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大卫·博洛尼尼;安东尼奥·马奇亚;吉安卡洛·里纳尔多;弗朗西斯科·斯特拉赞蒂

小图的Cohen-Macaulay二项式边理想。 （英语） Zbl 1527.13026号

J.代数 638, 189-213 (2024).
这项工作的主要目的是探索Cohen-Macaulay二项式边理想的图理论特征，这是一类从简单图开始定义的二项式理想。事实上，对于给定的具有（m=|V（G）|\）的简单有限图（G=（V（G，E（G）），我们定义了二项式边理想作为（J_G:=（x_iy_J-x_jy_i\mid\{i，J\}\在E（G）中）的\子集R=K[x_1，\ldots，x_m，y_1，\ ldot，y_m]。\）该定义已在[J.赫尔佐格等，高级申请。数学。45，第33117-333号（2010年；Zbl 1196.13018号)]和[M.Ohtani先生、Commun。《代数》39，第3期，905–917（2011；Zbl 1225.13028号)].
为了理解本文的主要结果，我们需要回顾一些定义。对于一个子集V（G），我们用（G\set-bus-S）表示顶点上的（G\set）诱导的子图，用（c_G（S）表示（G\sect-bus-S-）的连通分量的个数。子集\（S\子集V（G）\）称为切点集，或者简单地说割集对于每个\（S\中的i\），如果\（S=\emptyset\）或\（c_G（S）>c_G。在特殊情况下，我们用\（\mathcal{C}（G）\）表示\（G\）的割集集合。此外，图\（G\）被称为可接近的如果\（J_G\）是未混合的并且\（\mathcal｛C｝（G）\）是无障碍集合系统也就是说，对于每个非空的\（S\in\mathcal{C}（G）\），S\中都存在\（S\），这样\（S\setminus\{S\}\in\mathcal{C}（G）\）。此外，a块或双连通图是一个没有切割顶点和添加胡须到图的顶点\（v）意味着附加一条垂边\（{v，f\}），其中\（f）是一个新的顶点。特别是，\（f\）是一个自由顶点这意味着它属于一个独特的最大集团。历史上，对Cohen-Macaulay二项式边理想的研究集中于对图类和保持这种性质的结构的搜索。特别是，在[D.博洛尼尼等，J.Algebr。梳子。55，第4期，1139–1170（2022年；Zbl 1496.13036号)]，作者根据关联图的割集结构提出了以下猜想。猜想。设（G）是一个图。那么，当且仅当（G\）可访问时，\（R/J_G\）为Cohen-Macaulay。这个猜想适用于弦图、二部图和可追踪图。另一方面，对于每个图\（G\），以下含义成立：\开始{align*}J_G\text{强非混合}&\Rightarrow R/J_G\t{Cohen-Macaulay}\\&\右箭头R/J_G\text{满足Serre条件}（s_2）\右箭头G\text}可访问}。\标签｛\（\匕首\）｝\结束{align*}本文的作者试图通过证明上述猜想对新的图类是成立的，从而为上述猜想提供理论和计算证据。
最后，我们在以下定理中总结了本文的主要结果。
定理。设\（G\）为以下值之一：
1
具有（n）个顶点和（k）个晶须的块；
2
带有胡须的块，其中块的顶点最多为\（11）；
三。
最多有15个顶点的图。
那么（\（\dagger\））中的条件都是等价的。特别是，上述猜想适用于上述所有图，在这些情况下，（R/J_G）的Cohen-Macaulayness不依赖于场。
定理。设（B）是一个具有（n）个顶点的块，（B）上的{B}是通过在（B）中添加晶须得到的图。假设\（\overline{B}\）是可访问的，并且满足以下属性之一：
1
\（B\）包含自由顶点；
2
\（B\）有一个至多二次的顶点；
三。
\（上划线{B}）有（kleq3）晶须；
4.
（上横线{B}\）有一个切割顶点\（v\），即\（|N_B（v）|\geq\lfloor\frac{N+r}{2}\rfloor-1\），其中\（r\）是与\（v）相邻的切割顶点数加1；
5
\（overline{B}）有（k=4）晶须，并且（overline{B}\）的切点上的诱导子图是一个块；
6
\（上面的{B}）有（kgeqn-2）晶须。
然后存在一个不混合的\（上划线{B}\）的切割顶点。
审核人：梅赫达德·纳塞内贾德（镜头）

引用于1文件

MSC公司：

13年上半年 特殊类型（Cohen-Macaulay、Gorenstein、Buchsbaum等）
13二氧化碳 交换环中模和理想的结构、分类定理
05C25号 图和抽象代数（群、环、域等）

关键词：

二项式边理想;Cohen-Macaulay环;无障碍集合系统;带有胡须的块

引文：

Zbl 1196.13018号;兹伯利1225.13028;Zbl 1496.13036号

软件：

记录仪;鹦鹉螺;踪迹
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{D.Bolognini}等人，J.代数638189-213（2024；Zbl 1527.13026）
全文： 内政部 arXiv公司
OA许可证

参考文献：

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