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克里斯蒂安·科贝利;加洛，伊夫;彼得·莫雷;亚历山大·扎哈里斯库

Beiter修女和Kloosterman：分圆系数和模逆的故事。 （英语） Zbl 1312.11016号

印度。数学。，新序列号。 24，第4期，915-929（2013）.
对于任何自然数，让（zeta_{n}）表示（mathbb{C}）中的固定本原-单位根；例如，可以取\（\zeta{n}=\exp（2\pii/n）\）。第（n）-分圆多项式可以定义为（zeta{n}）在（mathbb{Q}）上的最小多项式，或者也可以通过（Phi{n}（x）=\prod（x-\zeta_{n}^{j}））来定义，其中乘积的范围是在（1\leqj\leqn）范围内从整数（j）互素到（n）的整数。因此，\（\Phi_{n}（x）\）是一个具有整数系数且次数为\（\varphi（n）\）的一元多项式，其中\（\valphi\）表示Euler的方向函数。分圆多项式之间一个众所周知的基本关系是^{n} -1个=\prod_｛d\mid n｝\Phi_｛n｝（x）\），其中乘积的范围在\（n\）的正除数上。因此，对于（p）素数，我们有（Phi{p}（x）=1+x+\cdots+x^{p-1}）。此外，对于\（n>1）奇数，我们有\（\Phi_{2n}（x）=\Phi_{n}[-x）\）。
让（a{n}（k））表示（Phi{n}（x））的度项的系数，这样我们就可以写下（Phi_{n}（x）=prod_{k=0}^{varphi（n）}a{nneneneep（k）x^{k}）。\（\Phi_{n}（x）\）的高度定义为\（A（n）=\max\{|A_{n{（k）|：k\geq0\}\）。很容易证明\（A（n）=A（n）\），其中\（n）是\（n）的奇素因子的乘积。如果（n）至多有两个不同的奇素数因子，则（A（n）=1），因此，对于（n<105），特别是（A（n）=1。事实上，\（A（3\cdot 5\cdot 7）=2\）与\（A{105}（7）=-2\）。因此，我们可以预期的最简单的情况是，在三元情形中，\（n=pqr）与\（2<p<q<r）奇数素数。众所周知，（A（pqr）<3p/4），这显然只取决于（p\）。因此，对于一个固定素数（p\），最大值\（M（p）：=\ max\{a（pqr）：p<q<r}\），其中在满足\（p<q<r\）的所有素数上存在\（q\）和\（r\）范围。涉及三元分圆系数的一个主要公开问题是找到一个确定（M（p））的有限程序。
H.Möller先生[数学Z.119，33-40（1971年；Zbl 0196.07201号)]给出了一个表示（p>5）的\（M（p）\geq（p+1）/2\）的构造。在另一个方向上，M·拜特修女【《美国数学》（Am.Math.Mon.75，370–372）（1968年；Zbl 0157.08804号)]推测\（M（p）\leq（p+1）/2\）。从那时起，已经证明了（M（3）=2）、（M（5）=3）和（M（7）=4）。因此，Beiter猜想变成了\（M（p）=（p+1）/2\），并适用于\（p\leq 7\）。然而，Y.加洛特和P.莫雷[J.Reine Angew.数学.632，105–125（2009；Zbl 1230.11030号)]证明了这个猜想实际上对每个（p\geq11）都是错误的，并提供了一个反例的构造。此外，他们还表明，如果\（\varepsilon>0\），那么对于足够大的\（p\），\（2p（1-\varepsilon）/3\leq M（p）\leq 3p/4\）。
本文研究了Beiter猜想的大量反例，并改进了M（p）的上述下限。所使用的技术包括Kloosterman和（K（a，b；p）：=\sum_{1\leqx\leqp-1}\exp（2\pi i（ax+b\bar{x}）/p），其中\（p）是素数，\（bar{x}\）表示\（x）模的逆，以及研究模逆分布的其他工具。
审核人：亨利·约翰斯顿（埃克塞特）

引用于三文件

MSC公司：

11立方英尺83 特殊序列和多项式
11升05 高斯和克罗斯特曼总和；概括

关键词：

分圆系数;拜特猜想;模逆;Kloosterman总和

引文：

Zbl 0196.07201号;Zbl 0157.08804号;Zbl 1230.11030号
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\textit{C.Cobeli}等人，Indag。数学。，新系列。24，第4号，915--929（2013；Zbl 1312.11016）
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