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莫妮卡·巴塔查吉;Bose，奥雅纳;戴伊，阿普兰蒂姆

样本互协方差矩阵的联合收敛性。 （英语） Zbl 1532.60008号

拉丁美洲ALEA，J.Probab。数学。斯达。 20，第1号，395-423（2023）.
小结：假设（X）和（Y）是（p乘以n）矩阵，每个矩阵都有均值为0、方差为1的条目，并且所有阶次的矩都一致有界为（p，n向右箭头）。此外，条目\（（X_{ij}，Y_{ij}）\）在\（i，j）之间是独立的，具有共同的相关性\（\rho\）。设\（C=n^{-1}XY^\ast\）为样本互协方差矩阵。我们证明了如果\（n，p\rightarrow\infty，p/n\rightArrowy\neq 0），则\（C\）在代数意义上收敛，极限矩仅依赖于\（\rho\）。具有相同但不同的（n），例如（n_l），不同的相关性（rho_l）和不同的非零（y）的矩阵的独立副本也联合收敛，并且渐近自由。
当\（y=0\）时，矩阵\（\sqrt{np^{-1}}（C-\rhoI_p）\）收敛到带参数\（\rho^2\）的椭圆变量。特别是，当\（\rho=0\）时，这个椭圆变量是圆形的，当\。如果我们取独立的（C_1），那么矩阵（{sqrt{n_lp^{-1}}（C_1-\rho_lI_p）}）联合收敛并且也是渐近自由的。
因此，在上述标度矩阵和中心矩阵中，作为多项式的任何对称矩阵的极限谱分布都是存在的，并且具有紧支撑。

MSC公司：

60对20 随机矩阵（概率方面）
46升54 自由概率与自由算子代数

关键词：

样本互协方差矩阵;联合收敛;自由独立;自由累积量;半圆形变量;循环变量;椭圆变量;互协方差变量;马尔琴科-普斯托尔定律;复合自由泊松定律
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\文本{M.Bhattacharjee}等人，ALEA，Lat.Am.J.Probab。数学。Stat.20，No.1，395--423（2023；Zbl 1532.60008）
全文： arXiv公司 链接

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