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J.奇坎。;J.D.米切尔。;M·莫莱恩。;佩雷斯，Y。

可数离散度量空间上Lipschitz映射的相对秩。 （英语） Zbl 1222.54037号

拓扑应用程序。 158，第3期，412-423（2011）.
对于可数离散度量空间（X\），我们用（r_X\）表示所有（连续）函数（X\ to X\）模的Lipschitz函数子半群（{mathcal L}_X\_X）。众所周知，这取决于\（X\）的度量，以及西尔皮因斯基【Fundam.Math.24，209-212（1935；Zbl 0011.10607号)]已经表明，\（r_X\）要么是不可数的，要么至多是2。这开启了对更一般度量空间或更一般半群的长期研究。作者坚持半群的原始范围，并证明了关于\（r_X\）精确值的一些结果。例如，如果\（X\）包含Cauchy序列，则\（r_X=1\）。
对于\（f，g\in\mathbb N^\mathbbN），我们为所有\（N）设置\（f\leq g\）当且仅当\（f（N）\leq g（N）\）。定义（不可数）基数\（\mathfrak d\leq 2^{\aleph_0}\）为\（\mathbb N^\mathbb N\）关于此偏序的上尾子集的最小基数。主要结果之一是，如果（X）中的每个开球都是有限的，则（r_X\geq\mathfrak d）。一个更复杂的条件确保了\（r_X\leq\mathfrak d\）：如果\（\mathcal U\）是\（X\）的分区，则定义了\（\mathcal U \）上的一种商度量。（r_X\leq\mathfrak d\）的一个充分条件是存在一个分区，该分区的商有有限个开球，且非零距离有界于零之外。在几种自然条件下，这些结果结合起来给出了（r_X=mathfrak d）。例如，该方程适用于\（mathbb N^k），\（k\geq 1）的所有无限子集。事实上，对于一大类可数集（X\subesteq\mathbb R\）也是如此，几乎所有此类集（在Baire范畴的意义上）都是如此。一般来说，对于可数\（X\subseteq\mathbb R\），可以证明\（R_X\）等于1或至少等于\（mathfrak d\）。
审核人：Rainer Löwen（布伦瑞克）

引用于2文件

MSC公司：

54甲15 变换群和半群（拓扑方面）
54E35个 度量空间，可度量性
20平方米 变换、关系、分区等的半群。
54立方厘米 一般拓扑中的函数空间

关键词：

离散度量空间;相对等级;半群;连续映射;Lipschitz映射

引文：

Zbl 0011.10607号;格式61.0229.03
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{J.Cichoá}等人，《拓扑应用》。158，第3号，412--423（2011；Zbl 1222.54037）
全文： 内政部

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