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玛丽亚·莫斯卡泰罗;科尔瓦·杜格尔（Colva M.Roney-Dougal）。

原始置换群的基大小。 （英语） 兹比尔1515.20028

莫纳什。数学。 198，编号2，411-443（2022）.
设（G）是作用于有限大小（n）的集（Omega）上的置换群。如果（G\）中的\（\mathcal{B}\）的点态稳定器是平凡的，那么\（\Omega\）的子集\（\mathcal{B}\）被称为\（G\的基。本文讨论了（G）的基的最小大小（b（G））。
A.博切特[数学年鉴33572-583（1889；JFM 21.0140.01标准)]证明了如果（G）是一个本原置换群（作用于大小为（n）的（Omega）），那么（b（G）leq n/2）或（G）就是对称群（S_n）或交替群（a_n）。除了（S_n）和（A_n）之外，还有其他的基元置换群（G），其中，（b（G）较大。如果存在整数（m\geq5）和（r\geq1），使得（{（A_{m}）}^{r}\trianglefteq G\leq S_{m}\wr S_{r}）的作用在\（k）-对于某些\（k），\（{1，\dots，m\}\）的元素子集，如果\（r>1），则\（G）具有乘积作用。注意，在这个定义中，\（S_{n}\）和\（A_{n}）是大基数。将近一个世纪后的1984年，利用有限单群的分类，M.W.利贝克[《数学建筑学》第43卷，第11-15页（1984年；Zbl 0544.20005号)]证明了如果（G）是一个本原置换群（作用于大小为（n）的Omega），则（b（G）<9_{2} n个\)或\（G\）是大基数。
在本文中，作者给出了这个定理的一个可能的最佳改进。与其向读者提供本文的主要定理，不如陈述定理5，它是定理1的更详细版本。
定理5。设（G）是作用于大小集（n）上的本原置换群。设（G\）不是大基数。那么\（b（G）\geq 1+\log_{2}n）当且仅当\（G）是下列之一：
(1)
\（\mathrm的一个子群{AGL}（航空地面照明）_{d} （2）对于某个整数（d）和（b（G）=1+d=1+log_2}n），
(2)
组\（\mathrm{西班牙语}_{d} （2），作用于（mathrm{GO}）的陪集^{-}_{d} （2）\）与\（d\geq 4\），在这种情况下\（1+\log_｛2｝n<b（G）=1+\lceil\log_｛2｝n\rceil\），
(3)
一个Mathieu群\（\mathrm{米}_{n} 在其自然置换表示中，在集合（{12,23,24}）中使用\（n）。如果（n=12）或（23），则（b（G）=1+\lceil\log{2}n \rceil），而如果（n=24），则[（b（G）=7>1+\lceil\log_2}n \ rceil]。

设（G）是一个几乎简单的群，传递作用于（Omega）（大小为（n））。如果在作用等价的前提下，下列条件之一成立，则该作用称为标准作用：；（ii）（G）是子空间作用下的经典群。（有关子空间动作的定义，请参见定义1。）否则，该动作称为非标准动作。
鉴于\（b（G）\），（几乎简单的）群\（G）的原始动作、（忠实的）动作、标准动作和非标准动作之间存在很大差异。证明一个猜想P.J.卡梅隆[Lond.Math.Soc.Lect.Note Ser.165、340–350（1992年；Zbl 0810.20002号)]和P.J.卡梅隆和W·M·坎特【组合概率计算2，第3号，257–262（1993；Zbl 0823.20002)],M.W.利贝克和A.沙列夫【《美国数学学会杂志》第12卷第2期，497–520页（1999年；Zbl 0916.20003号)]证明了存在一个普适常数，使得（b（G）leqc），前提是（G）的作用是本原的、忠实的和非标准的。我们指出了一个有趣的事实，如上面的定理5所示，Mathieu群{米}_{24}\）是极值本原置换群：T.C.伯恩斯[J.Lond.数学社会学，II.Ser.75，No.3，545-562（2007；邮编1128.20005)]和T.C.伯恩斯等[Bull.Lond.Math.Soc.43，No.2，386–391（2011；邮编：1222.20002); 程序。伦敦。数学。Soc.（3）98，第1期，116-162（2009年；Zbl 1179.20002号); 以色列。J.数学。177, 307–333 (2010;Zbl 1216.20008号)]证明了非标准作用下本原置换群（G）的（b（G）leq 7）具有等式当且仅当（G=mathrm{米}_{24}）在其度（24）的5-传递作用中。
如果（G）的作用是标准的，那么（b（G）可以任意大。这些太复杂了，无法在这里说明，但在第2节的定理2中以及几个工作表中都有介绍。
审核人：Attila Maroti（布达佩斯）

引用于6文件

MSC公司：

20B15号机组 基本体组
20年10月 置换群的刻画定理

关键词：

基本群;基本尺寸;经典群;简单组

引文：

Zbl 0544.20005号;Zbl 0810.20002号;Zbl 0823.20002;Zbl 0916.20003号;邮编1128.20005;邮编：1222.20002;Zbl 1179.20002号;Zbl 1216.20008号;2014年1月21日

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\textit{M.Moscatiello}和\textit{C.M.Roney-Dougal}，莫纳什。数学。198，编号2，411--443（2022；Zbl 1515.20028）
全文： 内政部 arXiv公司
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