×
卡宾斯基，马西耶·J。;伊曼纽尔·弗劳兰廷;J·D·米雷斯·詹姆斯。

常微分方程二维吸引不变环的计算机辅助证明。 （英语） Zbl 1459.37079号

离散连续。动态。系统。 40，第12号，6681-6707（2020）.
本文主要研究常微分方程三维耗散系统中吸引不变环面的计算机辅助证明方法。这些对象必然具有较低的正则性-（C^{k}）有时带有（0leqk<1）-并且计算机辅助的存在性证明需要不同的策略。
作者提供了动力学和验证数值的基本概念和定义。在本工作中，两种常见的机制是具有吸引周期轨道和具有复共轭Floquet乘子的周期轨道系统的周期摄动和准周期摄动。后者导致稳定性损失，从而在庞加莱截面中触发Neimark-Sacker分岔。这两种情况都得到了考虑。它们提供了一种确保Lipschitz不变曲线存在的方法，并给出了确保（C^{k}）光滑性的条件。此外，作者解释了平面映射同宿/异宿轨道存在性的计算机辅助验证方法。他们发展了证明吸引不动点存在和获得吸引盆地大小下限的技术。进一步证明了从鞍点到吸引子的异宿连接的存在性。最后，他们证明了常微分方程不变复曲面的存在性。其主要思想是通过微分方程流从Poincaré截面传播一个不变圆。
作者在两个示例上实现了他们的方法。第一个例子是平面向量场的周期扰动，其中未扰动系统具有吸引周期轨道。他们证明了具有旋转动力学的（C^{k}）不变环面的存在性。为此，作者采用了一个周期性强制范德波尔方程：\（x^{prime\prime}-v（1-x^{2}）x^{prime}+x-\epsilon\cos（t）=0\），其中，在施加强迫后，非受迫系统中的自然吸引周期轨道给出吸引不变环面。
第二个例子是一个自治向量场，在Neimark-Sacker分岔之后，共振不变量圆环自然出现。作者选择了以下带有吸引共振圆环的自治微分方程：\[F（x，y，z）=\bigg（（z-\beta）x-\delta y\quad\delta x+（z-\ beta）y\quad\gamma+\alpha z-\frac{z^{3}}{3}-（x^{2}+y^{2{）（1+\epsilonz）+\zetazx^{3}\bigg）^{T}。\]证明了具有复共轭乘子的不变环面上存在吸引周期轨道。因此，环面仅为类\（C^{0}\）。
审核人：穆罕默德·萨吉德（Buraidah）

引用于5文件

MSC公司：

37米22 动力系统吸引子的计算方法
37米21 动力系统不变流形的计算方法
37米20 动力系统分岔问题的计算方法
37立方厘米 流和半流诱导的动力学
34立方厘米 常微分方程的不变流形
37G35型 吸引子及其分支的动力学方面
65页20 数值混沌
65G20个 具有自动结果验证的算法
68伏05 用尽型证明的计算机辅助证明

关键词：

吸引不变环;计算机辅助证明;常微分方程动力学

软件：

牛仔竞技
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{M.J.Capiánski}等人，离散Contin。动态。系统。40，编号126681-6707（2020年；兹bl 1459.37079）
全文： DOI程序 arXiv公司

参考文献：

[1] G.Alefeld，非线性方程组的包含方法——区间牛顿法及其修正验证计算主题，螺柱计算。数学。，5，北荷兰，阿姆斯特丹，1994年，7-26·Zbl 0822.65029号
[2] G.阿里奥利；H.Koch，FitzHugh-Nagumo方程行波脉冲解的存在性和稳定性，非线性分析。，113, 51-70 (2015) ·Zbl 1304.35181号 ·doi:10.1016/j.na.2014.09.023
[3] C.贝森；J.古根海默；S.Kim；R.S.MacKay，《三耦合振子：锁模、全局分岔和环形混沌》，物理学。D、 49387-475（1991年）·Zbl 0734.58036号 ·doi:10.1016/0167-2789（91）90155-3
[4] T.Bakri；Y.A.Kuznetsov；F.Verhulst，机械系统中的圆环分岔，J.Dynam。微分方程，27，371-403（2015）·Zbl 1382.70023号 ·doi:10.1007/s10884-013-9339-9
[5] T.Bakri；F.Verhulst，《准周期动力学的分歧：圆环破裂》，Z.Angew。数学。物理。，65, 1053-1076 (2014) ·Zbl 1315.34046号 ·doi:10.1007/s00033-013-0363-8
[6] J.B.范登伯格；J.-P.Lessard，动力学中的严格数值，Notices Amer。数学。Soc.，621057-1061（2015）·Zbl 1338.68301号 ·doi:10.1090/noti1276
[7] H.W.Broer、H.M.Osinga和G.Vegter，关于正双曲不变流形的计算非线性动力系统与混沌，程序。非线性微分方程应用。，19，Birkhäuser，巴塞尔，1996423-447·兹比尔0842.58066
[8] H.W.Broer；H.M.Osinga；G.Vegter，计算正常双曲不变流形的算法，Z.Angew。数学。物理。，48, 480-524 (1997) ·兹比尔0872.34030 ·doi:10.1007/s000330050044
[9] M.Canadell；À. Haro，《准周期正双曲不变环面的计算：算法、数值探索和击穿机制》，《非线性科学杂志》。，27, 1829-1868 (2017) ·Zbl 1457.37080号 ·数字对象标识代码：10.1007/s00332-017-9388-z
[10] M.Canadell；À. Haro，准周期正双曲不变量环面的计算：严格结果，非线性科学杂志。，27, 1869-1904 (2017) ·Zbl 1380.37061号 ·doi:10.1007/s00332-017-9389-y
[11] M.Canadell和阿里。Haro，计算拟周期可约正双曲不变环面的参数化方法，in微分方程及其应用进展，SEMA SIMAI Springer系列。，4，施普林格，查姆，2014，85-94·Zbl 1360.37151号
[12] M.J.Capiánski，计算机辅助证明在（L_2）处Lyapunov轨道的存在性，以及木星-太阳PCR3BP中不变流形的横向交点，SIAM J.Appl。动态。系统。，11, 1723-1753 (2012) ·Zbl 1264.37008号 ·数字对象标识代码：10.1137/10847366
[13] M.J.Capiánski和H.Kubica，无速率条件下正常双曲不变流形的持久性，预印本，arXiv:1804.05580。
[14] M.J.卡宾斯基；P.Zgliczyñski，拓扑正规双曲不变流形的锥条件和覆盖关系，离散Contin。动态。系统。，30, 641-670 (2011) ·Zbl 1221.37054号 ·doi:10.3934/dcds.2011.30.641
[15] M.J.卡宾斯基；P.Zgliczyñski，正双曲不变流形的几何证明，《微分方程》，2596215-6286（2015）·Zbl 1352.37077号 ·doi:10.1016/j.jde.2015.07.020
[16] A.切莱蒂；L.Chierchia，计算机辅助KAM理论的严格估计，J.Math。物理。，28, 2078-2086 (1987) ·Zbl 0651.58011号 ·doi:10.1063/1.527418
[17] A.Celletti和L.Chierchia，哈密顿力学中出现的小除数问题的计算机辅助方法分析中的计算机辅助证明IMA卷数学。申请。，28，施普林格，纽约，1991年，43-51·Zbl 0820.70004号
[18] M.Cercek、T.Gyergyek和M.Stanojevic，《磁化等离子体中正偏压电极前不稳定性的非线性动力学》，中欧核能，斯洛文尼亚波托罗兹，1996531-538。
[19] 迭次；J.Lorenz；R.D.Russell，不变圆环的数值计算，SIAM J.Sci。统计人员。计算。，12, 607-647 (1991) ·兹比尔0725.65074 ·数字对象标识代码：10.1137/0912033
[20] J.-P.埃克曼；P.Wittwer，Feigenbaum猜想的完整证明，J.Statist。物理。，46, 455-475 (1987) ·Zbl 0683.46052号 ·doi:10.1007/BF01013368
[21] N.Fenichel，流的不变流形的持久性和光滑性，印第安纳大学数学。J.，21，193-226（1971/72）·Zbl 0246.58015号 ·doi:10.1512/iumj.1972.21.21017
[22] J.-Ll.公司。菲格雷斯；À. 哈罗；A.Luque，《KAM理论的严格计算机辅助应用：现代方法》，Found。计算。数学。，17, 1123-1193 (2017) ·Zbl 1383.37047号 ·doi:10.1007/s10208-016-9339-3
[23] J.E.Flaherty和F.C.Hoppenstead，强迫范德波尔振荡器的频率夹带，应用研究。数学。, 58 (1978), 5-15. ·Zbl 0384.34023号
[24] E.Fleurantin和J.D.Mireles-James，共振tori，输运障碍和带有Neimark-Sacker分岔的向量场中的混沌，Commun公司。非线性科学。数字。模拟。, 85 (2020). ·Zbl 1453.34020号
[25] J.Gómez Serrano，PDE中的计算机辅助证明：一项调查，SeMA J.，76459-484（2019）·Zbl 07098970号 ·doi:10.1007/s40324-019-00186-x
[26] J.古根海默；K.霍夫曼；W.Weckesser，《强迫范德波尔方程》。I.慢流及其分岔，SIAM J.Appl。动态。系统。，2, 1-35 (2003) ·Zbl 1088.37504号 ·doi:10.1137/S111111102404738
[27] À. 哈罗；R.de la Llave，计算准周期映射中不变环面及其晶须的参数化方法：严格结果，《微分方程》，228，530-579（2006）·Zbl 1102.37017号 ·doi:10.1016/j.jde.2005.10.005
[28] À. 哈罗；R.de la Llave，计算准周期映射中不变圆环及其晶须的参数化方法：数值算法，离散Contin。动态。系统。序列号。B、 6、1261-1300（2006）·Zbl 1296.37048号 ·doi:10.3934/dcdsb.2006.6.1261
[29] À. 哈罗；R.de la Llave，计算准周期映射中不变环面及其晶须的参数化方法：双曲率分解的探索和机制，SIAM J.Appl。动态。系统。，6, 142-207 (2007) ·Zbl 1210.37062号 ·doi:10.1137/050637327
[30] À. 哈罗；A.Luque，部分可积系统最优估计的后验KAM理论，《微分方程》，2661605-1674（2019）·Zbl 1480.37071号 ·doi:10.1016/j.jde.2018.08.003
[31] M.W.Hirsch和C.C.Pugh，稳定流形和双曲集，in全局分析（Proc.Sympos.Pure Math。阿默尔。数学。Soc.，普罗维登斯，RI，1970133-163·Zbl 0215.53001号
[32] M.W.Hirsch；C.C.Pugh；M.Shub，不变流形，Bull。阿米尔。数学。Soc.，76，1015-1019（1970）·兹比尔0226.58009 ·网址：10.1090/S0002-9904-1970-12537-X
[33] M.W.Hirsch、C.C.Pugh和M.Shub，不变流形《数学课堂讲稿》，第583页，施普林格-弗拉格出版社，柏林-纽约，1977年·兹比尔0355.58009
[34] K.Kaneko，从圆环到混沌的转变，伴随着对称性破坏的频率锁定。关于耦合逻辑图，Progr。理论。物理。，69, 1427-1442 (1983) ·Zbl 1200.37032号 ·doi:10.1143/PTP.69.1427
[35] S.-H.Kim；R.S.麦凯；J.Guckenheimer，环面映射族的共振区域，非线性，2391-404（1989）·Zbl 0678.58034号 ·doi:10.1088/0951-7715/2/3/01
[36] B.克劳斯科普夫；H.M.Osinga；E.J.Doedel；M.E.Henderson；J.古根海默；A.弗拉迪米尔斯基；M.Dellnitz；O.Junge，向量场（非）稳定流形计算方法综述，国际。J.比福尔。混沌应用。科学。工程，15763-791（2005）·Zbl 1086.34002号 ·doi:10.1142/S0218127405012533
[37] O.E.Lanford，费根鲍姆猜想的计算机辅助证明，布尔。阿米尔。数学。Soc.（N.S.），6427-434（1982）·Zbl 0487.58017号 ·doi:10.1090/S0273-0979-1982-15008-X
[38] W.F.Langford，圆环分叉的数值研究，in分岔问题的数值方法，国际。Schriftenreihe数字。数学。，70，Birkhäuser，巴塞尔，1984285-295·Zbl 0572.76052号
[39] J.-P.Lessard；J.D.Mireles James；C.Reinhardt，一阶向量场横向鞍-鞍连接轨道的计算机辅助证明，J.Dynam。微分方程，26，267-313（2014）·兹比尔1351.37107 ·doi:10.1007/s10884-014-9367-0
[40] R.de la Llave，与非共振谱子空间相关的不变流形，J.Statist。物理。，87, 211-249 (1997) ·Zbl 0965.37028号 ·doi:10.1007/BF02181486
[41] 拉韦河流域；D.拉纳，小除数问题的精确策略，公牛。阿米尔。数学。Soc.（N.S.），22，85-90（1990）·Zbl 0739.58060号 ·doi:10.1090/S0273-0979-1990-15848-3
[42] R.de la Llave和D.Rana，K.A.M.边界的准确策略及其实施分析中的计算机辅助证明IMA卷数学。Appl，28岁，施普林格，纽约，1991127-146·Zbl 0747.65039号
[43] J.利布雷；R.马丁内斯；C.Simó，限制三体问题中L_2附近周期轨道Lyapunov族相关不变流形的遍历性，J.微分方程，58，104-156（1985）·Zbl 0594.70013号 ·doi:10.1016/0022-0396（85）90024-5
[44] 松本T；L.O.Chua；R.Tokunaga，《通过圆环分解的混沌》，IEEE Trans。电路与系统，34，240-253（1987）·Zbl 0637.94019号 ·doi:10.1109/TCS.1987.1086135
[45] J.D.Mireles James；K.Mischaikow，解析映射的（非）稳定流形和连接轨道的严格后验计算，SIAM J.Appl。动态。系统。，12, 957-1006 (2013) ·Zbl 1330.37029号 ·数字对象标识码：10.1137/12088224X
[46] J.I.Neĭmark，周期运动依赖于参数的一些情况，Dokl。阿卡德。诺克SSSR，129736-739（1959）·Zbl 0089.29603号
[47] H.M.Osinga，计算全局不变流形：技术和应用，国际数学家大会会议记录，4，Kyung Moon Sa，首尔，2014，1101-1123·Zbl 1373.37061号
[48] B.van der Pol，自由和受迫三极管振动振幅理论，无线电评论, 1 (1920), 701-710,754-762.
[49] B.van der Pol，《频率解复用》，《自然》，120363-364（1927）·数字对象标识代码：10.1038/120363a0
[50] R.J.Sacker，常微分方程周期解的不变曲面和分支1964年，纽约大学博士论文。
[51] C.Simó，\（n\）体问题中不变流形的连接，\（n>3\），in第六届葡萄牙和西班牙数学家会议记录《桑坦德大学评论》，1979年，1257-1261年·Zbl 0938.37511号
[52] O.Sosnovtseva；E.Mosekilde，Torus破坏和商品分销链中的chaos-chaos间歇，国际。J.比福尔。混沌应用。科学。工程，71225-1242（1997）·Zbl 0904.90094号 ·doi:10.1142/S0218127497000996
[53] W.Tucker，Lorenz吸引子存在，C.R.Acad。科学。巴黎。I数学。，328, 1197-1202 (1999) ·Zbl 0935.34050号 ·doi:10.1016/S0764-4442（99）80439-X
[54] W.Tucker，一个严格的常微分方程求解器和Smale的第14个问题，发现。计算。数学。，2, 53-117 (2002) ·Zbl 1047.37012号 ·数字标识代码：10.1007/s002080018
[55] D.Wilczak；P.Zgliczyñski，（C^n）Lohner算法，Scheade Informaticae，20，9-46（2011）
[56] D.Wilczak；S.Serrano；R.Barrio，4D Rössler系统中超混沌和混沌之间的共存和动力学联系：计算机辅助证明，SIAM J.Appl。动态。系统。，15, 356-390 (2016) ·Zbl 1359.37144号 ·数字对象标识代码：10.1137/15M1039201
[57] P.Zgliczynski，（C^1）Lohner算法，发现。计算。数学。，2, 429-465 (2002) ·Zbl 1049.65038号 ·doi:10.1007/s102080010025
[58] P.Zgliczynski，覆盖关系，锥条件和稳定流形定理，微分方程，2461774-1819（2009）·Zbl 1185.37045号 ·doi:10.1016/j.jde.2008.12.019
此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。