伊安尼斯·萨克拉里迪斯;王乔纳森 交叉复合体和未分类的（L）因子。 （英语） Zbl 1499.14076号 美国数学杂志。Soc公司。 35,3号，799-910（2022）. 设（G）是有限域（mathbb{F}）上的连通约化群，（X）是仿射球面簇。假设Borel子群（B\子集G\）自由作用于开（B\）-轨道\（X^\circ\subset X\）上，每个最小抛物子群\（P_\alpha\）（对应于（G\）的一个简单根\（\alpha \））正好移动开（G \）-轨\（X_\bullet\subset X \）中的两个（B\-stable素数除数。模（B）的幺正根（N）的范畴商\（X/\！\！/N=\operatorname{Spec}\mathcal{O}（X）^N\）是一个仿射复曲面簇，包含作为开轨道的环面\（T=B/N\）。还假设在\（X）上存在一个\（G \）-本征体积形式，产生一个\-（X^\项目符号（\mathbb{F}（\！（t）\！））上的本征测度带有特征字符\（nu=|e^h|\），其中\（h\）是\（G\）的Weyl群\（W\）下的\（T\）不变量的字符。设\（L^+X\）表示表示函子\（R\rightsquarrow X（R[[t]]）\的形式弧空间。这是一个无限型格式，但由于Grinberg-Kazhdan和Drinfeld的定理，它在（X（mathbb{F}[[t]]）\cap X^{mathrm{sm}}（mathbb{F}（\！（t）\！））处的奇点是有限型的，其中\（X^{\mathrm{sm}}\）表示\（X\）的光滑轨迹。这允许在\（X（\mathbb{F}[[t]]）\cap X^{\mathrm{sm}}（\mathbb{F{（\！（t）\！））\上定义IC函数\（\Phi_0\）作为几何Frobenius态射（operatorname{Fr}）作用于（L^+X）的交复数的柄上的轨迹，或者更准确地说，作用于弧空间（Zastava空间）的适当有限维模型的柄上[A.买家等，《美国数学杂志》。138，第1期，第81–108页（2016年；Zbl 1346.14039号)]. 这个函数在范畴商映射（pi:X\到X/\由公式\（\pi_！\Phi_0（a）=\int_{N（\mathbb{F}（\！（t）\！））}给出\Phi_0（na）dn\）。本文的目的是分析以下猜想，参见[Y.Sakellaridis公司《代数数论6》，第4期，611-667（2012；兹比尔1253.11059)]. 设\（check{G}\）表示\（G\）的Langlands对偶群，\（check{T}\）是\（T\）的对偶群。在向量空间（V_X=V_X^+\oplus V_X_-\）中存在一个辛表示，其中\（V_X ^{pm}\）是\（（check{T}\rtimes\langle\operatorname{Fr}\rangle）\）-稳定的拉格朗日子空间，使得\（V_ X^+\）的权重包含在定义锥\（\）中马特拉克{c} X（_X）\)仿射复曲面簇\（X/\！\！/N\）（或仿射球面簇\（X））和\[（eta\delta）^{\frac12}\cdot\pi_！\Phi_0=\frac{\operatorname{tr}_{\检查{T}}（\operatorname{Fr}，\operator名称{Sym}^\项目符号（V_X^+））}{\操作员名称{tr}_{\check{T}}（\operatorname{Fr}，\operator name{Sym}^\bullet（\check\\mathfrak{n}}，（1））}.\]此处\（\operatorname{tr}_｛\check｛T｝｝（\ operatorname｛Fr｝，V）\）表示\（\ operatorname｛Fr｝\）上的函数-\（\check｛T｝\）的不变字符，其值是\（\ operatorname｛Fr｝\）作用于\（V\）中相应本征空间的轨迹，\（\ delta=| e^｛2\rho_G｝| \）是\（B\）的模字符。这个猜想与算术和几何起源的各种猜想有关（关于渐近函数和（L）-函数、（Phi_0）和未分类（L）因子的Plancherel分解、邻近圈、（L^+X）交复数的自同态环等）。它被证明是复曲面变种和还原幺半群[A.买家等，《美国数学杂志》。138，第1号，81–108（2016年；Zbl 1346.14039号)].在本文中，作者为证明上述猜想采取了一些步骤。也就是说，它们描述了（V_X\）中\（检查{T}\）的推测表示的权重集。在特定情况下，其中（X）是\（X^\bullet\）和\（X/\！\！/N=\mathbb{A}^r）的正则仿射嵌入（后一条件总是可以通过有限阿贝尔覆盖来实现），锥\（\mathfrak{c} X（_X）\)是单形的，其射线的本原生成元（check\nu1，dots，check\nu）构成了（mathfrak）中格向量幺半群的基础{c} X（_X）\). 然后在向量空间（V_X^+=V_{X^\bullet}^+\）中存在一个\（check{T}\）-weights包含在\（mathfrak）{c} X（_X）\setminus0），（V_X^+oplus（V_X^+）^*）的多重集（校验{T}）-权重（连同重数）是（W）-稳定的，权重（校验nu_i）出现在重数为1的（V_X ^+）中，猜想的公式成立。此外，（V_X^+oplus（V_X^+）^*）的多重权重集合为（check{G}）进行了Kashiwara晶体的结构，这个猜想相当于说该晶体对应于（check}）-模（V_X）的晶体基。在这种情况下，（V_X）的简单子模的最高权重是（check\nu_1，dots，check\nu _r）的主导（W）-翻译。如果所有这些配重都很小（例如，如果（X=X^\bullet）），那么猜想成立。在一般情况下，对于（X^{bullet}\）的任何仿射嵌入\（X\），该猜想的公式与\（V_X^+=V_{X^bullet{^+\oplus\bigoplus_i\langle h+2\rho_G，\check\ theta_i\rangle/2\cdot V（\check\theta_i）\保持一致，其中\（\ check\ theta_i和\（V（\check\theta_i）\）是权重最低的简单\（\check{G}\）-模块\（\check\theta _i）。审核人：Dmitri A.Timashev（莫斯科） 引用于1文件 MSC公司： 14层30 关于品种或方案的小组行动（商） 22E57型 Geometric Langlands项目：代表理论方面 11楼67 自守（L）-级数的特殊值，自守形式的周期，上同调，模符号 14日24时 几何Langlands项目（代数几何方面） 14米27 压实；对称和球形变体 17层37 量子群（量子化包络代数）及其变形 43甲85 齐次空间上的调和分析 关键词：球形品种;弧空间;十字路口综合设施;弗罗贝尼乌斯痕迹;基本功能;Satake变换;扎斯塔瓦空间;L函数 引文：Zbl 1346.14039号;Zbl 1253.11059号 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{Y.Sakellaridis}和\textit{J.Wang}，J.Am.数学。Soc.35，No.3，799--910（2022；Zbl 1499.14076） 全文： 内政部 arXiv公司 参考文献： [1] Arkhipov，Sergey，仿射旗上的Perverse滑轮和Langlands对偶组，以色列J.Math。，135-183 (2009) ·Zbl 1214.14011号 ·doi:10.1007/s11856-009-0024-y [2] Arkhipov，S.，小量子群和半无限旗形流形上的模，变换。群体，279-362（2005）·兹比尔1122.17007 ·doi:10.1007/s00031-005-0401-5 [3] Arzhantsev，Ivan V.，李群和不变理论。关于某些齐次空间的正则嵌入，Amer。数学。社会事务处理。序列号。2，63-83（2005），美国。数学。佛罗里达州普罗维登斯Soc·兹比尔1085.14044 ·doi:10.1090/trans2/213/04 [4] Be\u{i}linson，A.A.，奇异空间上的分析与拓扑，i.Faisceaux perverses，Ast{e} 猥亵的，5-171（1981），社会数学。法国、巴黎 [5] Beilinson，A.A.，《数学物理中的代数和几何方法》。量化Hitchin的计算和Langlands的程序，数学。物理学。研究生，3-7（1993），Kluwer Acad。出版物。，多德雷赫特·Zbl 0864.14007号 [6] 亚历山大·贝林森（Alexander Beilinson），手征代数，美国数学学会学术讨论会出版物，vi+375页（2004），美国数学协会，普罗维登斯，RI·Zbl 1138.17300号 ·doi:10.1090/coll/051 [7] 林森，A.A.，（K）-理论、算术和几何。如何粘合反常的滑轮，数学课堂讲稿。，柏林施普林格42-51（1984-1986）·Zbl 0621.00010号 ·doi:10.1007/BFb0078366 [8] 林森，A.A.，（K）-理论、算术和几何。关于反常滑轮的衍生类别，数学课堂讲稿。，27-41（1984-1986），柏林斯普林格·Zbl 0621.00010号 ·doi:10.1007/BFb0078365 [9] Braverman，Alexander，《数学的统一》。通过仿射李代数的Uhlenbeck空间，Progr。数学。，17-135（2006），Birkh“{a} 用户马萨诸塞州波士顿市·Zbl 1105.14013号 ·doi:10.1007/0-8176-4467-9\_2 [10] Braverman，A.，Drinfeld紧化的交集上同调，选择数学。（N.S.），381-418（2002）·Zbl 1031.14019号 ·doi:10.1007/s00029-002-8111-5 [11] Braverman，A.，勘误表：“Drinfeld紧化的交集上同调”[Selecta Math.（N.s.）｛\bf 8｝（2002），第3期，381-418；MR1931170]，Selecta Math。（N.S.），429-430（2004）·Zbl 1063.14503号 ·doi:10.1007/s00029-004-0383-5 [12] Bezrukavnikov，Roman，通过Harish-Chandra双模块的Drinfeld中心的字符（D）-模块，发明。数学。，589-620 (2012) ·Zbl 1267.20058号 ·doi:10.1007/s00222-011-0354-3 [13] 亚历山大·布拉弗曼（Alexander Braverman），通过仿射格拉斯曼（Grassmannian）和数学公爵（Duke Math）的《晶体》（Crystals）。J.，561-575（2001）·Zbl 1015.20030号 ·doi:10.1215/S0012-7094-01-10736-9 [14] Braverman，A.，《几何艾森斯坦系列》，《发明》。数学。，287-384 (2002) ·Zbl 1046.11048号 ·doi:10.1007/s00222-002-0237-8 [15] Braverman，Alexander，局部系统变形和Eisenstein系列，Geom。功能。分析。，1788-1850 (2008) ·Zbl 1234.11155号 ·doi:10.1007/s00039-007-0645-4 [16] 博维尔，阿诺，Un lemme de descente，C.R.学院。科学。巴黎S\'{e} r.（右）。我数学。，335-340 (1995) ·Zbl 0852.13005号 [17] Brion，M.，Espaces同系物{e} 里克斯，发明。数学。，617-632 (1986) ·Zbl 0604.14047号 ·doi:10.1007/BF01388749文件 [18] Batyrev，Victor，球面子群的卫星，Algebr。地理。，86-112 (2020) ·Zbl 1472.14048号 ·doi:10.14231/ag-2020-004 [19] Bouthier，A.，关于约化幺半群的形式弧空间Amer。数学杂志。，81-108 (2016) ·Zbl 1346.14039号 ·doi:10.1353/ajm.2016.0004 [20] Bouthier，A.，勘误表：“关于约化幺半群的形式弧空间”[MR3462881]，Amer。数学杂志。，293-295 (2017) ·兹比尔1360.14047 ·doi:10.1353/ajm.2017.0006 [21] Tom Braden，交集上同调的双曲线局部化，变换。团体，209-216（2003）·Zbl 1026.14005号 ·doi:10.1007/s00031-003-0606-4 [22] Brion，Michel，《一个奇妙品种的总坐标环》，J.Algebra，61-99（2007）·Zbl 1123.14024号 ·doi:10.1016/j.jalgebra.2006.12.022 [23] Daniel Bump，Crystal bases，xii+279 pp.（2017），新泽西州哈肯萨克市世界科学出版有限公司·Zbl 1440.17001号 ·doi:10.1142/9876 [24] David Ben-Zvi、Yiannis Sakellaridis和Akshay Venkatesh，相关Langlands项目的双重性，准备中。 [25] 坎贝尔，贾斯汀，《关于Drinfeld压实的Whittaker滑轮的附近循环》，Compos。数学。，1775-1800 (2018) ·Zbl 1431.22021 ·doi:10.1112/s0010437x18007285 [26] 贾斯汀·坎贝尔（Justin Campbell），通过稳定映射解决Drinfeld紧化的奇点，J.代数几何。，153-167 (2019) ·Zbl 1403.22019年 ·doi:10.1090/jag/727 [27] Casselman，W.，（{mathfrak{p}}）-根群的未分类主级数。I.球函数，合成数学。，387-406 (1980) ·Zbl 0472.22004号 [28] 尼尔·克里斯（Neil Chriss），《表现论与复杂几何》（Representation theory and complex geometry），x+495 pp.（1997），Birkh{a} 用户波士顿公司，马萨诸塞州波士顿·Zbl 0879.22001 [29] Casselman，W.，（p\）-根群的未分类主级数。二、。Whittaker函数，Compositio Math。，207-231 (1980) ·Zbl 0472.22005号 [30] Deligne，P.，同系物{e} 故事。Th\'（第个）{e} 或\`emes de finitude en上同调\（\ell\）-adique，数学课堂讲稿。，233-261（1977），柏林斯普林格·Zbl 0349.14013号 [31] V.Drinfeld，Grinberg-Kazhdan定理和牛顿群胚，1801.01046v22018·Zbl 1440.14071号 [32] Drinfel\cprime d，V.G.，\（B\）-结构关于\（G\）-丛和局部平凡性，数学。Res.Lett.公司。，823-829 (1995) ·Zbl 0874.14043号 ·doi:10.4310/MRL.1995.v2.n6.a13 [33] Feigin，Boris，微分拓扑，无穷维李代数和应用。半无限标志。二、。拟映射空间的局部和全局相交上同调，Amer。数学。社会事务处理。序列号。2，113-148（1999），美国。数学。佛罗里达州普罗维登斯Soc·Zbl 1076.14511号 ·doi:10.1090/trans2/194/06 [34] Fantechi，Barbara，《基本代数几何》，《数学调查与专著》，x+339 pp.（2005），美国数学学会，普罗维登斯，RI·Zbl 1085.14001号 ·doi:10.1090/surv/123 [35] Finkelberg，Michael，《微分拓扑，无穷维李代数和应用》。半无限标志。I.全局曲线案例\（\mathbf P^1），Amer。数学。社会事务处理。序列号。2，81-112（1999），美国。数学。佛罗里达州普罗维登斯Soc·Zbl 1076.14512号 ·doi:10.1090/trans2/194/05 [36] D.Gaitsgory，《什么作用于几何艾森斯坦级数》，在线阅读http://www.math.harvard.edu/gaitsgde/GL/WhatActs.pdf，2011年。 [37] Gaitsgory，Dennis，（GL_2）几何Langlands猜想的证明大纲，Ast{e} 猥亵的, 1-112 (2015) ·Zbl 1406.14008号 [38] Grojnowski，I.，线性代数群及其表示。量子化包络代数的基的比较，Contemp。数学。，11-19（1992），美国。数学。佛罗里达州普罗维登斯Soc·兹比尔1009.17502 ·doi:10.1090/conm/153/01304 [39] 盖茨戈里（Gaitsgory），丹尼斯（Dennis），《球形变种和兰兰二元性》（Spherical variations and Langlands di偶），莫斯克（Mosc）。数学。J.，65-137，271（2010年）·2013年7月12日Zbl ·doi:10.17323/1609-4514-2010-1-65-137 [40] Grosshans，Frank D.，约化代数群在任意特征下作用的收缩，发明。数学。，127-133 (1992) ·Zbl 0778.20018号 ·doi:10.1007/BF01231884 [41] Hong，Jin，量子群和晶体碱导论，数学研究生课程，xviii+307页（2002），美国数学学会，普罗维登斯，RI·兹比尔1134.17007 ·doi:10.1090/gsm/042 [42] Iversen，Birger，代数群的几何，数学进展。，57-85 (1976) ·Zbl 0327.14015号 ·doi:10.1016/0001-8708（76）90170-5 [43] Kaloshin，V.Yu。，Whitney分层存在的几何证明，Mosc。数学。J.，125-133（2005）·Zbl 1083.14067号 ·doi:10.17323/1609-4514-2005-5-1-125-133 [44] Kashiwara、Masaki、The crystal base和Littelmann改进的Demazure角色公式Duke Math。J.，839-858（1993）·Zbl 0794.17008号 ·doi:10.1215/S0012-7094-93-07131-1 [45] Kashiwara，Masaki，修正量子化包络代数的晶体基，杜克数学。J.，383-413（1994）·Zbl 0794.17009号 ·doi:10.1215/S0012-7094-94-07317-1 [46] Kashiwara，Masaki，团体代表。在晶体底座上，CMS Conf.Proc。，155-197（1994），美国。数学。佛罗里达州普罗维登斯Soc·Zbl 0851.17014号 [47] Knop，Friedrich，代数变换ruppen und不变量。代数群作用的局部性质，DMV Sem.，63-75（1989），Birkh“{a} 用户，巴塞尔·Zbl 0722.14032号 [48] Kang，Seok-Jin，无限分析，A部分，B。仿射晶体和顶点模型，高级。数学。物理。，449-484（1991），《世界科学》。出版物。，新泽西州River Edge·Zbl 0925.17005号 ·doi:10.1142/s0217751x92003896 [49] Friedrich Knop，《海得拉巴代数群会议论文集》。球形嵌入的Luna-Vust理论，225-249（1989），马德拉斯的马诺伊·普拉卡珊·Zbl 0812.20023号 [50] 诺普，弗里德里希，不变集体运动的渐近行为，发明。数学。，309-328 (1994) ·Zbl 0802.58024号 ·doi:10.1007/BF01231563 [51] Knop，Friedrich，关于Borel子群的轨道集，注释。数学。帮助。，285-309 (1995) ·Zbl 0828.22016号 ·doi:10.1007/BF02566009 [52] Knop，Friedrich，球形品种的球形根，《傅里叶研究年鉴》（格勒诺布尔），2503-2526（2014）·兹比尔1327.14230 ·doi:10.5802/aif.2919 [53] Kontsevich，Maxim，曲线的模空间。通过圆环动作枚举有理曲线，Progr。数学。，335-368（1994），Birkh“{a} 用户马萨诸塞州波士顿市·Zbl 0885.14028号 ·doi:10.1007/978-1-4612-4264-2 [54] Knop，F.，球面簇的对偶群，Trans。莫斯科数学。Soc.，187-216（2017）·Zbl 1433.14046号 ·doi:10.1090/mosco/270 [55] 卡普兰诺夫，米哈伊尔，顶点代数和形式循环空间，Publ。数学。Inst.Hautes公司{E} 瑞斯科学。，209-269 (2004) ·Zbl 1106.17038号 ·doi:10.1007/s10240-004-0023-9 [56] Vincent Lafforgue，Quelques calculs reli’es a la correspondance de Langlands g’eom’etrique pour（P^1），网址：http://vlafforg.perso.math.cnrs.fr/files/geom.pdf, 2009. [57] Luna、Domingo、Sur les groupes alg{e} 煤块。切片\'{e} 传说, 81-105. 牛市。社会数学。法国、巴黎、M\'{e} 云纹33（1973），《社会数学》。法国、巴黎·Zbl 0286.14014号 ·doi:10.24033/msmf.110 [58] Luna，D.，代数群和李群。Grosses cellules pour les vari\'（格罗斯-赛璐珞倾注各种）{e} 吨\'{e} 秒球形{e} 里克斯澳大利亚。数学。Soc.Lect（社会学）。序列号。，267-280（1997），剑桥大学出版社，剑桥·Zbl 0902.14037号 [59] Lusztig，G.，由量子化包络代数产生的正则基。二、 程序。定理。物理学。补遗，175-201（1991）（1990）·Zbl 0776.17012号 ·doi:10.1143/PTPS.102.175 [60] Luna，D.，《同形面铺板》，评论。数学。帮助。，186-245 (1983) ·Zbl 0545.14010号 ·doi:10.1007/BF02564633 [61] Mirkovi，I.，《几何Langlands对偶与交换环上代数群的表示》，《数学年鉴》。(2), 95-143 (2007) ·Zbl 1138.2013年 ·doi:10.4007/annals.2007.166.95 [62] 波波夫，V.L.，还原代数群作用的收缩，数学。USSR-Sb..Mat.Sb.（N.S.），310-334431（1986）·Zbl 0627.14033号 ·doi:10.1070/SM1987v058n02ABEH003106 [63] Sam Raskin，Chiral principal series categories II：可因子分解的Whittaker类别，网址：https://web.ma.utexas.edu/users/sraskin/cpsii.pdf。 ·Zbl 1469.14026号 [64] Richardson，R.W.，约化代数群的仿射陪集空间，Bull。伦敦数学。《社会学杂志》，38-41（1977年）·兹比尔0355.14020 ·doi:10.1112/blms/9.1.38 [65] Sakellaridis，Yiannis，关于自由场上球形变种的未分类光谱，Compos。数学。，978-1016 (2008) ·2011年7月16日Zbl ·doi:10.1112/S0010437X08003485 [66] Sakellaridis，Yiannis，（L）函数的球面簇和积分表示，代数数论，611-667（2012）·Zbl 1253.11059号 ·doi:10.2140/ant.2012.6.611 [67] Sakellaridis，Yiannis，球面变体上的球面函数，Amer。数学杂志。，1291-1381 (2013) ·Zbl 1281.22007年 ·doi:10.1353/ajm.2013.0046 [68] Sakellaridis，Yiannis，轨迹公式的几何方面。《反向萨塔克变换》，西蒙斯交响乐团。，321-349（2018），查姆斯普林格·Zbl 1453.11070号 [69] Schieder，Simon，通过Drinfeld紧化对\（G\）-丛的模栈进行的Harder Narasimhan分层，Selecta Math。（N.S.），763-831（2015）·Zbl 1341.14006号 ·doi:10.1007/s00029-014-0161-y [70] Schieder，Simon，Picard-Lefschetz振荡器用于Drinfeld-Lafforgue-Winberg退化{SL}_2\)杜克大学数学系。J.，835-921（2018）·Zbl 1398.14022号 ·doi:10.1215/00127094-2017-0044 [71] Simon Schieder，《任意还原群的几何Bernstein渐近和Drinfeld-Lafforgue-Winberg退化》，预印本，网址：https://arxiv.org/abs/1607.00586v2, 2021. [72] 单峰群{e} om公司\'{e} 特里alg\'{e} 布里克。II，数学课堂讲稿，第340卷，x+438页（1973），Springer-Verlag，纽约柏林 [73] Robert Steinberg，《半单代数群的正则元》，Inst.Hautes{E} 瑞斯科学。出版物。数学。，49-80 (1965) [74] Sakellaridis，Yiannis，球形变种的周期和调和分析，Ast{e} 猥亵的，viii+360页（2017年）·Zbl 1479.22016号 [75] Timashev，Dmitry A.，《齐次空间和等变嵌入》，《数学科学百科全书》，xxii+253页（2011），施普林格，海德堡·兹伯利1237.14057 ·doi:10.1007/978-3642-18399-7 [76] Vinberg，E.B.，半单李群的标志流形和球面子群上的齐次域，Funkttial。分析。i Prilozhen。，12-19, 96 (1978) [77] J.Wang，通用局部无环性，网址：https://www.jonathanpwang.com/notes/ULA.pdf, 2021. [78] Wasserman，B.，二级奇妙品种，Transform。群体，375-403（1996）·Zbl 0921.14031号 ·doi:10.1007/BF02549213 [79] 朱新文，模空间几何与表示理论。仿射Grassmann和几何Satake等价的介绍，IAS/公园城市数学。序列号。，59-154（2017），美国。数学。佛罗里达州普罗维登斯Soc·Zbl 1453.14122号 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。