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鲁兹贝·哈兹拉特;瓦什，利亚

\具有对合的分次超矩阵代数的（K）-理论分类。 （英语） Zbl 1453.16045号

论坛数学。 31，第2期，419-463（2019）。
本文主要结果的核心可以表述为“如果（Gamma）是一个阿贝尔群，则分次Grothendieck群（K^{mathrm{gr}}_0）完全分类了分次超矩阵代数（*\）-分次代数（a\），使得（1）（a \）的每个非平凡分次分量有一个幺正元素（即元素\（a），这样\（aa^*=a^*a=1））和（2）零成分\（a_0 \）”。也就是说，如果（R\）和（S\）是（A\）上的分次超矩阵代数（*\）-代数，并且（f:K^{mathrm{gr}}_0（R）到K^{mathrm{gr}}_00（S）是压缩的（mathbb{Z}[\Gamma]\）-模同构（即，（f\）保持了具有单半群的（K^{（\mathcal{V}^{\mathrm{gr}}（R）\)将有限生成的分次射影模的分次同构类作为正锥和（f）满足（f（[R]）leq[S]），然后显式地构造了分次代数（*）同构（varphi:R到S），使得（K^{mathrm{gr}}_0（varphi）=f\）。
一个（Gamma）分次环（A）连同对合（*：A到A）被称为一个（Gamma）分级环（*），如果（A_Gamma^*=A_{-\Gamma}\）对每个（Gamma\ in \Gamma\），其中（A_\Gamma^*=A_\Gamma中的A^*\mida^*\）。为了感兴趣的读者，一个（Gamma）-分次（*）-环可以等价地描述为Hopf代数（mathbb{Z}[\Gamma]\）上不一定是酉余模代数，以及余模代数（*：a\到a^{mathrm{op}}\）的同构由\（a\mapsto a\otimes S（\gamma）\）为所有\（a\ in a_\gamma\）和所有\（gamma\ in \gamma\）提供。如果一个（Gamma）-graded（*\）-ring（A\）是可交换的，并且每个齐次元素都有一个乘法逆，那么它就是一个（Gamma）-graded-field。
环是（Gamma）-graded（*\）-field（A\）上的分次超矩阵代数，如果（R\）是分次矩阵-（*\{垫}_{n_1}（A）\oplus\cdots\oplus\mathsf{垫}_{n_k}（A），具有适当的分级），使得包合物（R_nsubsteq R_{n+1}）对于任何（n）都是分级的（*）-同态（不一定是幺正的）。
分次Grothendieck群\（K^｛\mathrm｛gr｝｝｝_0\）被定义为半群\（\mathcal｛V｝^｛\mathrm｛gr｝｝（R）\）的群完备（见[D.奎伦，in：群的上同调与代数\（K\）理论。2007年7月1日至3日，中国杭州，国际暑期学校关于群上同调和代数理论的论文选集。马萨诸塞州萨默维尔：国际出版社；北京：高等教育出版社。413–478 (2010;Zbl 1198.19001号)]用于一般施工）。它既有一个天然的\（\mathbb{Z} _2\)-作用（对于分次（*\）域上的分次超矩阵代数来说，这变得微不足道）和自然（Gamma）作用。有人说，如果（K^{mathrm{gr}}_0）中的任何分次（*\）-代数（R\）和（S\）都是同构的，那么它在分次（*）-代数的类中完全分类（*\{Z} _2])\)-双模同构\（K^{mathrm{gr}}_0（R）\congK^{\mathrm}}_0（S）\）。
我们指出，主要结果中关于（A）的假设与同构是（*）-同构严格相关。通过将群（Gamma）视为平凡和/或忽略对合结构（*），作者在更一般的领域中恢复了一些已知结果（参见4.7到4.11的推论）。
作为最后一个应用，作者证明了如果（E）和（F）是可数的、行有限的、不退出的图，其中每个无限路都以汇或圈结束，如果（K）是一个（2）-真域和（*）-毕达哥拉斯域，那么Leavitt路代数是（L_K（E））和（L_K（F）\)只有当它们与分次代数同构（这是所谓广义强同构猜想的一个实例）时，才与分次环同构（如果有）。
审核人：保罗·萨拉科（布鲁塞尔）

引用于9文件

MSC公司：

16周50 分次环和模（结合环和代数）
16宽10 对合环；Lie、Jordan和其他非结合构造
16周99 具有附加结构的结合环和代数
16S88型 莱维特路代数
16D70型 模、双模和理想的结构和分类（16Gxx除外），结合代数中的直接和分解和对消

关键词：

分级Grothendieck群;分类;分级环;对合环;超矩阵代数;\（K\）理论;莱维特路径代数;同构猜想

引文：

Zbl 1198.19001号
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{R.Hazrat}和\textit{L.Vaš}，论坛数学。31，第2号，419--463（2019；Zbl 1453.16045）
全文： 内政部 arXiv公司

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