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R·M·考西。

Lipschitz亚型。 （英语） Zbl 1478.46018号

事务处理。美国数学。Soc公司。 374，第2期，1197-1227（2021）。
1976年莫里和皮西耶的里程碑式成果[B.莫雷和G.皮西耶，双头螺栓。数学。58, 45–90 (1976;兹伯利0344.47014)]将包含（ell_1^k）的几乎等距线性副本的性质与Rademacher型的Banach空间概念联系起来。注意，根据三角形不等式，每个Banach空间都有Rademacher类型\（1）。
{类型的Maurey-Pisier定理：}一个Banach空间（（X，\|\cdot\|_X）具有平凡的Rademacher类型（即Rademacher-type（1）且没有更好的）当且仅当\（ell_1\）在\（X）中是有限可表示的，即对于每个\（varepsilon>0）和每个\（k\ge1），\（ell_1^k）允许同构嵌入到\（XBanach-Mazur变形最多为（1+varepsilon）。
类型的Maurey-Pisier定理的证明依赖于两个现象：
1
Rademacher型常数的次可乘性意味着空间具有非平凡的Rademacher-型（因此不能包含同构副本的\（ell_1^k））或Rademacher-型不等式已饱和。
2
Rademacher型不等式的饱和意味着（ell_1^k）的线性副本的几乎等距包含。
类型的Maurey-Pisier定理的运算符版本由以下公式获得B.博扎米【Séminaire d’Analyse fonctionnelle（编辑“Maurey-Schwartz”），1975-1976年，第六至第八号实验，29页（1976年；Zbl 0344.46050号),http://www.numdam.org/item/SAF_1975-1976___A6_0/]. 操作符设置中出现的一个主要困难是可以为操作符定义的相关类型常量的次乘法性丢失。
1986年，布尔盖因、米尔曼和沃尔夫森[J.布尔加因等，Trans。美国数学。Soc.294295-317（1986年；Zbl 0617.46024号)]引入了Enflo型的变体（Rademacher型的非线性版本），现在称为BMW型，并展示了Maurey-Pisier型定理的以下非线性版本。回想一下，映射（f:（X，d_X）到（Y，d_Y）的Lipschitz常数是（mathrm{Lip}（f）=sup_{X\neqy\inX}\frac{d_Y（f（X），f（Y））}{d_X（X，Y）}，内射映射的变形是\）。（X\）的\（Y\）失真是参数\（c_Y（X）=\inf\{\mathrm{dist}（f）\mid f:X\ to Y\text{内射}\}\）。
BMW型定理：度量空间（（X，d_X）具有平凡的BMW型当且仅当对于每一个（varepsilon>0）和每一个到\（X\）。
在非线性和空间环境中，相关类型常数的次乘法性通常不是问题，然而，表明非线性类型不等式的饱和意味着汉明立方体的几乎等距包含更具技术性和难度。
本文证明了“Maurey-Pisier类型定理”的非线性设置中的非线性映射版本（见下面的主要定理）。在这方面，作者同时面临着上述两种困难。在本文的第3-6节中，作者结合了一些技术性的论据（特别是受Eskin-Fisher-Whyte粗分化技术启发的论据），表明可以显著克服这些困难。前两部分是介绍性的，更详细地解释了上面提到的两个困难。
现在，我们描述正确陈述论文主要结果所需的概念。设\（X，d_X）\），\（Y，d_Y）\）为度量空间。给定\（lambda>0\），\（\lambda\）-Lipschitz映射的集合\（\Phi\）从\（X\）映射到\（Y\）粗略因素汉明立方体序列，如果存在常数（δ，D>0），那么对于所有（k\ge1），都存在（varphi_k\in\Phi\）和（f_k:H_k\toX\）以及比例因子（s_1，s_2>0），\[\frac{1}{k}\ frac{s_1}{D}D_H（x，y）\le D_x（f_k（x），f_k{k} s_1\cdot D\cdot D_H（x，y），\tag｛1｝\]\[\frac{1}{k}\ frac{s_2}{D}D_H（x，y）\le D_y（\varphi_{k}\circ f_k（x），\varphi_{k}\scirc f _k（y））\le \frac}{k} s_2\cdot D\cdot D_H（x，y），标记{2}\]和\[\delta\le\frac{s_2}{s_1}\le\lambda D^2.\tag{3}\]注意，（3）中最右边的不等式自动从（1）、（2）开始，并且（Phi）中的映射都是（lambda）-Lipschitz。
集合\（\Phi\）因素如果存在一个常数（δ>0），使得对于所有（D>0）和所有（k\ge1），存在（varphi_k\in\Phi\）和（f_k:H_k\toX\）以及缩放因子（s_1，s_2>0）（1）、（2）和（3）保持不变，则汉明立方体。
从定义中可以清楚地看出，当（Phi）粗略地影响汉明立方体时\[\max\Bigl\{\sup_{k\in\mathbb{N}}c_X（H_k），\sup_{k\ in\mathbb{N{}c_Y（H_k）\Bigr\}<\infty。\]
给定从X到Y的（lambda）-Lipschitz映射族（Phi），作者引入了以下与Hamming立方体几何有关的“非线性子类型常数”。
对于\（k\in\mathbb{N}\），让\（a_k（\Phi）\）是那些\（a>0\）的下确界，这样对于每个\（\varphi\in\Phi\）和\（f:H_k\ to X\），\[ \H_k}d_Y中的裂缝{1}{2^k}\sum_{x\（\varphi\circ f（x），\varphi\ circ f（-x））\le a\cdot k\cdot\mathrm{Lip}（f）。\] 数值常数（a_k（\Phi））是Beauzamy[loc.cit.]为线性算子引入的数值常数的非线性类似物。
对于\（p\in（1，\infty）\）和\（k\in\mathbb{N}\），设\ H_k}d_X（f（X），\partial_if（X））^p中的sum_{i=1}^k\sum_{X\]其中=f（x_1，\点，x{i-1}，-x_i，x{i+1}，\点子，x_k）\）。
数值常数\（b_{p，k}（\Phi）\）是Bourgain、Milman和Wolfson[loc.cit.]引入的空间数值常数映射的推广（也是Heinrich引入的算子数值常数的非线性类似物）。
下面的定理是本文的主要结果。
主要定理：给定\（lambda>0）和\（lampda\）-Lipschitz映射的集合\（Phi），以下断言是等价的：
（i）
\（Phi）将汉明立方体因子化。
（ii）
\（Phi）粗略地计算汉明立方体。
（iii）
\（\limsup_{k\in\mathbb{N}}a_k（\Phi）>0\）。
（iv）
对于每个（p\in（1，\infty）\），\（limsup_{k\in\mathbb{N}}b_{p，k}（\Phi）>0\）。
（v）
对于某些\（p\in（1，\infty）\），\（limsup_{k\in\mathbb{N}}b_{p，k}（\Phi）>0\）。

逻辑链（（1）暗示（2）暗示（3）暗示（4）暗示（5）中的暗示要么微不足道，要么直截了当，困难在于显示（5）暗示（1）。
审核人：Florent P.Baudier（大学站）

MSC公司：

46B80型 Banach空间的非线性分类；非线性商
46T20型 非线性泛函分析中的连续可微映射
47小时99 非线性算子及其性质
46B85号 离散度量空间在Banach空间中的嵌入；拓扑与计算机科学的应用
47J99型 涉及非线性算子的方程和不等式

关键词：

Rademacher类型;汉明立方体;亚型

引文：

Zbl 0344.47014号;兹比尔0617.46024;Zbl 0344.46050号
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{R.M.Causey}，翻译。美国数学。Soc.374，No.2，1197--1227（2021；Zbl 1478.46018）
全文： 内政部 arXiv公司

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