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胡伟凡;林德胜;赖明池

椭圆界面问题的不连续捕获浅层神经网络。 （英语） Zbl 07592152号

J.计算。物理学。 469，文章ID 111576，11 p.（2022）.
摘要：本文提出了一种新的不连续捕获浅层神经网络（DCSNN），用于逼近d维分段连续函数和求解椭圆界面问题。当前网络有三个新颖的特征；即，（i）精确捕捉跳跃不连续性，（ii）它是完全浅的，只包含一个隐藏层，（iii）它对于求解偏微分方程是完全无网格的。这里的关键思想是，可以将（d）维分段连续函数扩展为定义在（d+1）维空间中的连续函数，其中增加的坐标变量标记每个子域的片段。然后我们构造一个浅层神经网络来表示这个新函数。由于只使用了一个隐藏层，因此训练参数的数量（权重和偏差）与隐藏层中使用的维数和神经元数量成线性关系。对于求解椭圆界面问题，通过最小化均方误差损失来训练网络，均方误差损耗由控制方程的残差、边界条件和界面跳跃条件组成。我们进行了一系列数值测试来证明当前网络的准确性。我们的DCSNN模型是有效的，因为只需要训练适量的参数（在所有数值示例中使用数百个参数），结果表明精度很高。与传统的基于网格的浸入式界面法（IIM）所得结果相比，我们的网络模型显示出比IIM更好的精度。最后，我们通过解决一个六维问题来证明当前网络在高维应用中的能力。

引用于9文件

MSC公司：

68泰克 人工智能
65牛顿 偏微分方程边值问题的数值方法
35公里xx 抛物方程和抛物系统

关键词：

浅层神经网络;深度学习;不连续性捕获;椭圆界面问题;高维PDE

软件：

L-BFGS公司;Matlab公司;DiffSharp（差异锐化）;亚当;DGM公司;L-BFGS-B型;LBFGS-B型;github
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{W.-F.Hu}等人，J.Compute。物理学。469，文章ID 111576，11 p.（2022；Zbl 07592152）
全文： DOI程序 arXiv公司

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