonks，A.，《分解空间、关联代数和Möbius反演I：基础理论》，《高等数学》331（2018）952-1015·Zbl 1403.00023号
[22] Haugseng，R.，《迭代跨度和经典拓扑场理论》，数学。字289（3-4）（2018）1427-1488·Zbl 1400.18006号
[23] Heunen，C.，Contreras，I.和Cattaneo，A.S.，相对Frobenius代数是群胚，J.Pure Appl。Algebra217（1）（2013）114-124·Zbl 1271.18004号
[24] Heunen，C.和Vicary，J.，《量子理论的分类》，第28卷（牛津大学出版社，牛津，2019年）·Zbl 1436.81004号
[25] Kock，J.，Frobenius代数和（2）D拓扑量子场论，第59卷（剑桥大学出版社，剑桥，2004）·Zbl 1046.57001号
[26] Lauda，A.D.和Pfeiffer，H.，二维开闭拓扑量子场理论的状态和构造，J.Knot理论分歧16（9）（2007）1121-1163·兹比尔1148.57039
[27] Lauda，A.D.和Pfeiffer，H.，《开闭字符串：二维扩展TQFT和Frobenius代数》，Topol。申请155（7）（2008）623-666·Zbl 1158.57038号
[28] D.Li-Bland和A.Weinstein，选择范畴和线性正则关系，对称积分。地理。方法应用10（2014），论文100，31页·Zbl 1325.53116号
[29] Mehta，R.A.和Zhang，R.，Frobenius反对关系范畴，Lett。数学。Phys.110（7）（2020）1941-1959·Zbl 1441.18006号
[30] Morton，J.C.，双向量空间和群胚，应用。类别。结构19（4）（2011）659-707·Zbl 1235.18009号
[31] M.D.Penney，单纯形空间，lax代数和2-Segal条件，预印本（2017），arXiv:1710.02742。
[32] Schaller，P.和Strobl，T.，泊松结构诱导（拓扑）场理论，Mod。物理学。莱特。A9（33）（1994）3129-3136·Zbl 1015.81574号
[33] C.J.Schommer-Pries，《二维扩展拓扑场理论的分类》，ProQuest LLC，密歇根州安阿伯，论文博士，加州大学伯克利分校（2009）·Zbl 1405.18009号
[34] Stern，W.H.，2-Segal对象和跨代数，J.同伦关系。结构16（2）（2021）297-361·Zbl 1484.18024号
[35] C.Walton和H.Yadav，单体范畴中的过滤Frobenius代数，预印本（2021），arXiv:2106.01999。
[36] Wehrheim，K.和Woodward，C.T.，《弗洛尔理论中拉格朗日对应的函数性》，量子白话1（2）（2010）129-170·Zbl 1206.53088号
[37] Weinstein，A.，关于Wehrheim-Woodward类别的注释，J.Geom。机械3（4）（2011）507-515·Zbl 1257.53111号
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