阮越党;马蒂厄·莱奥托;加布里埃尔·里维埃 平面圆环上凸体的长度正交谱。 （英语） Zbl 07745273号 外倾角。数学杂志。 第4期第11期，917-1043（2023）. 本文致力于对平面环面（mathbb{T}^d=mathbb{R}^d/mathbb}Z}^d）（带（d\ge2））正交连接两个凸体（Sigma_1），（Sigma_2\subset\mathbb}T}^d具有非空的内部和定向光滑边界，其所有截面曲率均为正。让\（\mathcal{P}（P）_{K_1，K_2，T_0}）是一组测地线弧（γ），与长度（γ）大于（T_0）的（σ_1）和（σ_2）直接正交。结果表明，如果（T_0）大于（mathcal）中的测地线数{P}（P）_{K_1，K_2，T_0}\）的长度最多\（T>T_0\）是有限的（阶\（T^d\））；这使得作者可以将几个分析对象与这组测地线联系起来，这些对象的行为由凸体的几何形状决定。例如，作者介绍了广义的Epstein zeta函数\[\zeta_\beta（K_1，K_2，s）=\sum_{\gamma\in\mathcal{P}（P）_{K_1，K_2，T_0}}\压裂{e^{i\int_\gamma\beta}}{ell（\gamma）^s}\；，\]其中，\（\beta\）是\（\mathbb{T}^d\）上的闭实值1形式。当\（\Sigma_1\）和\（\Sigma_2\）是点时，此函数减少到乘数因子，成为由P.爱泼斯坦[数学年鉴56115-644（1903年；JFM 34.0461.02号)]. 作者证明：（i） 如果\（\beta\）的上同调类\（[\beta]\）不属于\（H^1（\mathbb｛T｝^d，\mathbb｛Z｝）\），则\（s\mapsto\zeta_\beta（K_1，K_2，s）\）全纯地扩展到\（\mathbb｛C｝\）；（ii）否则，\（s\mapsto\zeta_\beta（K_1，K_2，s）\）扩展到\（\mathbb{C}\），极点都是简单的，in \（\{1，\ldots，d\}\）。此外，残差可以显式计算；特别地，当（β=0）时，它们可以用凸体的内禀体积来表示。类似地，作者定义了广义庞加莱级数\[Z_β（K_1，K_2，s）=sum_γ{P}（P）_{K_1，K_2，T_0}}\exp\left（i\int_\gamma\beta-s\ell（\gamma）\right）\；，\]它在\（\{\operatorname{Re}（s）>0\}\）上是全纯的。结果表明，（s\mapsto Z_\beta（K_1，K_2，s）连续地延伸到点（\{pmi\|\xi-[\beta]\|\mid\xi\in\mathbb{Z}^d\}）外的虚轴；此外，作者能够精确地描述（Z\beta（K1，K2，s））在奇点处的行为。广义Poincaré级数的虚轴扩张与傅里叶变换严格相关{T}（T）_计数测度的{\β，K_1，K_2}\）\[T_{β，K_1，K_2}（T）=sum_{γ{P}（P）_{K_1，K_2，T_0}}e^{i\int_\gamma\beta}\delta\bigl（T-\ell（\gamma）\bigr）\；。\]作者证明了\（\widehat的奇异支持{T}（T）_{β，K_1，K_2}）包含在磁性拉普拉斯谱（Delta{-[\beta]}=（\partial_x-i[\beta]）^2）中，它们明确地描述了奇点。所有这些结果（以及许多其他结果）都是通过对单位切线丛（S\mathbb{T}^d={（x，θ。更准确地说，作者将对前面公式中出现的和的研究简化为对形式积分的详细研究\[\hat\chi（-iV）=\int_{\mathbb{R}}\chi（t）e^{-tV*}|dt|，\]其中\（\chi\）是一个足够好的函数（例如\（\chi（t）=t^｛-s｝\）或\（e^｛-ts｝\）），\（e^ tV\）是测地线流。研究是在合适的各向异性Sobolev分布空间中进行的，该空间使用调和分析工具定义，它依赖于对拉回算子（e^{-tV*}）的渐近展开式（t~+infty）的非常精确的描述。最后，应该提到的是，在这篇非常有趣的论文中进行的分析实际上是针对\（mathbb{T}^d）上的任何平移不变Finsler结构进行的，而不仅仅是针对标准欧几里德结构。审核人：马可·阿巴特（比萨） MSC公司： 53元22角 整体微分几何中的测地学 53个60 Finsler空间的整体微分几何和推广（面积度量） 52A20型 维的凸集（包括凸超曲面） 58J40型 流形上的伪微分算子和傅里叶积分算子 58J60型 PDE与特殊流形结构（黎曼、芬斯勒等）的关系 11E45型 解析理论（Epstein zeta函数；与自守形式和函数的关系） 关键词：圆环体;芬斯勒指标;正交测量学;爱泼斯坦-泽塔函数;磁性拉普拉斯算子 引文：JFM 34.0461.02号 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{N.V.Dang}等人，坎布。数学杂志。11，编号41917-1043（2023；Zbl 07745273） 全文： DOI程序 arXiv公司