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克里斯托弗·丹宁格

高阶调节器和Hecke（L）-虚二次场序列。一、。 （英语） Zbl 0721.14004号

发明。数学。 96，编号1，1-69（1989）.
布洛赫对与（{mathbb Q}）上的CM椭圆曲线（E）有关的（L）级数的值（L（E，2））提供了（K）理论解释。贝林森将他的思想推广到关于数域上动机（L）系列的特殊值的非常一般的猜想[A.A.贝林森，J.Sov。数学。30, 2036–2070 (1985); 翻译自Itogi Nauki Tekh。，序列号。索夫雷姆。问题。材料24181-238（1984年；Zbl 0588.14013号)]. 本文在Beilinson猜想的背景下，将Bloch的结果推广到（s=2,3，..\）的（L（E，s）\）的所有值。对于某些椭圆曲线\（E\），具有复数乘法，并且定义在数域上。我们考虑的椭圆曲线的精确族如下。设\（K\）是一个虚二次域，\（F\）是\（K\）的有限扩张。用\（E\）表示在\（F\）上定义的椭圆曲线，其中\（End_F（E）\）为\（K\）中的最大阶。如果满足以下条件，我们可以说（E）满足条件（S）：
扩张式\（F（E_{tors}）/K\）是阿贝尔的，其中\（E_{ors}\）表示\（E\）上所有扭点的组。
本文的主要结果之一是：对于（epi^a0），考虑代数-群（K{2\ell+2}（E）otimes{mathbbQ}）上所有Adams算子（api^a1）的本征空间（H^2_{{mathcalM}}（E，{mathbb Q}（ell+2））。对于这些“动力同调群”，我们有Beilinson的正则映射：\[r_{{\mathcal D}}:\；H^2_{{mathcal M}}=H^2_{mathcar M}}（E，{mathbb Q}（\ell+2））到H^2\{mathcalD}}=\oplus_{sigma\in G}H^1（^{sigma}E（{mathbbC}），（2\pi i）^{ell+1}{mathbb-R}），\]其中，\（\sigma \）将\（F）的\（K）-嵌入到\（{\mathbb C}\）中。如果\（E\）满足条件（S），我们将在\（H^2_｛\mathcal M｝｝｝\）中构造线性独立的（推测为基）\（\ xi_1，…，\ xi_2｛2g｝\），其中\（g=（F:K）\）具有以下性质：
如果\（eta_1，…，\ eta_2g}\）是\（G}H^1（^{sigma}E（{mathbbC}），（2\pi i）^{ell+1}{mathbb Q}）的基，并且如果我们写\（r_{mathcal D}}}（\xi_i）=\sum_{j} 一个_{ij}\eta_j\）在\（H^2_{\mathcal D}}\）中为\（a_{ij{\在{\mathbb R}\），然后\[L（E，\ell+2）\equiv（2\pi）^{4g（\ell+1）}\det（a_{ij}）\mod{\mathbbQ}^*。\标记{0.2}\]
从函数方程可以看出，（L（E，s）在（s=-\ell）处有一个零级（2g=dimH^2_{{mathcal D}}），并且\[L^{（2g）}（E，-\ell）\equiv\det（a_{ij}）\mod{\mathbb{Q}}^*。\]
在本系列的第二部分【数学年鉴（2）132，第1期，131-158（1990；Zbl 0721.14005号)].
如果（E）有复数乘法而不满足条件（S），我们仍然可以计算（H^2_{{mathcal M}}）中某些元素（xi_1，…，xi{2g}）的调节行列式。（a{ij}）是Eisenstein-Kronecker级数的（{mathbbQ}）-线性组合的特殊值。如果（det（a{ij}）不为零，Beilinson猜想暗示（0.2）也适用于这种情况。特别是，（s=2,3，..\）的值\（L（E，s）\）。应与Eisenstein-Kronecker级数的非线性组合有关。
如果\（E\）没有CM，则\（\ell>0）的方法不再在\（H^2_{{mathcal M}}（E，{mathbb{Q}}，\ell+2））中提供元素，而只在\（E\emdash）动机对称幂的动机上同调中提供元素。第二部分（loc.cit.）将讨论（L（Sym^n（H^1（E）），n+1））与（n\geq 1）的推测结果。
人们认为存在一个具有积分系数的动力上同调理论。如果一个人想组成一个监管者，这个监管者决定签署，而不仅仅是在（{mathbbQ}^*\）中指定一个数字，那么这样的理论是必要的。我们在（1.4）中列出了具有积分系数的动力上同调理论的必要性质，并在这方面进行了工作。我们在很大程度上依赖于C.戈尔茨坦和N.沙巴赫J.Reine Angew。数学。327, 184–218 (1981;兹比尔0456.12007). 然而，我们用不同的方法处理L系列。
在Beilinson猜想的已知证据中（对于更高的（K）-群），必须克服两个主要困难：一个人通过取杯积构造的元素总是存在于某些开簇（或单形簇）（X）的动力上同调中，而另一个人在某种紧化（X）中需要它们
第二个常见的困难是将（X）的Deligne上同调中的类与（L）级数联系起来。在我们的情况下，L值是通过对一个没有紧支撑的光滑形式积分一个奇异形式（奇点比对数还要差！）得到的。我们提出了一种直接分析拓扑方法来克服这一困难。

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引用于24文件

理学硕士：

11克40 \（L）-品种在全球范围内的功能；Birch-Swinnerton-Dyer猜想
11路42号 Zeta函数和数字域的（L）-函数
11卢比70 \（K\）-全局场理论
14国集团10 Zeta函数和代数几何中的相关问题（例如Birch-Swinnerton-Dyer猜想）
19层27 埃塔尔上同调，高等调节器，zeta和（L）-函数（（K）-理论方面）

关键词：

数域上的L-动机序列的值;贝林森猜想;条件（S）;主上同调;贝林森正则图

引文：

Zbl 0721.14005号;Zbl 0588.14013号;Zbl 0456.12007号
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\textit{C.Deninger}，发明。数学。96，编号1，1-69（1989；Zbl 0721.14004）
全文： 内政部 欧洲DML

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