尼尔斯·马根伯格;Franz X·Kärtner。;马库斯·鲍斯 应用于非线性光学的傅里叶神经算子的最优Dirichlet边界控制。 （英语） Zbl 07819072号 J.计算。物理学。 499，文章ID 112725，28 p.（2024）. 总结：我们提出了一种利用深度学习解决非线性光学最优边界控制问题的方法。为了计算非线性波动模型解的高分辨率近似，我们结合配点技术提出了高阶时空有限元方法。从而确保了全局离散解在时间上的（C^l）-正则性。模拟数据用于培训解决方案操作员，以有效利用数据的更高规则性。该解算子由傅里叶神经算子表示，可以作为最优Dirichlet边界控制问题的前向求解器。该算法在高性能计算平台上实现和测试，重点关注效率和可扩展性。在周期极化铌酸锂中产生太赫兹辐射的问题上证明了该方法的有效性。在最优控制设置中，神经网络被用作求解器，以优化光学输入脉冲的参数化，并最大化0.3THz频率辐射的输出。我们利用晶体的周期分层来设计神经网络。网络经过训练，可以通过一段时间的层学习传播。网络在自身上的递归应用产生了对整个问题的近似。结果表明，与经典方法相比，该方法可以实现360倍的加速比。将我们的结果与实验数据进行比较，可以看出我们在非线性光学中处理优化问题的方式上具有革命性的潜力。 理学硕士： 6500万 偏微分方程、初值和含时初边值问题的数值方法 68泰克 人工智能 65新元 偏微分方程边值问题的数值方法 关键词：最优控制;神经运算符;深度神经网络;非线性光学;时空有限元法 软件：DeepONet（深度网络）;深XDE;PyTorch公司;L-BFGS公司;梅鲁 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{N.Margenberg}等人，J.Compute。物理学。499，文章ID 112725，28 p.（2024；Zbl 07819072） 全文： 内政部 arXiv公司 OA许可证 参考文献： [1] Kärtner，F.X。；Ahr，F。；Calendron，A.L。；乔安卡亚，H。；Carbajo，S。；Chang，G.等人。；Cirmi，G。；Dörner，K。；美国多尔达。；Fallahi，A。；Hartin，A。；Hemmer，M。；霍布斯，R。；华，Y。；黄，W.R。；莱特伦，R。；Matlis，N。；马扎洛娃五世。；穆克，O.D。；Nanni，E。；普特南，W。；拉维，K。；Reichert，F。；萨鲁，I。；吴，X。；Yahaghi，A。；叶，H。；萨帕塔，L。；张，D。；周，C。；米勒，R.J.D。；Berggren，K.K。；格拉夫斯马，H。；Meents，A。；阿斯曼，R.W。；查普曼，H.N。；Fromme，P.，AXSIS：探索阿秒X射线科学、成像和光谱学的前沿。编号。仪器。方法物理学。研究，第。A、 加速度。光谱学。检测。助理设备，24-29（2016） [2] Margenberg，N。；Kaertner，F。；Bause，M.，用时域有限元方法精确模拟THz产生。选择。快递（2023） [3] Rackauckas，C。；马云（Ma，Y.）。；Martensen，J。；华纳公司。；Zubov，K。；苏佩卡，R。；斯金纳，D。；A.拉马丹。；Edelman，A.，《科学机器学习的通用微分方程》（2020年） [4] 安塞尔曼，M。；Bause，M.，波动方程Galerkin配位时间近似的数值研究，15-36·Zbl 1466.65117号 [5] 安塞尔曼，M。；Bause，M。；Becher，S。；Matthies，G.，波动方程及其后处理的Galerkin时间配置近似。ESAIM：数学。模型。数字。分析。，6, 2099-2123 (2020) ·Zbl 1512.65204号 [6] 拉加里斯，I。；利卡斯，A。；Fotiadis，D.，求解常微分方程和偏微分方程的人工神经网络。IEEE传输。神经网络。，5, 987-1000 (1998) [7] E、 W。；Yu，B.，The deep Ritz method：一种基于深度学习的数值算法，用于求解变分问题。Commun公司。数学。统计（2018）·Zbl 1392.35306号 [8] 卢，L。；孟，X。；毛，Z。；Karniadakis，G.E.，DeepXDE：解微分方程的深度学习库。SIAM修订版，1208-228（2021）·Zbl 1459.65002号 [9] 莱斯，M。；佩迪卡里斯，P。；Karniadakis，G.E.，《基于物理的神经网络：用于解决涉及非线性偏微分方程的正向和反向问题的深度学习框架》。J.计算。物理。，686-707 (2019) ·Zbl 1415.68175号 [10] 西里尼亚诺，J。；Spiliopoulos，K.，DGM：解偏微分方程的深度学习算法。J.计算。物理。，1339-1364 (2018) ·Zbl 1416.65394号 [11] 科莫，S。；迪可乐公司。；詹保罗，F。；Rozza，G。；莱斯，M。；Piccialli，F.，《通过物理信息神经网络进行科学机器学习：我们在哪里，下一步是什么》。科学杂志。计算。，3, 88 (2022) ·Zbl 07568980号 [12] 马修基斯，M。；原木瓜属。；Sondak博士。；Di Giovanni，M。；Kaxiras，E.，神经网络中嵌入的物理对称性（2019年） [13] 陈，Z。；张杰。；阿尔乔夫斯基，M。；Bottou，L.，辛回归神经网络（2020） [14] Jin，P。；张，Z。；朱，A。；Tang，Y。；Karniadakis，G.E.，SympNets：识别哈密顿系统的内在结构保辛网络。神经网络。，166-179 (2020) ·兹比尔1475.68316 [15] 赫尔南德斯，Q。；巴迪亚斯，A。；González博士。；Chinesta，F。；Cueto，E.，结构保持神经网络。J.计算。物理学。(2021) ·Zbl 07510064号 [16] 杜松子酒，C。；卢施，B。；Brunton，S.L。；Kutz，J.N.，将PDE线性化的全局坐标变换的深度学习模型。Eur.J.应用。数学。，1-25 (2020) [17] 潘，S。；Duraisamy，K.，《保证稳定性的非线性动力学线性嵌入的物理信息概率学习》。SIAM J.应用。动态。系统。，1, 480-509 (2020) ·Zbl 1442.37090号 [18] 格罗斯曼，T.G。；英国科莫罗夫斯卡。；Latz，J。；Schönlieb，C.-B.，《以物理为基础的神经网络能否战胜有限元法》？(2023) [19] 卢，L。；Jin，P。；Karniadakis，G.E.，DeepONet：学习非线性算子以根据算子的普遍逼近定理识别微分方程。自然马赫数。智力。，3, 218-229 (2021) [20] Chen，T。；Chen，H.，具有任意激活函数的神经网络对非线性算子的通用逼近及其在动力学系统中的应用。IEEE传输。神经网络。，4, 911-917 (1995) [21] Lanthaler，S。；米什拉，S。；Karniadakis，G.E.，《DeepONets的错误估计：无限维的深度学习框架》。事务处理。数学。申请。，1 (2022) ·Zbl 07525076号 [22] 巴塔查亚，K。；侯赛尼，B。；科瓦奇奇，N.B。；Stuart，A.M.，参数偏微分方程的模型简化和神经网络。SMAI J.计算。数学。，121-157 (2021) ·Zbl 1481.65260号 [23] 新罕布什尔州内尔森。；Stuart，A.M.，巴拿赫空间之间输入-输出映射的随机特征模型。SIAM J.科学。计算。，5、A3212-A3243（2021）·Zbl 07398767号 [24] Opschoor，J.A。；施瓦布，C。；Zech，J.，高维深度学习：贝叶斯PDE反演的ReLU网络表达率（2020），SAM研究报告2020-47 [25] 施瓦布，C。；Zech，J.，《高维深度学习：UQ中广义多项式混沌展开的神经网络表达率》。分析。申请。，01, 19-55 (2019) ·Zbl 1478.68309号 [26] O'Leary-Roseberry，T。；美国维拉。；陈，P。；Ghattas，O.，PDE控制的高维参数映射的导数信息投影神经网络。计算。方法应用。机械。工程（2022） [27] 弗雷斯卡，S。；Manzoni，A.，POD-DL-ROM：通过适当的正交分解增强非线性参数化偏微分方程的基于深度学习的降阶模型。计算。方法应用。机械。工程，114-181（2022） [28] Khoo，Y。；Ying，L.，SwitchNet：前向和反向散射问题的神经网络模型。SIAM J.科学。计算。，5、A3182-A3201（2019）·Zbl 1425.65208号 [29] 科瓦奇奇，N。；李，Z。；刘，B。；Azizzadenesheli，K。；巴塔查亚，K。；Stuart，A。；Anandkumar，A.，《神经操作符：函数空间之间的学习映射及其在PDE中的应用》。J.马赫。学习。决议，89，1-97（2023年） [30] 卢，L。；Jin，P.等人。；Karniadakis，G.E.，DeepONet：基于算子的普遍逼近定理学习非线性算子以识别微分方程（2019） [31] 范，Y。；Bohorquez，首席执行官。；Ying，L.，BCR-Net：基于非标准小波形式的神经网络。计算杂志。物理。，1-15 (2019) ·Zbl 1451.65244号 [32] 范，Y。；林，L。；Ying，L。；Zepeda-Nünez，L.，基于层次矩阵的多尺度神经网络。多尺度模型。模拟。，4, 1189-1213 (2019) ·Zbl 1435.65181号 [33] Kashinath，K。；Marcus，P.，通过可微PDE层在CNN中实施物理约束 [34] 李，Z。；科瓦奇奇，N.B。；Azizzadenesheli，K。；刘，B。；巴塔查亚，K。；Stuart，A。；Anandkumar，A.，参数偏微分方程的Fourier神经算子（2020） [35] 科瓦奇奇，N。；Lanthaler，S。；Mishra，S.，《关于傅里叶神经算子的通用逼近和误差界》。J.马赫。学习。决议，290，1-76（2021）·Zbl 07626805号 [36] 莫里纳罗，R。；Yang，Y。；Engquist，B。；Mishra，S.，用于求解PDE逆问题的神经逆算子，25105-25139 [37] 哈伯，E。；Ruthotto，L.，深度神经网络的稳定架构。反向概率。，1 (2017) [38] E、 W.，关于通过动态系统进行机器学习的建议。Commun公司。数学。统计，1，1-11（2017）·Zbl 1380.37154号 [39] 安提尔，H。；迪亚斯，H。；Herberg，E.，深度神经网络的最优时变学习框架（2022） [40] 韩洁群，W.E。；Li，Q.，深度学习的动态系统和最优控制方法，422-438·Zbl 1507.68277号 [41] E、 W。；Han，J。；Li，Q.，深度学习的平均场最优控制公式。Res.数学。科学。，1, 10 (2019) ·Zbl 1421.49021号 [42] 刘，G.-H。；Theodorou，E.A.，深度学习理论综述：最优控制和动态系统视角（2019） [43] 塞德曼，J.H。；法兹利亚布，M。；普雷西亚多，V.M。；Pappas，G.J.，《稳健的深度学习作为最优控制：洞察力和收敛保证》，884-893 [44] 本宁，M。；Celledoni，E。；埃哈特，M.J。；奥雷恩，B。；Schönlieb，C.-B.，《深度学习作为最优控制问题：模型和数值方法》。J.计算。动态。，2, 171-198 (2019) ·Zbl 1429.68249号 [45] E.渭南。；Han，J。；Long，J.，《通过机器学习实现最优控制：从模型预测控制的角度》。IFAC-PapersOnLine，30，121-126（2022） [46] Bensoussan，A。；李毅。；Nguyen，D.P.C。；Tran，M.-B。；Yam，S.C.P。；周，X.，第16章-机器学习和控制理论，531-558 [47] 鲁索托，L。；Osher，S.J。；李伟（Li，W.）。；Nurbekyan，L。；Fung，S.W.，用于解决高维平均场博弈和平均场控制问题的机器学习框架。程序。国家。阿卡德。科学。，17, 9183-9193 (2020) [48] 卡莫纳，R。；Laurière，M.，平均场控制和游戏数值解的机器学习算法的收敛性分析：遍历情况。SIAM J.数字。分析。，3, 1455-1485 (2021) ·Zbl 1479.65013号 [49] 卡莫纳，R。；Laurière，M.，平均场控制和博弈数值解机器学习算法的收敛性分析：II-有限水平情况（2021）·Zbl 1479.65013号 [50] 科彻，美国。；Bause，M.，波动方程的变分时空方法。科学杂志。计算。，2, 424-453 (2014) ·Zbl 1304.65218号 [51] Dörfler，W。；芬戴森，S。；Wieners，C.，线性一阶双曲发展系统的时空间断Galerkin离散。计算。方法应用。数学。，3, 409-428 (2016) ·兹比尔1360.65234 [52] Dörfler，W。；芬戴森，S。；Wieners，C。；齐格勒，D.，2。线性弹性波和声波的空间和时间并行自适应间断Galerkin离散化，61-88·Zbl 1453.65313号 [53] Findeisen，S.M.，麦克斯韦方程组的并行自适应时空方法（2016） [54] （Langer，U.；Steinbach，O.，《时空方法：在偏微分方程中的应用》（2019年），De Gruyter）·Zbl 1425.65008号 [55] Banjai，L。；Georgoulis，E.H。；Ligoka，O.，二阶波动方程的Trefftz多项式时空间断Galerkin方法。SIAM J.数字。分析。，1，63-86（2017）·Zbl 1355.65130号 [56] Gopalakrishnan，J。；Schöberl，J。；Wintersteiger，C.，双曲线系统的映射帐篷俯仰方案。SIAM J.科学。计算。，6、B1043-B1063（2017）·Zbl 1378.65166号 [57] 佩鲁贾，I。；Schöberl，J。；斯托克，P。；Wintersteiger，C.，Tent俯仰和声波方程的Trefftz-DG方法。计算。数学。申请。，10, 2987-3000 (2020) ·Zbl 1447.65087号 [58] O.斯坦巴赫。；Zank，M.，初边值问题的强制时空有限元方法。电子。事务处理。数字。分析。，154-194 (2020) ·Zbl 1436.65144号 [59] Bause，M。；Bruchäuser，M.P。；Köcher，U.，耦合流传输问题高阶时空离散化的灵活面向目标自适应性。计算。数学。申请。，17-35 (2021) ·Zbl 1524.65514号 [60] G.Matthies，F.Schieweck，非线性常微分方程组的高阶变分时间离散，Preprint，2011年，第30页。 [61] Evans，L.C.，偏微分方程。美国数学学会数学研究生课程（2010）·Zbl 1194.35001号 [62] 亚伯拉罕·D·S。；Giannacopoulos，D.D.，一般非线性色散介质的无卷积混合有限元时域方法。IEEE传输。天线传播。，1, 324-334 (2019) [63] Dautray，R。；克雷格，A。；阿托拉，M。；塞森纳，M。；狮子，J。；Lanchon，H.，《科学技术的数学分析和数值方法：第5卷》。进化问题I（1999），施普林格-柏林-海德堡 [64] Bruchäuser，M.P.，多速率耦合流和传输方法的面向目标的时空自适应性（2022年） [65] 班杰斯，W。；盖革，M。；Rannacher，R.，波动方程的自适应Galerkin有限元方法。计算。方法应用。数学。，3-48 (2010) ·Zbl 1283.35053号 [66] Becher，S。；Matthies，G.，高阶和高正则性的变分时间离散化。位数字。数学。，3, 721-755 (2021) ·Zbl 1472.65082号 [67] Grafakos，L.，经典傅里叶分析。Springer数学研究生课程（2014）·兹比尔1304.42001 [68] Hochreiter，S。；Y.本吉奥。；Frasconi，P。；Schmidhuber，J.，递归网络中的梯度流：学习长期依赖性的困难，237-243 [69] Cho，K。；van Merrienboer，B。；古尔塞，C。；布加尔斯，F。；施温克，H。；Bengio，Y.，使用RNN编码器-解码器学习短语表示，用于统计机器翻译 [70] Manzoni，A。；Quarteroni，A。；Salsa，S.，《偏微分方程的最优控制：分析、逼近和应用》。《应用数学科学》（2021），施普林格国际出版社·Zbl 1483.49001号 [71] （Hinze，M.；Pinnau，R.；Ulbrich，M.、Ulbrich-S.，《PDE约束优化》，《数学建模：理论与应用》，第23卷（2009），施普林格出版社）·Zbl 1167.49001号 [72] Gugat，M.，双曲系统的最优边界控制和边界稳定。施普林格电气与计算机工程简介（2015），施普林格国际出版公司·Zbl 1328.49001号 [73] 阿恩特，D。；班杰斯，W。；布莱斯，B。；费林，M。；Gassmöller，R。；Heister，T。；赫尔泰，L。；科彻，美国。；Kronbichler，M。；迈尔，M。；Munch，P。；佩尔特，J.-P。；普罗埃尔，S。；西蒙，K。；Turcksin，B。；威尔斯，D。；Zhang，J.，交易。II库，9.3版。J.数字。数学。，3, 171-186 (2021) ·Zbl 1478.65004号 [74] Berger Vergiat，L.公司。；Glusa，C.A。；胡建杰。；Mayr，M。；普罗科彭科，A。；西弗特，C.M。；杜米纳罗，R.S。；Wiesner，T.A.，MueLu用户指南（2019年） [75] Paszke，A。；格罗斯，S。；马萨，F。；Lerer，A。；布拉德伯里，J。；Chanan，G。；基林，T。；林，Z。；Gimelshein，N。；安提瓜，L。；Desmaison，A。；Kopf，A。；杨，E。；德维托，Z。；Raison，M。；特贾尼，A。；Chilamkurthy，S。；斯坦纳，B。；方，L。；Bai，J。；Chintala，S.，PyTorch:一个命令式、高性能的深度学习库，8024-8035 [76] Lian，X。；张，C。；张，H。；谢长杰。；张伟。；Liu，J.，去中心化算法能胜过集中式算法吗？分散并行随机梯度下降的案例研究，5336-5346·Zbl 1468.93105号 [77] 安塞尔曼，M。；Bause，M。；Margenberg，N。；Shamko，P.，用于动态孔隙和热弹性时空有限元计算的节能GMRES-多重网格解算器（2023） [78] Loshchilov，I。；Hutter，F.，解耦重量衰减正则化（2018） [79] 刘博士。；Nocedal，J.，关于大规模优化的有限内存BFGS方法。数学。程序。，1, 503-528 (1989) ·Zbl 0696.90048号 [80] Olgun，H.T。；田伟。；田伟。；Cirmi，G。；Cirmi，G。；拉维，K。；Rentschler，C。；乔安卡亚，H。；乔安卡亚，H。；乔安卡亚，H。；佩加门特，M。；Hemmer，M。；华，Y。；辛普夫，D.N。；新罕布什尔州马特里斯。；Kärtner，F.X。；卡特纳，F.X。；Kärtner，F.X.，PPLN中双谱线激光器驱动的窄带太赫兹辐射的高效产生。选择。莱特。，10, 2374-2377 (2022) [81] New，G.，《非线性光学导论》（2011），剑桥大学出版社·Zbl 1227.78001号 [82] Boyd，R.W.，第1章-非线性光学磁化率，1-64 [83] Jackson，J.D.，经典电动力学（1999），John Wiley&Sons·Zbl 0920.00012号 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。