卡拉汉（Jared L.Callaham）。;Jean-Christophe Loiseau;史蒂文·布鲁顿。 不可压缩流动的多尺度模型简化。 （英语） Zbl 07750924号 J.流体力学。 973，论文编号A3，37页（2023）. 小结：我们介绍了一种基于投影的模型简化方法，该方法系统地解释了低维动力系统模型中已解析和未解析流尺度之间的非线性相互作用。该方法利用分解变量和子尺度变量之间的时间尺度分离，导出了截断模式的具有三次闭包项的降阶模型，推广了经典的Stuart-Landau方程。通过对随机Koopman算子作用的扰动级数近似，求出快速变量的平均值，从而确定前导阶三次项。我们通过分析表明，该多尺度闭合模型能够同时捕获平均流变形和能量级联的影响，从而证明了混沌激光驱动空腔流和混合层中涡旋配对模型的稳定性和准确性有所提高。这种闭合建模方法为不可压缩流动低维模型中立方非线性的起源和作用建立了一般理论。 MSC公司： 76倍 流体力学 关键词：低维模型 软件：耐克5000 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{J.L.Callaham}等人，《流体力学杂志》。973，论文编号A3，37页（2023；Zbl 07750924） 全文： 内政部 arXiv公司 OA许可证 参考文献： [1] 奥克维克，E.，勃兰特，L.，亨宁森，D.S.，Hœpffner，J.，Marxen，O.&Schlater，P.2006通过选择性频率阻尼的Navier-Stokes方程的稳态解。物理学。液体18，068102。 [2] Arbabi，H.&Mezić，I.2017使用Koopman模式分解研究瞬态后流动的动力学。物理学。流体版本2124402·Zbl 1381.37096号 [3] Arbabi，H.&Sapsis，T.2022非高斯统计强非线性混沌系统的数据驱动建模。SIAM/ASA J.不确定性数量. 10 (2), 555-583. ·Zbl 1504.37091号 [4] Aubry，N.，Holmes，P.，Lumley，J.L.&Stone，E.1988湍流边界层壁区相干结构的动力学。《流体力学杂志》192、115·Zbl 0643.76066号 [5] Balajewicz，M.、Dowell，E.和Noack，B.R.2013高雷诺数剪切流的低维建模，其中包括来自Navier-Stokes方程的约束。《流体力学杂志》729285-308·Zbl 1291.76164号 [6] Barbagallo，A.、Sipp，D.和Schmid，P.J.2009使用降阶模型对开式空腔流动进行闭环控制。《流体力学杂志》641，1·Zbl 1183.76701号 [7] Barkley，D.&Henderson，R.D.1996圆柱尾迹的三维Floquet稳定性分析。《流体力学杂志》322、215-241·兹伯利0882.76028 [8] Barthel，B.，Gomez，S.&Mckeon，B.J.2022预解分析的变分公式。物理学。修订版流体7013905。 [9] Barthel，B.、Zhu，X.和Mckeon，B.J.2021闭合回路：通过预解分析透镜的非线性泰勒涡旋流。《流体力学杂志》924，A9·Zbl 1501.76032号 [10] Bazilevs，Y.，Calo，V.M.，Cottrell，J.A.，Hughes，T.J.R.，Real，A.&Scovazzi，G.2007不可压缩流动大涡模拟的基于多尺度残差的变分湍流建模。计算。方法。申请。机械。工程197（1），173-201·Zbl 1169.76352号 [11] Belson，B.A.，Tu，J.H.&Rowley，C.W.2014算法945:modred-一个并行化模型简化库。ACM事务处理。数学。Softw.40（4），1-23·Zbl 1369.65199号 [12] Benner，P.，Gugercin，S.&Willcox，K.2015参数动力系统基于投影的模型简化方法综述。SIAM版次57（4），483-531·Zbl 1339.37089号 [13] Billings，S.A.2013非线性系统识别：时间、频率和时空域中的NARMAX方法。威利·Zbl 1287.93101号 [14] Brancher，P.&Chomaz，J.-M.1997空间周期剪切流中的绝对和对流不稳定性。物理学。修订稿78（4），658-661。 [15] Brenner，M.P.，Eldredge，J.D.&Freund，J.B.2019推进流体力学的机器学习观点。物理学。修订版流体4100501。 [16] Brown，G.L.&Roshko，A.194《湍流混合层中的密度效应和大型结构》。《流体力学杂志》64（4），775-816·Zbl 1416.76061号 [17] Brunton，S.L.，Budišić，M.，Kaiser，E.&Kutz，J.N.2022动力系统的现代Koopman理论。SIAM版本64（2），229-340·Zbl 1497.37105号 [18] Brunton，S.L.&Noack，B.R.2015闭环湍流控制：进展与挑战。申请。机械。第67版，050801。 [19] Brunton，S.L.、Noack，B.R.和Koumoutsakos，P.2020流体力学机器学习。每年。《流体力学评论》52（1），477-508·Zbl 1439.76138号 [20] Brunton，S.L.，Proctor，J.L.&Kutz，J.N.2016通过非线性动力系统的稀疏识别从数据中发现控制方程。程序。美国国家科学院。科学。美国113（15），3932-3937·Zbl 1355.94013号 [21] Caiazzo，A.，Iliescu，T.，John，V.&Schyschlowa，S.2014不可压缩流动速度-压力降阶模型的数值研究。J.计算。物理259、598-616·Zbl 1349.76050号 [22] Callaham，J.L.，Brunton，S.L.&Loiseau，J.-C.2022关于非线性相关性在降阶建模中的作用。《流体力学杂志》938，A1·兹伯利07488219 [23] Callaham，J.L.，Loiseau，J.-C，Rigas，G.和Brunton，S.L.2021 Langevin回归非线性随机建模。程序。R.Soc.A477（2250），20210092。 [24] Callaham，J.L.，Rigas，G.，Loiseau，J.-C.&Brunton，S.L.2022湍流尾迹中对称破裂的经验平均场模型。科学。Adv.8，eabm4786。 [25] Carini，M.、Auteri，F.和Giannetti，F.2015《分叉流的中心流形减少》。《流体力学杂志》767、109-145·Zbl 1335.76028号 [26] Champion，K.，Lusch，B.，Kutz，J.N.&Brunton，S.L.2019坐标和控制方程的数据驱动发现。程序。美国国家科学院。科学。美国116（45），22445-22451·Zbl 1433.68396号 [27] Chomaz，J.-M.2005空间发展流中的全球不稳定性：非正态性和非线性。每年。《流体力学评论》37，357-392·Zbl 1117.76027号 [28] Colonius，T.、Lele，S.K.和Moin，P.1997混合层中的声音产生。《流体力学杂志》330、375-409·Zbl 0901.76075号 [29] Cordier，L.、Noack，B.R.、Tissot，G.、Lehnasch，G.，Delville，J.、Balajewicz，M.、Daviller，G.和Niven，R.K.2013基于模型控制的识别策略。实验流体54、1580。 [30] Coullet，P.H.&Spiegel，E.A.1983具有竞争不稳定性系统的振幅方程。SIAM J.应用。数学43（4），776-820·Zbl 0534.35004号 [31] Deane，A.E.，Kevrekedis，I.G.，Karniadakis，G.E.&Orszag，S.A.1991复杂几何流的低维模型——应用于沟槽和圆柱。物理学。流体A3，2337-2354·Zbl 0746.76021号 [32] Deng，N.，Noack，B.R.，Morzynski，M.&Pastur，L.R.2020流体弹球连续分叉的低阶模型。《流体力学杂志》884，A37·Zbl 1460.76236号 [33] Deng，N.，Noack，B.R.，Morzyński，M.&Pastur，L.R.2021流体弹球瞬态和瞬态后动力学的伽辽金力模型。《流体力学杂志》918，A4·Zbl 1502.76026号 [34] Duraisamy，K.、Iacarino，G.和Xiao，H.2019数据时代的湍流建模。每年。《流体力学评论》51，357-377·Zbl 1412.76040号 [35] Fischer，P.F.，Lottes，J.W.&Kerkemeir，S.G.2008 Nek5000网页。http://nek5000.mcs.anl.gov。 [36] Froyland，G.2005统计最优几乎不变集。物理D200（3），205-219·Zbl 1062.37103号 [37] Froyland，G.和Padberg，K.2009变集和不变流形——连接流中相干结构的概率和几何描述。Physica D2381507-1523·Zbl 1178.37119号 [38] Froyland，G.，Santissisadeekorn，N.&Monahan，A.2010含时动力系统中的传输：有限时间相干集。混沌20（4），043116·Zbl 1311.37008号 [39] Givon，D.，Kupferman，R.&Stuart，A.M.2004《提取宏观动力学：模型问题和算法》。非线性17，R55-R127·Zbl 1073.82038号 [40] Grimberg，S.、Farhat，C.和Youkilis，N.2020关于对流主导的层流和湍流基于投影的模型降阶的稳定性。J.计算。物理419、109681·Zbl 07507241号 [41] Guan，Y.，Brunton，S.L.&Novosselov，I.2021混沌电波的非线性模型解析。R.Soc.开放科学8（8），202367。 [42] Guckenheimer，J.&Holmes，P.1983非线性振动，动力系统和向量场分岔。斯普林格·Zbl 0515.34001号 [43] Haken，H.1983《同步学：导论：物理、化学和生物学中的非平衡相变和自组织》。斯普林格·Zbl 0523.93001号 [44] Hesthaven，J.S.&Ubbiali，S.2018使用神经网络对非线性问题进行非侵入式降阶建模。J.计算。物理363，55-78·Zbl 1398.65330号 [45] Holmes，P.、Lumley，J.L.和Berkooz，G.1996湍流、相干结构、动力系统和对称性。剑桥力学专著·Zbl 0890.76001号 [46] Hopf，E.1948显示湍流特征的数学示例。Commun公司。纯应用程序。数学1（4），302-322·Zbl 0031.32901号 [47] Huerre，P.&Monkewitz，P.A.1985自由剪切层中的绝对和对流不稳定性。《流体力学杂志》159、151-168·Zbl 0588.76067号 [48] Huerre，P.&Monkewitz，P.A.1990空间发展剪切流中的局部和全局不稳定性。每年。《流体力学评论》22，473-537·Zbl 0734.76021号 [49] Hussain，A.K.M.F.1981相干结构在湍流剪切流中的作用。程序。印度科学院。科学C4（2），129-175。 [50] Kaptanoglu，A.A.、Callaham，J.L.、Hansen，C.J.、Aravkin，A.和Brunton，S.L.（2021a）促进二次非线性动力学数据驱动模型的全球稳定性。物理学。流体版本6（9），094401。 [51] Kaptanoglu，A.A.，Morgan，K.D.，Hansen，C.J.&Brunton，S.L.（2021b）磁流体动力学的物理约束低维模型：第一原理和数据驱动方法。物理学。版次E104（1），015206。 [52] Kingma，D.P.&Welling，M.2013自动编码变分贝叶斯。arXiv:1312.6114。 [53] Klus，S.，Koltai，P.&Schütte，C.2016关于Perron-Frobenius和Koopman算子的数值逼近。J.计算。动力学3（1），51-77·Zbl 1353.37154号 [54] Klus，S.，Nüske，F.，Koltai，P.，Wu，H.，Kevrekidis，I.，Schütte，C.&Noé，F.2018数据驱动模型简化和传递算子近似。非线性科学杂志，28（3），985-1010·兹比尔1396.37083 [55] Klus，S.、Nüske，F.、Peitz，S.，Niemann，J.-H、Clementi，C.&Schütte，C.2020《Koopman生成器的数据驱动近似：模型简化、系统识别和控制》。物理D406132416·Zbl 1485.93097号 [56] Kraichnan，R.H.&Chen，S.1989是否存在湍流的统计力学？《物理》D37，160-172·Zbl 0687.76049号 [57] Kurtz，T.G.1973A扰动算子半群的极限定理及其在随机演化中的应用。J.功能。分析12，55-67·Zbl 0246.47053号 [58] Landau，L.D.1944关于湍流问题。多克。阿卡德。诺克SSSR44，339-342。 [59] Lee，M.W.，Dowell，E.H.和Balajewicz，M.J.2019正规化眼睑驱动腔向混沌发展的研究。Commun公司。非线性科学。数字。模拟71，50-72·Zbl 1464.76022号 [60] Loiseau，J.-C.2020环形热虹吸管中混沌热对流的数据驱动建模。西奥。计算。流体动力学34（4），339-365。 [61] Loiseau，J.-C.和Brunton，S.L.2018约束稀疏Galerkin回归。《流体力学杂志》838，42-67·Zbl 1419.76205号 [62] Loiseau，J.-C.，Brunton，S.L.&Noack，B.R.（2018a）从POD-Galerkin方法到稀疏流形模型。在模型降阶手册De Gruyter股份有限公司·Zbl 1471.76057号 [63] Loiseau，J.-C.，Bucci，M.A.，Cherubini，S.&Robinet，J.-C.2019大规模不稳定问题的时间步长和Krylov方法。在流体动力学中分岔和不稳定性的计算建模，第33-73页。斯普林格。 [64] Loiseau，J.-C.，Noack，B.R.&Brunton，S.L.（2018b）稀疏降阶建模：基于传感器的动力学到全状态估计。《流体力学杂志》844，454-490·Zbl 1461.76369号 [65] Luchtenburg，D.M.，Günther，B.，Noack，B.R.，King，R.&Tadmor，G.2009高扬程结构周围自然和高频驱动流的广义平均场模型。《流体力学杂志》623，283·Zbl 1157.76344号 [66] Ma，X.和Karniadakis，G.E.2002A用于模拟三维圆柱体流动的低维模型。《流体力学杂志》458181-190·Zbl 1001.76043号 [67] Majda，A.J.、Timofeyev，I.和Vanden-Eijnden，E.2001A随机气候模型的数学框架。Commun公司。纯应用程序。数学54（8），891-974·兹比尔1017.86001 [68] Majda，A.J.，Timofeyev，I.和Vanden Eijnden，E.2006大型确定性系统中选定慢变量的随机模型。非线性19，769-794·Zbl 1101.60048号 [69] Mantic-Lugo，V.，Arratia，C.&Gallaire，F.2014圆柱尾迹涡旋脱落非线性饱和的自洽平均流描述。物理学。修订稿113，084501。 [70] Mckeon，B.J.&Sharma，A.S.2010A湍流管道流的临界层框架。《流体力学杂志》658，336-382·Zbl 1205.76138号 [71] Meliga，P.2017开放腔流的谐波产生和饱和机理：二阶自洽描述。《流体力学杂志》826、503-521·Zbl 1430.76123号 [72] Meliga，P.&Chomaz，J.-M.2011圆柱涡激振动的渐近展开。《流体力学杂志》671，137-167·Zbl 1225.76088号 [73] Meliga，P.，Chomaz，J.-M&Sipp，D.2009圆盘尾迹下的全球模式相互作用和模式选择：弱非线性扩展。《流体力学杂志》633159-189·Zbl 1183.76721号 [74] Mendible，A.，Brunton，S.L.，Aravkin，A.Y.，Lowrie，W.&Kutz，J.N.2020行波物理的降维和降阶建模。西奥。计算。流体动力学34（4），385-400。 [75] Menier，E.，Bucci，M.A.，Yagoubi，M.，Mathelin，L.&Schcoenauer，M.2022 CD-ROM：补充深度降阶模型。2021年6月在法国巴黎举行的欧洲机械联合会湍流分离流机器学习方法座谈会。 [76] Mezić，I.2005动力系统的谱特性，模型简化和分解。非线性动力学41（1-3），309-325·Zbl 1098.37023号 [77] Mezić，I.2013通过Koopman算子的光谱特性分析流体流动。每年。《流体力学评论》45（1），357-378·兹比尔1359.76271 [78] Michalke，A.1964关于双曲正切速度剖面的无粘不稳定性。《流体力学杂志》19（4），543-556·Zbl 0129.20302号 [79] Mohebujjaman，M.，Rebholz，L.G.&Iliescu，T.2018流体流动降阶建模的物理约束数据驱动校正。国际期刊数字。方法。流体89（3），103-122·Zbl 1412.65158号 [80] Mohebujjaman，M.，Rebholz，L.G.，Xie，X.&Iliescu，T.2017流体流动降阶模型中的能量平衡和质量守恒。J.计算。《物理学》346（1），262-277·Zbl 1378.76050号 [81] Monkewitz，P.A和Huerre，P.1982速度比对混合层空间不稳定性的影响。物理学。流感25（7），1137。 [82] Noack，B.R.，Afanasiev，K.，Morzynski，M.，Tadmor，G.&Thiele，F.2003A瞬态和瞬态后圆柱尾迹低维模型层次。《流体力学杂志》497，335-363·Zbl 1067.76033号 [83] Noack，B.R.&Eckelmann，H.1994A圆柱周围三维流动的低维Galerkin方法。物理学。流体6（1），124-143·Zbl 0826.76071号 [84] Noack，B.R.，Morzynski，M.&Tadmor，G.2011流量控制的简化模型，第528卷。施普林格科技与商业媒体·Zbl 1220.76008号 [85] Noack，B.R.，Papas，P.&Monkewitz，P.A.2005不可压缩剪切流经验Galerkin模型中压力项表示的必要性。《流体力学杂志》523、339-365·Zbl 1065.76102号 [86] Noack，B.R.、Schlegel，M.、Ahlborn，B.、Mutschke，G.、Morzynski，M.，Comte，P.和Tadmor，G.2008A非定常流体流动的有限时间热力学。J.非平衡。Thermodyn.33，103-148·Zbl 1148.80302号 [87] Ùsth，J.，Noack，B.R.，Krajnovic̀，S.，Barros，D.&Borèe，J.2014关于POD模型中非线性次尺度湍流项的需要，以艾哈迈德体上方的高雷诺数流为例。《流体力学杂志》747、518-544·Zbl 1371.76085号 [88] Otto，S.E.、Padovan，A.和Rowley，C.W.2022使用轨迹优化非线性系统的斜投影。SIAM J.科学。计算44（3），A1681-A1702·Zbl 1496.93027号 [89] Padovan，A.，Otto，S.E.&Rowley，C.W.2020通过谐波分解法分析非线性流中的放大机制和交叉频率相互作用。《流体力学杂志》900，A14·Zbl 1460.76176号 [90] Papanicolaou，G.1976奇异摄动中的一些概率问题和方法。Rocky Mt.J.数学6（4），653-673·Zbl 0365.60049号 [91] Pavliotis，G.A.和Stuart，A.M.2012多尺度方法：平均和均匀化。斯普林格·Zbl 1160.35006号 [92] Peherstorfer，B.&Willcox，K.2016基于非侵入投影的模型简化的数据驱动算子推断。计算。方法。申请。机械。工程306196-215·Zbl 1436.93062号 [93] Pickering，E.，Rigas，G.，Schmidt，O.T.，Sipp，D.&Colonius，T.2021湍流射流中相干结构基于预溶剂模型的最佳涡流粘度。《流体力学杂志》917，A29·Zbl 1493.76054号 [94] Pradas，M.、Pavliotis，G.A.、Kalliadasis，S.、Papageorgiou，D.T.和Tseluiko，D.2012有源非线性空间扩展系统中的加性噪声效应。Eur.J.应用。数学23563-591·兹比尔1279.60081 [95] Qian，E.、Kramer，B.、Peherstoffer，B.和Willcox，K.2020Lift and learn:大型非线性动力学系统的基于物理的机器学习。物理D406132401·Zbl 1493.62512号 [96] Reiss，J.，Schulze，P.，Sesterhenn，J.&Mehrmann，V.2018移位本征正交分解：多重输运现象的模式分解。SIAM J.科学。计算40（3），A1322-A1344·Zbl 1446.65212号 [97] Rempfer，D.&Fasel，H.F.1994平板边界层中三维相干结构的动力学。《流体力学杂志》275257-282。 [98] Rigas，G.，Sipp，D.&Colonius，T.2021非线性输入/输出分析：应用于边界层转捩。《流体力学杂志》911，A15·Zbl 1461.76223号 [99] Rim，D.，Moe，S.&Leveque，R.J.2018双曲偏微分方程模型简化的传输反转。SIAM/ASA J.Uncert公司。数量6（1），118-150·Zbl 1398.65084号 [100] Risken，H.1996Fokker-Planck方程：求解方法和应用。斯普林格·Zbl 0866.60071号 [101] Rowley，C.，Mezić，I.，Bagheri，S.，Schlater，P.&Henningson，D.S.2009非线性流的谱分析。《流体力学杂志》64115-127·Zbl 1183.76833号 [102] Rowley，C.W.，Colonius，T.&Murray，R.M.2004使用POD和Galerkin投影对可压缩流进行模型简化。《物理》D189115-129·Zbl 1098.76602号 [103] Rowley，C.W.&Dawson，S.T.M.2017流量分析和控制的模型简化。每年。《流体力学评论》49，387-417·Zbl 1359.76111号 [104] Rowley，C.W.&Marsden，J.E.2000对称系统的重构方程和Karhunen-Loève展开。生理学D142（1-2），1-19·Zbl 0954.35144号 [105] Rubini，R.，Lasagna，D.&Ronch，A.D.2020非定常眼睑驱动腔流中基于能量相互作用的稀疏化。《流体力学杂志》905，A15·Zbl 1460.76294号 [106] Ruelle，D.&Takens，F.1971关于湍流的性质。Commun公司。数学。《物理学》20（3），167-192·Zbl 0223.76041号 [107] San，O.&Maulik，R.（2018a）湍流地球物理流降阶建模的极限学习机。物理学。修订版E97，042322。 [108] San，O.&Maulik，R.（2018b）非线性模型降阶的神经网络闭包。高级计算。数学44（6），1717-1750·兹比尔1404.37101 [109] Schlegel，M.&Noack，B.R.2015关于伽辽金模型的长期有界性。《流体力学杂志》765、325-352·Zbl 1336.76014号 [110] Schmid，P.J.&Henningson，D.S.2012剪切流中的稳定性和过渡。斯普林格。 [111] Sharma，A.S.&Mckeon，B.J.2013关于壁湍流中的相干结构。《流体力学杂志》728196-238·Zbl 1291.76173号 [112] Sieber，M.、Paschereit，C.O.和Oberleithner，K.2021湍流旋转射流中噪声驱动全球不稳定性的随机建模。《流体力学杂志》916，A7·Zbl 1501.76026号 [113] Sipp，D.&Lebedev，A.2007基流和平均流的全局稳定性：圆柱流和空腔流的一般方法及其应用。《流体力学杂志》593、333-358·Zbl 1172.76318号 [114] Sipp，D.，Marquet，O.，Meliga，P.&Barbagallo，A.2010开放流中全局不稳定性的动力学和控制：线性化方法。申请。机械。修订版63（3），030801。 [115] Sirovich，L.1987《湍流与相干结构动力学》，第一部分至第三部分，《应用杂志》。数学45（3），561-90·Zbl 0676.76047号 [116] Stanley，S.&Sarkar，S.1997空间发展二维剪切层和射流的模拟。西奥。计算。流体动力学9（2），121-147·Zbl 0911.76048号 [117] Stewartson，K.和Stuart，J.T.1971A平面Poiseuille流中波动系统的非线性不稳定性理论。《流体力学杂志》48（3），529-545·Zbl 0222.76045号 [118] Stuart，J.T.1958关于水动力稳定性的非线性力学。《流体力学杂志》4（1），1-21·Zbl 0081.41001号 [119] Swinney，H.L.和Gollub，J.P.1981流体动力学不稳定性和向湍流的过渡。斯普林格·Zbl 0453.00052号 [120] Taira，K.，Brunton，S.L.，Dawson，S.T.M.，Rowley，C.W.，Colonius，T.，Mckeon，B.J.，Schmidt，O.T.，Gordeyev，S.，Theofilis，V.&Ukeiley，L.S.2017流体流动的模态分析：概述。美国汽车协会J.55（12），4013-4041。 [121] Taira，K.、Hemati，M.S.、Brunton，S.L.、Sun，Y.、Duraisamy，K.，Bagheri，S.、Dawson，S.和Yeh，C.—2020流体流动的模态分析：应用和展望。美国汽车协会J.58（3），998-1022。 [122] Ukeiley，L.、Cordier，L.，Manceau，R.、Delville，J.、Glauser，M.和Bonnet，J.P.2001湍流平面混合层中大型结构的检查。第2部分。动态系统模型。《流体力学杂志》441、67-108·Zbl 1097.76563号 [123] Wan，Z.Y.，Vlachas，P.，Koumoutsakos，P.&Sapsis，T.2018复杂动力系统中极端事件的数据辅助降阶建模。公共科学图书馆。ONE13（5），e0197704。 [124] Wang，Z.，Akhtar，I.，Borggard，J.和Iliescu，T.2012湍流的适当正交分解闭合模型：数值比较。计算。方法。申请。机械。工程237，10-26·Zbl 1253.76050号 [125] Weidemann，J.A.C.&Reddy，S.C.2000A MATLAB微分矩阵套件。ACM事务处理。数学。Softw.26，465-519。 [126] Weinan，E.2011《多尺度建模原理》。剑桥大学出版社·Zbl 1238.00010号 [127] Weinan，E.&Engquist，B.2003异质多尺度方法。Commun公司。数学。科学1，87-132·Zbl 1093.35012号 [128] Weinan，E.、Engquist，B.、Li，X.、Ren，W.和Vanden-Eijnden，E.2007异质多尺度方法：综述。Commun公司。计算。物理2，367-450·Zbl 1164.65496号 [129] Winant，C.D.&Browand，F.K.1974《涡旋配对：中等雷诺数下湍流混合层增长的机制》。《流体力学杂志》63（2），237-255。 [130] Xie，X.，Mohebujjaman，M.，Rebholz，L.G.&Iliescu，T.2018流体流动的数据驱动过滤降阶建模。SIAM J.科学。计算40（3），B834-B857·Zbl 1412.65158号 [131] Zare，A.，Jovanović，M.R.&Georgiou，T.T.2017湍流颜色。《流体力学杂志》812，636-680·Zbl 1383.76303号 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。