安东·卡普斯丁;卢德米尔·卡扎尔科夫;德米特里·奥尔洛夫;约托夫、迈克尔斯拉夫 一般类型流形的同调镜像对称。 （英语） 兹比尔1200.53079 美分。欧洲数学杂志。 7，第4号，571-605（2009）. 从引言开始：本文讨论了一般类型流形的同调镜像对称性，以及这种对称性与复几何和辛几何中有趣的推测对偶相互作用的方式。传统上[P.Candelas、X.C.de la Ossa、P.S.Green、L.Parkes，编号。物理。，B 359，第1期，21–74页（1991年；Zbl 1098.32506号)]【数学调查与专著，68，Amer.Math.Soc.，Providence，RI，（1999）】，在与Calabi-Yau流形的物理情况最相关的情况下研究了镜像对称现象。据观察，一些自然出现在物理弦论数学模型中的这样的流形对（“镜像伙伴”）显示出相互对称（“镜像”）的特性（具有数值不变量）。人们曾多次尝试从数学上形式化这种镜像现象，其中一次是1994年康采维奇提出的著名的同调镜像对称猜想。给定两个Calabi-Yau镜像伙伴，它们是自然复流形和辛流形。因此，它们各自定义了两类：相干带轮的有界导出类（反映流形的复杂结构和B型“物理”相关的D膜）和导出的Fukaya类（辛结构，与a型D膜相关）。这个猜想表明，对于任何一对镜像伙伴，每个流形上的B膜的类别等价于镜像伙伴上的A膜的类别。Kontsevich猜想在大量Calabi-Yau流形上得到了验证：椭圆曲线A.波利舒克、和E.扎斯洛《高等数学物理2》，第2期，第443–470页（1998年；Zbl 0947.14017号)]，阿贝尔品种K.Fukaya公司[J.Algebr.Geom.11，第3期，393–512（2002；Zbl 1002.14014号)]，\（K3\）表面[P.塞德尔,arXiv:数学/0310414].这些考虑的一个基本要素是构造（物理）镜像伙伴。Hori和Vafa的一种方法将后者解释为全纯纤维（Landau-Ginzburg模型），结果证明这种方法甚至在Calabi-Yau流形的情况下也能很好地工作。具体来说，这种方法为复曲面流形中的所有完整交点提供了“镜像伙伴”。当以这种方式构造的流形对不是Calabi-Yau时，没有物理依据可以称其为镜像对称。此外，根据Hori-Vafa方法，本案中的Landau-Ginzburg合作伙伴并不紧凑。因此，预计必须对该合作伙伴的结构以及相关类别的定义进行适当修改，以便从该关系中提取有价值的几何信息。此外，为了使这个猜想成为一个真实的陈述，这个猜想本身的表述需要改变。假设可以定义A-和B-膜类别（对Landau-Ginzburg合作伙伴进行修改）并进行比较。然后根据定义，当它们与HMSC中的交叉等价时，流形称为（同调）镜像对称。现在的任务是证明复曲面流形及其Landau-Ginzburg伙伴的任何完全交集都提供了一对（同源）镜像伙伴。事实上，存在一种如何改变类别的想法，并且已经证明，当起始流形是del Pezzo曲面（Fano流形）时，Landau-Ginzburg伙伴是曲面的（同源）镜像伙伴。同样的结果也适用于加权投影平面和Hirzebruch曲面。本文讨论了如何修改HMSC，使其在一般型流形（第一Chern类为负）的情况下成立。我们所做的推测是基于许多例子，其中一些是我们在这里介绍的。特别是，我们非常详细地研究了超椭圆曲线或两个二次曲面的相关交点的Landau-Ginzburg伙伴[参见arXiv：数学/9506012，定理2.7]）。我们的主要目标是研究非Calabi-Yau流形的HMSC如何与镜像对应的A侧和B侧有趣的几何对偶相互作用。审核人：Ioan Pop（伊阿什） 引用于21文件 MSC公司： 53天37分 镜像对称、同调镜像对称和Fukaya范畴的辛方面 57兰特 高维或任意维辛拓扑和接触拓扑 2014年9月33日 镜像对称（代数几何方面） 关键词：同源镜像对称;\（K\）理论;类别;派生Fukaya范畴;D膜;Calabi-Yau歧管;椭圆曲线 引文：Zbl 1098.32506号;Zbl 0947.14017号;Zbl 1002.14014号 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{A.Kapustin}等人，中央。欧洲数学杂志。7，第4号，571--605（2009；Zbl 1200.53079） 全文： 内政部 arXiv公司 链接 OA许可证 参考文献： [1] Abouzaid M.，关于高等属曲面的Fukaya范畴，高等数学。，2008, 217(3), 1192-1235 http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2007.08.011; ·Zbl 1155.57029号 [2] Auroux D.，Katzarkov L.，Orlov D.，del Pezzo曲面的镜像对称性：消失循环和相干带，发明。数学。，2006, 166(3), 537-582 http://dx.doi.org/10.1007/s00222-006-0003-4; ·Zbl 1110.14033号 [3] Auroux D.，Katzarkov L.，Orlov D.，加权投影平面的镜像对称及其非对易变形，预印本可在http://arxiv.org/abs/math/0404281; ·Zbl 1175.14030号 [4] Bondal A.，Kapranov M.，《框架三角分类》，Mat.Sb.，1990，181（5），669-683（俄语），英语翻译：Math。苏联Sb.，1991，70（1），93-107·Zbl 0719.18005号 [5] Bondal A.，Orlov D.，代数变体的半正交分解，预印本可在http://arxiv.org/abs/alg-geom/9506012; [6] Bridgeland T.，King A.，Reid M.，《麦凯对应作为派生范畴的等价物》，J.Amer。数学。Soc.，2001，14（3），535-554http://dx.doi.org/10.1090/S0894-0347-01-00368-X; ·Zbl 0966.14028号 [7] Candelas P.，de la Ossa X.，Green P.，Parkes L.，一对Calabi-Yau流形作为一种完全可溶的超热理论，核物理学。B、 1991年，359（1），21-74http://dx.doi.org/10.1016/0550-3213(91)90292-6; ·Zbl 1098.32506号 [8] Cox D.，Katz S.，《镜像对称与代数几何》，《数学调查与专著》，68，美国数学学会，普罗维登斯，RI，1999年·Zbl 0951.14026号 [9] Efimov A.，高等属曲线的同调镜像对称，预印本可在http://arxiv.org/abs/0907.3903; ·Zbl 1242.14039号 [10] Fukaya K.，阿贝尔簇和多θ函数的镜像对称性，J.代数几何。，2002, 11(3), 393-512; ·Zbl 1002.14014号 [11] Fukaya K.，Oh Y.-G.，Ohta H.，Ono K.，Lagrangian交集Floer理论-异常和障碍，预印本可在http://www.math.kyoto-u.ac.jp/fukaya/fukaya.html; ·Zbl 1181.53003号 [12] Hori K.，Katz S.，Klemm A.，Pandharipande R.，Thomas R.，Vafa C.，Vakil R.，Zaslow E.，镜像对称，第1卷，克莱数学专著，美国数学学会，普罗维登斯，RI，2003年·Zbl 1044.14018号 [13] Hori K.，Vafa C.，镜像对称，预印本可在http://arxiv.org/abs/hep-th/0002222; ·Zbl 1044.14018号 [14] Kapustin A.，Orlov D.，《关于A膜、镜对称性和Fukaya范畴的评论》，J.Geom。物理。，2003, 48(1), 84-99 http://dx.doi.org/10.1016/S0393-0440(03)00026-3; ·Zbl 1029.81058号 [15] Kapustin A.，Orlov D.，《镜像对称、派生范畴和D-branes讲座》，俄罗斯数学。调查，2004，59（5），907-940http://dx.doi.org/10.1070/RM2004v059n05ABEH000772; ·Zbl 1074.14036号 [16] Kawamata Y.，D-等价和K-等价，J.微分几何。，2002, 61(1), 147-171; ·Zbl 1056.14021号 [17] 库兹涅佐夫A.，V 12 Fano衍生类别三倍，预印本可在http://arxiv.org/abs/math/0310008; [18] Mukai S.，非阿贝尔Brill Noether理论和Fano 3折叠，预印本可在http://arxiv.org/abs/alg-geom/9704015; ·Zbl 0929.14021号 [19] Narasimhan M.S.，Ramanan S.，紧黎曼曲面上向量丛的模，数学年鉴。（2） ，1969年，89年，14-51年http://dx.doi.org/10.2307/1970807; ·Zbl 0186.54902号 [20] 奥尔洛夫·D·，导出范畴与K3曲面的等价性，数学杂志。科学。（纽约），1997，84（5），1361-1381http://dx.doi.org/10.1007/BF023999195; ·Zbl 0938.14019号 [21] Orlov D.，Landau-Ginzburg模型中奇点和D膜的三角分类，Tr.Mat.Inst.Steklova，2004，246，Algebr。地理。梅托迪，斯维亚齐·普里洛日。，240-262，英语翻译：Proc。斯特克洛夫数学研究所。，2004, 3, 227-248; ·Zbl 1101.81093号 [22] 奥尔洛夫·D·，高亏格曲线的镜像对称性，迈阿密大学讲座，2008年1月，IAS，2008年3月； [23] Orlov D.，奇点三角分类的形式完备和幂等完备，预印本可在http://arxiv.org/abs/0901.1859; ·Zbl 1216.18012号 [24] Polishchuk A.，Zaslow E.，《分类镜对称性：椭圆曲线》，Adv.Theor。数学。物理学。2, 1998, 2, 443-470; ·Zbl 0947.14017号 [25] Seidel P.，《关于消失循环和突变的更多信息》，辛几何和镜像对称（汉城，2000），429-465，《世界科学》。出版物。，新泽西州River Edge，2001年·Zbl 1079.14529号 [26] 塞德尔·P。，福卡亚范畴与变形，《国际数学家大会论文集》，第二卷（北京，2002），351-360，高等教育出版社，北京，2002·Zbl 1014.53052号 [27] Seidel P.，Fukaya类别和Picard-Lefschetz理论，苏黎世高等数学讲座，2008年·Zbl 1159.53001号 [28] 赛德尔P.，四次曲面的同调镜对称性，预印本可在http://arxiv.org/abs/math/0310414; ·Zbl 1334.53091号 [29] Seidel P.，亏格二曲线的同调镜像对称，预印本可在http://arxiv.org/abs/0812.1171。; ·Zbl 1226.14028号 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。