×
利安德罗·阿罗西奥;菲利波·布拉奇;埃伦德·福恩·沃尔德

在\（mathbb{C}^N\）的完全双曲星形域中求解Loewner-PDE。 （英语） Zbl 1283.30054号

高级数学。 242, 209-216 (2013)。
域（D\subset\mathbb C^N\）上的全纯向量场\（H\）是半完备的，如果Cauchy问题\（dot x（t）=H（x（t hbb R^+\至\mathbb C^N\）这样，对于所有（D中的z），（G（z，cdot））在（mathbb R^+）上是可测的，（G，cdot，t）是（D中所有（t中的mathbb R ^+）的半完全全纯向量场，对于任何紧集（K子集D）和所有（t>0），在L^D（[0，t]，mathbb R.+）中存在一个函数（C_{t，K}），其中（G（z，t）\|\leq C_{t，K}（t）\），\（z\ in K\），[0，t]\中的（a.a.t）。\（D\）的全纯自映射族\（\varphi_{s，t｝）_{0\leqs\leqt｝\是\（D\）阶的演化族，如果\（\varphi_{s，s｝=\mathrm｛id｝\），\（\varphi_{s，t｝=\varphi_{u，t｝\circ\varphi_{s，u｝\），\（0\leqs\lequ\leqt\），如果对于任何\（t>0\）和任何紧集\（K\subet \ D\）在L^D（[0，t]）中存在一个函数\（c_{t，K}\，\mathbb R^+）\），以便\[\|\变量{s，t}（z）-\varphi{s，u}（z）\|\leq\int_u^tc{t，K}（\xi）d\xi，\；\；z\单位为K，\；\；0\leq s \leq u \leq t \leq t。\]对于复数流形的非空开子集（M），如果（mathcal O（tilde M））在（mathcalO（M））中是稠密的，则对（（M，tilde M）是龙格对。如果\（（D，\mathbb C^N）\）是Runge对，则域\（D\subset\mathbbC^N\）就是Runge。
本文的主要结果可以用以下方式表述。
定理1.1。对于一个完全双曲星形域（D\subset\mathbb C^N\），设（G:D\times\mathbbR^+\to\mathbb-C^N_）是一个阶Herglotz向量场（D\in[1，\infty]\）。然后存在一类单叶映射（f_t:D\to\mathbbC^N），其阶为（D\），求解了Loewner-PDE\[\压裂{\部分f_t}{\部分t}（z）=-df_t（z，z）G（z，t），\；\；\文本{a.a.}t\geq0\text{以及所有}z在D中。\]此外，\（R:=\bigcup_{t\geq0}f_t（D）\）是\（mathbb C^N）中的Runge和Stein域，Loewner PDE的任何其他解的形式为合适的全纯映射\（Phi:R\ to mathbb C ^N）的形式。
本文还证明了，对于单位球（mathbb B^N）的单叶自映射（varphi），在不假设（varphi（mathbbB^N。
审核人：德米特里·普罗霍罗夫（萨拉托夫）

引用于1审查
引用于27文件

MSC公司：

30摄氏度80 极大值原理、Schwarz引理、Lindelöf原理、类比和推广；从属关系
32A30型 复变函数论的其他推广

关键词：

勒沃纳理论;全纯PDE;演化方程;星形域
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{L.Arosio}等人，高级数学。242209--216（2013；Zbl 1283.30054）
全文： 内政部 arXiv公司

参考文献：

[1] 阿巴特，M。；布拉奇，F。；康特拉斯，医学博士。；Díaz-Madrigal，S.，《Loewner微分方程的演变》，《欧洲数学》。Soc.新闻。，78, 31-38 (2010) ·Zbl 1230.30003号
[2] 安德森，E。；Lempert，L.，关于（C^n）的全纯自同构群，发明。数学。，110, 2, 371-388 (1992) ·Zbl 0770.32015号
[3] Arosio，L.，《Loewner方程中的共振》，高等数学。，2271413-1435（2011年）·Zbl 1256.32022号
[4] Arosio，L.，完全双曲域上的Loewner方程，J.Math。分析。申请。，398, 609-621 (2013) ·Zbl 1258.3207号
[5] Arosio，L.，《Loewner方程中的吸引盆地》，美国科学院学报。科学。芬恩。数学。，37, 563-570 (2012) ·Zbl 1281.32015年
[6] Arosio，L。；Bracci，F.，《完备双曲流形上的无穷小生成器和Loewner方程》，Ana。数学。物理。，1, 4, 337-350 (2011) ·Zbl 1254.32037号
[7] Arosio，L。；Bracci，F。；滨田，H。；Kohr，G.，《Loewner链的抽象方法》，J.Ana。数学。，119, 1, 89-114 (2013) ·Zbl 1321.32005年
[8] Bracci，F。；康特拉斯，医学博士。；Díaz-Madrigal，S.，《进化家族和Loewner方程I：单位圆盘》，J.Reine Angew。数学。，672, 1-37 (2012) ·Zbl 1267.30025号
[9] Bracci，F。；康特拉斯，医学博士。；Díaz-Madrigal，S.，进化族和Loewner方程II：复双曲流形，数学。年鉴，344947-962（2009）·兹比尔1198.32010
[10] 孔特雷拉斯，医学博士。；Díaz-Madrigal，S。；Gumenyuk，P.，单位圆盘中的Loewner链，Rev.Mat.Iberoam。，26, 975-1012 (2010) ·Zbl 1209.30011号
[12] Dixon，P.G。；埃斯特利，J.，迈克尔问题和庞加莱-法图-比伯巴赫现象，公牛。阿默尔。数学。Soc.（N.S.），第15、2、127-187页（1986年）·Zbl 0608.32008
[13] Docquier，F。；Grauert，H.，《Levisches problem und Rungescher Satz für Teilgebiete Steinscher Mannigfaltigkeiten》，数学。安，14094-123（1960年）·Zbl 0095.28004号
[14] 杜伦，P。；格雷厄姆，I。；滨田，H。；Kohr，G.，多复变量广义Loewner微分方程的解，数学。Ann.，347，2，411-435（2010）·Zbl 1196.32014号
[15] El Kasimi，A.，逼近多项式dans les domaines etoilsés de \（C^n），复变分理论应用。，10, 2-3, 179-182 (1988) ·Zbl 0627.32008号
[16] Fornss，J.E.，极限不是Stein，Math的Stein流形的递增序列。年鉴，223275-277（1976）·Zbl 0334.32017号
[17] Fornss，J.E。；Stensönes，B.，全纯双曲映射的稳定流形，国际。数学杂志。，15, 8, 749-758 (2004) ·Zbl 1071.32016年
[18] 格雷厄姆，I。；滨田，H。；Kohr，G.，多复变量单叶映射的参数表示，Canad。数学杂志。，54, 324-351 (2002) ·Zbl 1004.32007号
[19] 格雷厄姆，I。；滨田，H。；科尔，G。；Kohr，M.，《多复变量中的渐近螺旋形映射》，J.Anal。数学。，105, 267-302 (2008) ·兹比尔1148.32009
[20] Hamada，H.，多复变量Loewner微分方程的多项式有界解，J.Math。分析。申请。，381179-186（2011年）·兹比尔1227.32020
[21] Kufarev，P.P.，关于解析函数的单参数族，Mat.Sb.，13，87-118（1943），（俄语）·Zbl 0061.14905号
[22] Loewner，C.，Untersuchungenüber schlichte konforme Abbildungen des Einheitskreises，数学。安，89，103-121（1923）
[23] Pfaltzgraff，J.A.，（C^n）中全纯映射的从属链和单叶性，数学。安，210，55-68（1974）·Zbl 0275.32012号
[24] Pfaltzgraff，J.A.，全纯映射的从属链和拟共形扩张，（C^n），Ann.Acad。科学。芬恩。AI，1,13-25（1975）·Zbl 0314.32001号
[25] Pommerenke，C.，Über die从属分析者funktionen，J.Reine Angew。数学。，218, 159-173 (1965) ·Zbl 0184.30601号
[26] Poreda，T.，关于Banach空间中的广义微分方程，数学论文。，310, 1-50 (1991) ·Zbl 0745.35048号
[27] Voda，M.，多变量Loewner链方程的解，J.Math。分析。申请。，375, 1, 58-74 (2011) ·Zbl 1209.3207号
[28] Wold，E.F.，A long（C^2）is not Stein，Ark.Mat.，48，1207-210（2010年）·Zbl 1189.32004号
此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。