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若阿金·罗埃;泽维尔·泽尔斯

曲线的直角性的伽罗瓦下降。 （英语） Zbl 1409.14056号

数学。Res.Lett公司。 25，第5期，1567-1589（2018）.
我们所说的曲线是指域\（k\）上的光滑、投影、几何连接的曲线。用\（\gamma（C）\）表示的\（\）over \（k）的角性被定义为一个整数\（\ gamma\geq 1 \），使得数字\（\ gamma\）变成有理非常数映射\（f:C:rightarrow\mathbb{P}^1 \）的度，该映射在\（k。代数闭包（\bar{k}）（分别是可分离闭包（k^{mathrm{sep}}）上的角性，用（\bar}\gamma}（C）（分别为（gamma（C（k^}\mathrm}sep}）））表示，称为几何角性（分别为可分离角性）。将（mathbb{P}^1）替换为任意亏格零曲线（D\），得到二次曲线的直角性（gamma^{mathrm{con}}（C）\）。一个人显然有[\bar{\gamma}（C）\leq\gamma（C（k^{\mathrm{sep}}））\leq \gamma^{\mathrm{con}}J.Roé和X.Xarles公司【数学研究快报25，第5期，1567-1589（2018；Zbl 07027232号)]研究了不变量\（gamma（C（k^{mathrm{sep}}））、\（gama^{mathrm{con}}（C））和\（gama（C）内所述不等式变为等式的条件。有趣的是，他们的结果概括了已知的现有结果，特别是归因于J.-F.梅斯特[程序数学94，313–334（1991；Zbl 0752.14027号)]证明了具有二次锥角性（gamma^{mathrm{con}}=2）的偶属（g\geq2）曲线必须是一条二次曲线。如果（k（C）的唯一子域（f）同构于（k（mathbb{P}^1）），并且具有（[k（C。通过这些预先假设，作为其主要结果，他们证明：
{定理1}。设（C）是一条具有亏格（g）和可分角性（gamma^{mathrm{sep}}）的曲线。假设（k^{mathrm{sep}}}）上的正方映射是唯一的。然后
(1)
\（\gamma ^｛\mathrm｛con｝｝＝\gamma ^｛\mathrm｛sep｝｝），
(2)
如果曲线（C）有一个奇数度的（k）有理除数，那么（gamma=gamma^{mathrm{con}}=gamma ^{mathr m{sep}}）。
(3)
存在一定程度的（2）扩张（L/k），使得（γ（C_L）=gamma^{mathrm{con}}=gamma^{mathrm{sep}}）。
(4)
如果\（\gamma^{\mathrm{sep}}\equiv g（\mathrm{mod}2）\），则\（\gamma=\gamma ^{\mathrm{sep}}\）。

使用事实（I）和（II）作为
事实一：
如果（k）是代数闭的，并且（C）是一条在（k）上的曲线，该曲线包含一个简单铅笔（g^1_d），并给出一个态射（f:C:右箭头\mathbb{P}^1_k），如果（g>（d-1）^2），则给定的级数是在（C）上唯一的简单铅笔。
事实二：
如果（k）是任意域，（C）是（k）上的亏格（g）曲线，并且（f:C:右箭头D）是射影曲线上的（k）态射，那么如果（f_{k^{sep}}）是简单的，那么（f__{bar{k}}}也是简单的，
它们获得的唯一性结果为
{定理2}。设（C）是一条具有亏格（g）和可分角性（gamma^{mathrm{sep}}）的曲线。如果（k^{mathrm{sep}}）上的角映射简单并且（（gamma^{mathr m{sep}}-1）^2<g），则它是唯一的。
虽然Riemann知道复数域上曲线的{Fact I}，但对于任意代数闭域，这是作者的{定理8}的特例。{事实II}也是它们的{引理10}的一个例子。
Brill-Noether理论为角映射的存在性和唯一性提供了各种证据，但他们的论文中的{定理2}给出了在Brill-Nother理论无效的情况下确定角映射唯一性的有用准则。
作者用两种不同的方法证明了{定理1}，每种方法都具有启发性。第一种依赖于Brauer-Severi变种理论，这自然会导致从（C）到（mathbb{P}^r）的映射的类似结果。特别地，他们得到了他们的｛定理3｝，这是｛定理1｝对从曲线到\（\mathbb｛P｝^2 \）的映射的推广。
他们在{Section 5}中的第二个证明是基于对有理正常卷轴的伽罗瓦血统的研究，因为他们将第二个证据指向{Section 4}，所以他们的寻址似乎存在一个拼写错误。
审核人：阿里·巴杰拉瓦尼（大不里士）

引用于4文件

理学硕士：

14H51型 曲线上的特殊因子（正方形，Brill-Noether理论）
14国道27号 代数几何中的其他非代数闭地场
14H50型 平面和空间曲线

关键词：

曲线;正方性;可分离的

引文：

Zbl 0752.14027号
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{J.Roé}和\textit{X.Xarles}，数学。Res.Lett公司。25，第5号，1567--1589（2018；Zbl 1409.14056）
全文： 内政部 arXiv公司