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阿特·拉斯·杜比卡斯;沙敏

计算具有整数系数的可分解多项式。 （英语） Zbl 1516.11038号

莫纳什。数学。 200，编号229-253（2023）.
如果在（{mathbb{Z}}[X]\）中存在两个非线性多项式\（g\）和\（h\），使得\（f=g\circ-h\），则称多项式\（f\ in{mathbb{Z}{[X]\\）可分解。如果\（f（0）=0\），则称为origin-preserving。设\（n \ge2）和\（H \ge2 \）是两个正整数。用（D_n（H））表示度为（n）且通常高度最多为（H）的可分解一元原保多项式（f）的集合。作者修正了学位。第一个结果是，如果\（ell）表示一个复合数的最小素因子\（n \ge6），那么\（sharp D_n（H）\asymp_n H^{frac n\ell-1}）。当（n）是偶数时，即当（ell=2）：对于（n=4），（sharp D_4（H）=2H\log H+O（H）），对于（n=6），（夏普D_6（H）=kappa_6 H^2+O（H^{frac3 2}）），以及对于（n8）偶数，给出了显式渐近公式H^{{\frac n 2}-2}），其中\（\kappa_n>0\），\（\kappa_6=8\zeta（3）-\frac 5 8\）。
证据取决于对以下集合的更详细研究。对于具有适当除数（d2）的复合整数，设（d_{n，d}（H））是多项式的集合，使得（f=g\circ H\）是某些具有度（d\）和度（n/d\）的monic原始多项式（g，H\ in{mathbb{Z}}[X]\）的多项式的集合。作者给出了当（H to infty）时（sharp D_{n，D}（H））的渐近估计。
进一步估计了具有正前导系数、内容（1）、次数（n）和高度（H）的可分解原保多项式集合（D_n^*（H））的元素个数。
在这些估计中，主要贡献来自可分解为（=gf\circ h）形式的多项式集，其中（g）和（h）是不可分解的monic原点，具有度（n/\ell）和度（\ell。
审核人：米歇尔·沃尔德施米特（巴黎）

MSC公司：

11二氧化碳 数论中的多项式
2006年11月 PV-数和推广；其他特殊代数数；马勒测量
2005年12月 实域和复域中的多项式：因式分解

关键词：

可分解多项式;高度;度;渐近公式
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{A.Dubickas}和\textit{M.Sha}，莫纳什。数学。200，编号2，229--253（2023；Zbl 1516.11038）
全文： 内政部 arXiv公司

参考文献：

[1] Akkerman，Y.：随机多项式组成的Galois群。Technion以色列理工学院硕士论文（2021年）。https://www.graduate.technion.ac.il/Theses/Abstracts.asp？Id=32374
[2] 巴顿博士；Zippel，R.，《多项式分解算法》，J.Symb。计算。，1, 159-168 (1985) ·Zbl 2012年5月6日 ·doi:10.1016/S0747-7171（85）80012-2
[3] Bary-Soroker，L.，Koukoulolos，D.，Kozma，G.：随机多项式的不可约性：一般测度。预印本（2020年）。arXiv:2007.14567年·兹比尔1447.11112
[4] 巴里·索罗克，L。；Kozma，G.，有界高度的不可约多项式，杜克数学。J.，169579-598（2020）·兹比尔1447.11112 ·doi:10.1215/0127094-2019-0047
[5] 伯托克，C。；Hajdu，L。；Pethő，A.，关于有界高度多项式的分布，《数论》，179172-184（2017）·Zbl 1405.11030号 ·doi:10.1016/j.jnt.2017.03.013
[6] 巴加瓦，M.：随机整数多项式的伽罗瓦群和范德瓦尔登猜想。预印本（2021年）。arXiv公司：2111.06507
[7] Blankertz，R.，计算多项式所有最小分解的多项式时间算法，ACM Commun。计算。《代数》，48，13-23（2014）·Zbl 1314.12002年 ·doi:10.1145/264428.2644292
[8] 布兰克茨，R。；冯·祖尔·盖森，J。；齐格勒，K.，《化合与度碰撞》，J.Symb。计算。，59, 113-145 (2013) ·Zbl 1332.12003年 ·doi:10.1016/j.jsc.2013.06.001
[9] 博丹，A。；Dèbes，P。；Najib，S.，《不可分解多项式及其谱》，《阿里斯学报》。，139, 79-100 (2009) ·Zbl 1228.12002年 ·doi:10.4064/aa139-1-7
[10] 博丹，A。；Chèze，G。；Dèbes，P.，不可分解多项式的特殊化，马努斯克。数学。，139, 391-403 (2012) ·Zbl 1298.12001年 ·doi:10.1007/s00229-011-0520-3
[11] Breuillard，E。；Varjü，P.，大阶随机多项式的不可约性，数学学报。，223, 195-249 (2019) ·Zbl 1459.11079号 ·doi:10.4310/ACTA.2019.v223.n2.a1
[12] Chow，S。；Dietmann，R.，立方体和四次体的枚举伽罗瓦理论，高级数学。，372 (2020) ·Zbl 1470.11291号 ·doi:10.1016/j.aim.2020.107282
[13] 多雷，F。；Whaples，G.，素数和复合多项式，J.代数，28，88-101（1974）·Zbl 0286.12102号 ·doi:10.1016/0021-8693（74）90023-4
[14] Dubickas，A.，关于具有给定签名的一元整数多项式的个数，Arch。数学。（巴塞尔），110，333-342（2018）·Zbl 1430.11041号 ·doi:10.1007/s00013-017-1133-1
[15] Dubickas，A。；Sha，M.，优势多项式的计数与测试，实验数学。，24, 312-325 (2015) ·Zbl 1409.11021号 ·doi:10.1080/10586458.2014.992080
[16] Dubickas，A。；Sha，M.，计算固定度和有界高度的退化多项式，Monatsh。数学。，177, 517-537 (2015) ·Zbl 1347.11026号 ·doi:10.1007/s00605-014-0680-9
[17] Dubickas，A。；Sha，M.，具有某些规定性质的整数多项式的正密度，《数论》，159，27-44（2016）·Zbl 1352.11031号 ·文件编号：10.1016/j.jnt.2015.07.017
[18] Dubickas，A。；Sha，M.，关于具有乘法相关根的整数多项式的个数，《数学学报》。匈牙利。，154, 402-428 (2018) ·Zbl 1399.11081号 ·doi:10.1007/s10474-018-0788-9
[19] Engstrom，HT，多项式替换，美国数学杂志。，63, 249-255 (1941) ·Zbl 0025.10403号 ·doi:10.307/2371520
[20] Fried，医学博士；麦克雷，RE，《论场链的不变性》，《数学杂志》。，13, 165-171 (1969) ·Zbl 0174.07302号
[21] Giesbrecht，M.W.：关于多项式的函数分解的一些结果。多伦多大学硕士论文（1988年）。arXiv:1004.5433号
[22] Kozen，D。；Landau，S.，《多项式分解算法》，J.Symb。计算。，7, 445-456 (1989) ·Zbl 0691.68030号 ·doi:10.1016/S0747-7171（89）80027-6
[23] Levi，H.，特征为零的任意域中系数的复合多项式，美国数学杂志。，64, 389-400 (1942) ·Zbl 0063.03512号 ·doi:10.2307/2371692
[24] Nymann，JE，《关于（k）正整数相对素数的概率》，《数论》，第4469-473页（1972）·Zbl 0246.10038号 ·doi:10.1016/0022-314X（72）90038-8
[25] Peter，M.，凸体中的格点与边界上的平面点，Monatsh。数学。，135, 37-57 (2002) ·Zbl 1055.11059号 ·doi:10.1007/s006050200004
[26] Ritt，JF，素数和复合多项式，Trans。美国数学。Soc.，23，51-66（1922年）·doi:10.1090/S0002-9947-1922-1501189-9
[27] Schinzel，A.，《关于可约性的多项式》（2000），剑桥：剑桥大学出版社，剑桥·Zbl 0956.12001号 ·doi:10.1017/CBO9780511542916
[28] Tortrat，P.，《多项式的构成》，《大学数学》。，55, 329-353 (1988) ·Zbl 0668.13008号 ·doi:10.4064/cm-55-2-329-353
[29] 范德瓦尔登，BL，Die Seltenheit der reduziblen Gleichungen und Die Gleichunden mit Affekt，Monatsh。数学。，43, 137-147 (1936) ·Zbl 0013.38701号 ·doi:10.1007/BF01707594
[30] von zur Gathern，J.，《多项式的函数分解：温和的情况》，J.Symb。计算。，9, 281-299 (1990) ·Zbl 0716.68053号 ·doi:10.1016/S0747-7171（08）80014-4
[31] von zur Gathern，J.，《多项式的函数分解：野生案例》，J.Symb。计算。，10, 437-452 (1990) ·兹比尔0722.12003 ·doi:10.1016/S0747-7171（08）80054-5
[32] von zur Gathen，J.，可分解多元多项式计数，应用，代数工程。计算，22165-185（2011）·Zbl 1288.68298号 ·doi:10.1007/s00200-011-0141-9
[33] von zur Gathern，J.，可分解的一元野生多项式的下限，J.Symb。计算。，50, 409-430 (2013) ·Zbl 1303.12001号 ·doi:10.1016/j.jsc.2011.01.008
[34] von zur Gathern，J.，Ritt第二定理的范式，有限域Th.App，27，41-71（2014）·Zbl 1292.68175号 ·doi:10.1016/j.ffa.2013.12.004
[35] von zur Gathern，J.，计算可分解的一元多项式，Comb。普罗巴伯。计算。，24, 294-328 (2015) ·Zbl 1371.68335号 ·网址：10.1017/S096354848314000388
[36] 冯·祖尔·盖森，J。；Matera，G.，实和复可分解一元多项式的密度，Q.J.数学。，68, 1227-1246 (2017) ·Zbl 1400.14144号 ·doi:10.1093/qmath/hax019
[37] 冯·祖尔·盖森，J。；吉斯布雷希特，M。；Ziegler，K.，《计算不变子空间和可加多项式的分解》，J.Symb。计算。，105, 214-233 (2021) ·Zbl 1480.12002号 ·doi:10.1016/j.jsc.2020.06.008
[38] Waldschmidt，M.：线性代数群上的丢番图逼近。指数函数在多个变量中的超越性。收录：Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften 326。施普林格，柏林（2000）·Zbl 0944.11024号
[39] Widmer，M.，《关于具有非平凡子域的数域》，《国际数论》，7695-720（2011）·Zbl 1248.11047号 ·doi:10.1142/S179304211004204
[40] Zannier，U.，《任意特征中的Ritt第二定理》，J.Reine Angew。数学。，445, 175-203 (1993) ·Zbl 0786.12001号
[41] Ziegler，K.，Tame分解与碰撞，J.Symb。计算。，75, 244-268 (2016) ·Zbl 1338.11104号 ·doi:10.1016/j.jsc.2015年11月11日至17日
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