克里斯托夫·艾斯特勒特纳;格哈德·拉彻;弗里德里希·皮利奇沙姆;苏马亚·萨阿德·埃丁;罗伯特·F·蒂希。 关于Weyl积和均匀分布模1。 （英语） 兹比尔1410.11106 莫纳什。数学。 185，第3号，365-395（2018）. 形式为\（显示样式S_N=\sum_{k=1}^Nf（x_k），\）的和，其中\（f:[0,1]\ to{mathbb R}_0^+\）和\（（x_k）_{k\geq 1}\）是单位间隔\（[0,1）中的序列\)称为Weyl总和。这些和在三角和理论、均匀分布序列、数论等不同的科学分支中发挥着重要作用。本文研究了（N to infty，）的形式为（displaystyle prod_{k=1}^N2\sin（pi x_k））的三角积的渐近行为，其中数字（ω=（x_k，\）进行了研究。主要结果是根据网的星形离散性匹配此类乘积的上下界。使用了两种众所周知的均匀分布序列，即Kronecker序列和van der Corput序列。本文在引言中考虑了Weyl积（displaystyle P_N=\prod_{k=1}^Nf（x_k））。给出了上述积作为缺项三角积的一个特例。讨论了该乘积的上下估计。提醒了星际距离（D^*_N）的概念。同时，这里给出了本文的主要结果。在定理1中，给出了乘积（displaystyle P_N=prod_{k=1}^N2\sin（pix_k））的一般估计，它是由网（（x_k。Hlawka也得到了一个弱形式的类似结果。引入了数量（显示样式P_N^{（d_N）}=\sup_{\omega}\prod_{k=1}^N2\sin（\pi-x_k））。在定理2中，对于所有（N），获得了（P_N^{（d_N）}）的上界，对于所有足够大的（N）则获得了（PN^{。考虑了当（（x_n）{n\geq1}）是无理数为（alpha）的Kronecker序列时的特殊情况。在定理3中，给出了乘积\（displaystyle\prod_{n=1}^{q-1}|2\sin（\pin\alpha）|，\）的上界，其中\（q）是\（\alpha，\）最好的近似分母。在定理4中，无理（α）是由一个连续分式展开表示的，（N）表示它的Ostrowski展开。得到了乘积\（\ displaystyle\prod_{n=1}^n|2\sin（\ pi n\ alpha）|\的上界，即\（\ alpha \）的最佳近似分母。实数（alpha）是类型（t\geq 1）的概念得到了提醒。在推论2中，\（\alpha\）是类型\（t>1）。获得乘积\（\displaystyle\prod_{n=1}^n|2\sin（\pi n\alpha）|\的上界。未来，研究了乘积（displaystyle\prod\n=1}^n|2\sin（\pix_n）|，），其中（（x_n，{n\geq1}）是van der Corput序列。与Kronecker序列相比，所得结果非常精确。在定理5中，\（（x_n）_｛n\geq 1｝\）是基为2的范德科普特序列。结果表明，[displaystyle\limsup{N\to\infty}\frac{1}{N^2}\prod_{N=1}^N|2\sin（\pix_N）|=frac{1'{2\pi}.]在定理6中，（（X_k）{k\geq1}）是在（[0,1）上均匀分布的i.i.d.随机变量序列\[P_n\leq\exp\left（\ left（\frac{\pi}{\sqrt{6}}+\varepsilon\right）\sqrt{n\log\log n}\right\]几乎可以肯定是足够大的\（N\），并且下限\[P_n\geq\exp\left（\ left（\frac{\pi}{\sqrt{6}}-\varepsilon\right）\sqrt{n\log\log n}\right\]对于无限多（N）为true在定理7中，（alpha）是一个无理数，具有有界连分式系数，（（xi_n）{n\geq1}=（xi_n（omega））{n\gerq1}）是在某个概率空间（（omega，{mathcal a}，{mathbf P}）上定义的均值为（displaystyle\frac{1}{2}，）的i.i.d.（{0,1}）值随机变量序列，\)其中索引是一个随机序列（（nk）{n\geq1}=（nk（omega））{k\geq1{）是所有数字的序列（{n\geq 1:xin=1}，）按递增顺序排序。考虑乘积\（\displaystyle P_N=\prod_｛k=1｝^N 2\sin（\pi N_k\alpha）\）。结果表明，对于所有（varepsilon>0）（{mathbf P}）-几乎可以确定上界\[P_n\leq\exp\left（\ left（\frac{\pi}{\sqrt{12}}+\varepsilon\right）\sqrt{n\log\log n}\right\]对于所有足够大的\（N，\）和下限为真\[P_n\geq\exp\left（\left（\frac｛\pi｝｛\sqrt｛12｝｝-\varepsilon\right）\sqrt｛n\log\log n｝\right）\]对无限多（N）为真在本文的第二节中，证明了定理1和定理2。第三节证明了Kronecker序列的结果。第四节证明了van der Corput序列的结果。在第5节中，证明了概率结果。审核人：瓦西尔·格罗兹达诺夫（布拉戈耶夫格勒） 引用于8文件 MSC公司： 11公里06 分布模的一般理论（1） 11公里45 伪随机数；蒙特卡罗方法 11公里36 井分布序列和其他变化 11公里60 概率数论中的丢番图逼近 11J70型 连分式和推广 11J71型 分配模1 关键词：三角积;星光清晰度;Kronenecker序列;范德科尔普特序列;概率序列;上限和下限 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{C.Aistleitner}等人，Monatsh。数学。185，第3号，365-395（2018；Zbl 1410.11106） 全文： 内政部 arXiv公司 OA许可证 参考文献： [1] Aistleitner，Ch.，Hofer，R.，Larcher，G.：关于邪恶的Kronecker序列和缺项三角乘积。《傅里叶年鉴》。67(2), 637-687. 可在http://arxiv.org/abs/1502.06738 (2017) ·Zbl 1437.11042号 [2] Awata，H.，Hirano，S.，Shigemori，M.：ABJ理论的配分函数。掠夺。西奥。实验物理。2013(5) (2013) ·Zbl 07406666号 [3] Baxa，C.，Schoissengeier，J.：使用\[（n\alpha）\]（nα）-序列计算反常积分。Monatsheft fur Mathematik莫纳采夫毛皮马塞马克135、265-277（2002）·Zbl 1009.11054号 ·doi:10.1007/s006050200022 [4] Berkes，I.：小间隙三角级数的中心极限定理。Z.Wahrsch公司。版本。Gebiete 47（2），157-161（1979）·Zbl 0499.60019号 ·doi:10.1007/BF000535280 [5] 波尔，P.：《säkularen Störungen vorkommendes问题理论》。J.Reine Angew。数学。135, 189-283 (1909) [6] Bobkov，S.G.，Götze，F.：随机和的集中不等式和极限定理。普罗巴伯。理论相关领域137（1-2），49-81（2007）·Zbl 1111.60014号 [7] Buslaev，V.I.：Rogers-Ramanujan连分式的收敛性。斯博尼克数学194（3），833-856（2003）·Zbl 1067.30007号 ·doi:10.1070/SM2003v194n06ABEH000741 [8] Dick，J.，Pillichshammer，F.：数字网络和序列。差分理论与拟蒙特卡罗积分。剑桥大学出版社，剑桥（2010）·Zbl 1282.65012号 ·doi:10.1017/CBO9780511761188 [9] Driver，K.A.，Lubinsky，D.S.，Petruska，G.，Sarnak，P.：<InlineEquation ID=“IEq422”><EquationSource Format=“TEX”>\[left\rbrace n\beta\right\lbrace\]<Equation Source Format=“MATHML”><math-xmlns:xlink=“http://www.w3.org/1999/xlink“><mfenced close=”{“open=”}“separators=”>nβ，奇异被积函数的求积，以及奇异的基本超几何级数。印度。数学。（N.S.）2（4），469-481（1991）·Zbl 0763.11033号 ·doi:10.1016/0019-3577（91）90032-3 [10] Drmota，M.，Tichy，R.F.：序列、差异和应用。收录于：数学课堂讲稿，第1651卷。施普林格，柏林（1997）·Zbl 0877.11043号 [11] Faure，H.，Kritzer，P.，Pillichshammer，F.：从范德科尔普特到拟蒙特卡罗规则序列的现代构造。印度。数学。（N.S.）26（5），760-822（2015）·Zbl 1335.11063号 ·doi:10.1016/j.indag.2015.09.001 [12] Feller，W.：《概率论及其应用导论》，第二卷。威利，纽约（1971）·Zbl 0219.60003号 [13] Fukuyama，K.：关于缺项三角乘积。概率与数论，金泽，2005年。高级纯数学研究生。49、79-90，数学。日本兴业银行，东京（2007年）·Zbl 1196.60048号 [14] Gradshteyn，I.S.，Ryzhik，I.M.：积分、系列和产品表，第7版。剑桥大学学术出版社（2007）·兹比尔1208.65001 [15] Grebogi，C.，Ott，E.，Pelikan，S.，Yorke，J.A.：非混沌的奇怪吸引子。物理学。D 13（1-2），261-268（1984）·Zbl 0588.58036号 ·doi:10.1016/0167-2789（84）90282-3 [16] 哈克曼，D.，库兹涅佐夫，A.：关于稳定过程上确界密度级数表示的注记。电子。Commun公司。普罗巴伯。18(42), 1-5 (2013) ·兹比尔1323.60065 [17] Hellekalek，P.，Larcher，G.：关于余数有界的函数。《傅里叶年鉴》39、17-26（1989）·Zbl 0674.28007号 ·doi:10.5802/aif.1156 [18] Hlawka，E.：插值分析人员Funktitionen Auf Dem Einheitskreis。收录于：Turán P.（eds）数字理论与分析。马萨诸塞州波士顿斯普林格，第97-118页（1969年）·Zbl 0212.07301号 [19] Hlawka，E.：U ber ein Produkt，das in der Interpolation analysis ischer Funktitonen im Einheitskreis auftritt（附英文摘要）。摘自：Zahlentheoretische分析数学课堂笔记，第1114卷，第19-25页。柏林施普林格（1985） [20] Hlawka，E.，Binder，C.：在Jahren 1909年至1916年期间，《Gleichverteilung理论研究》。架构（architecture）。历史。精确科学。36(3), 197-249 (1986) ·Zbl 0606.10001号 ·doi:10.1007/BF00412261 [21] Hubalek，F.，Kuznetsov，A.：稳定过程上确界密度的收敛级数表示。电子。Commun公司。普罗巴伯。16, 84-95 (2011) ·Zbl 1231.60040号 ·doi:10.1214/ECP.v16-1601 [22] Kac，M.：关于\[sum f（2^k t）\]∑f（2kt）型和的值的分布。安。数学。(2) 47, 33-49 (1946) ·Zbl 0063.03091号 ·doi:10.2307/1969033 [23] Kahane，J.-P.：函数的一些随机级数。《剑桥高等数学研究》，第5卷。剑桥大学出版社，剑桥（1985）·Zbl 0571.60002号 [24] Knill，O.：余切函数的Birkhoff和的自相似性。arXiv:1206.5458[math.DS]（2012） [25] Knill，O.，Lesieutre，J.：具有概周期系数的Dirichlet级数的解析延拓。复杂分析。操作。理论6（1），237-255（2012）·Zbl 1291.30018号 ·doi:10.1007/s11785-010-0064-7 [26] Knill，O.，Tangerman，F.：Birkhoff黄金旋转的自我相似性和增长总和。非线性24（11），3115-3127（2011）·兹比尔1254.11074 ·doi:10.1088/0951-7715/24/11/006 [27] 科尔莫戈洛夫：这是一个对数。数学。附录101（1），126-135（1929）·doi:10.1007/BF014554828 [28] Kuipers，L.，Niederreiter，H.：序列的均匀分布。威利，纽约（1974）·Zbl 0281.10001号 [29] Kuznetsov，S.，Pikovsky，A.，Feudel，U.：奇异非混沌吸引子的诞生：重整化群分析。物理学。修订版F 51（3），R1629-R1632（1995） [30] Losert，V.：Gleichverteilte Folgen und Folgen.，如果Teilfolgen gleichverteilt sind快死。Zahlentheoretische分析。摘自：数学课堂讲稿，第1114卷，第84-97页。施普林格，柏林（1985）·Zbl 0558.10044号 [31] Losert，V.，Tichy，R.F.：关于子序列的均匀分布。普罗巴伯。理论相关性。字段72（4），517-528（1986）·Zbl 0574.10050号 ·doi:10.1007/BF00344719 [32] Lubinsky，D.S.：单位圆上\[q\]q的\[（q；q）_n\]（q；q）n的大小。《数论》76（2），217-247（1999）·Zbl 0940.11007号 ·doi:10.1006/jnth.1998.2365 [33] Lubinsky，D.S.，Saff，E.B.：部分θ函数的Padé逼近和Rogers-Szegö多项式的收敛性。施工。约3（4），331-361（1987）·Zbl 0634.41013号 ·doi:10.1007/BF01890574 [34] Maruyama，G.：关于间隙序列的渐近性质。科代数学。塞明。代表2，31-32（1950）·兹比尔0045.03402 ·doi:10.2996/kmj/1138833879 [35] 马林，R.C.：一些三角函数产品。美国数学。周一。69(3), 217-218 (1962) ·doi:10.2307/2311057 [36] Niederreiter，H.：随机数生成和准蒙特卡罗方法。SIAM，费城（1992）·Zbl 0761.65002号 ·doi:10.1137/1.9781611970081 [37] Oskolkov，V.：关于算术级数均匀分布的Hardy-Littlewood问题。数学。苏联Izvestija 36，169-182（1991）（Izv Akad Nauk SSSR的翻译，Ser Mat 54（1990）：159-172）·Zbl 0711.11024号 [38] Petersen，G.M.，McGregor，M.T.：关于均匀序列的结构。二、。内德勒。阿卡德。韦滕施。程序。序列号。A 67=印度。数学。26, 477-487 (1964) ·Zbl 0135.10903号 [39] Petruska，G.：关于q-级数的收敛半径。印度。数学。（N.S.）3（3），353-364（1992）·Zbl 0787.40003号 ·doi:10.1016/0019-3577（92）90041-I [40] 西尔宾斯基，W.：somme的无症状状态。牛市。国际学术界。波兰。科学。让。卡尔科夫。序列号。A 9-11（1910） [41] Schoissengeier，J.：<InlineEquation ID=“IEq432”><EquationSource Format=“TEX”>\[\left（n\alpha\right）\]<Equation Source Formation=“MATHML”><math-xmlns:xlink=“http://www.w3.org/1999/xlink“><mfenced close=”）“open=”（“separators=”>nα-序列。《亚洲学报》133（2），127-157（2008）·Zbl 1228.11105号 ·doi:10.4064/aa133-2-3 [42] Sudler Jr.，C.：限制配分函数的估计。Q.J.数学。牛津大学。序列号。15(2), 1-10 (1964) ·Zbl 0151.01402号 ·doi:10.1093/qmath/15.1.1 [43] Tichy，R.F.：《Gleichverteilung理论中的Ein metricher Satz》。厄斯特雷奇。阿卡德。威斯。数学-自然。Kl.Sitzungsber。II 188（8-10），317-327（1979）·Zbl 0446.10043号 [44] Verschueren，P.，Mestel，B.：正弦Sudler积在黄金旋转数下的增长。数学杂志。分析。申请。433, 200-226 (2016) ·Zbl 1335.11018号 ·doi:10.1016/j.jmaa.2015.06.014 [45] Wagner，G.：关于丢番图近似中的Erdős问题。牛市。伦敦。数学。Soc.12（2），81-88（1980）·Zbl 0427.10031号 ·doi:10.1112/blms/12.2.81 [46] Weyl，H.：Gibbs'sche Erscheinung和verwandte Konvergenzphänomene都是吉布斯·舍·埃舍宁的作品。伦德。循环。Mat.Palermo马特·巴勒莫330、377-407（1910）·doi:10.1007/BF03014883 [47] Weyl，H.：《Gleichvertilung von Zahlen mod》。艾恩斯。数学。附录77（3），313-352（1916）·doi:10.1007/BF014775864 [48] Wright，E.M.：Sudler猜想的证明。Q.J.数学。牛津大学。序列号。15(2), 11-15 (1964) ·Zbl 0151.01403号 ·doi:10.1093/qmath/15.1.11 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。