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乔治·纳瓦提尔;赫尔穆特·波特曼

球面运动组公平离散化的细分方案。 （英语） Zbl 1156.65019号

J.计算。申请。数学。 222，第2期，574-591（2008）.
刚体位移的研究是计算机图形学和几何建模学科的一个主要课题。刚体位移的平移分量可以很容易地离散化，而对于属于弯曲空间的旋转分量：球面运动组（SO_3），则不再如此。本文提出了两种完全不同的用于（SO_3）公平离散化的细分方案。他们的目标是给出一组尽可能均匀分布的离散位置。这两种方法都高度基于本书最后一章（计算运动学）中由H.波特曼和J.沃纳[计算线几何（数学+可视化，施普林格，柏林）（2001；Zbl 1006.51015号)]. 例如，在射影三空间中可以找到运动映射的概念或椭圆度量的定义。
第一个提议的方案（I）基于600厘米。单位四元数群是（SO_3）的双覆盖。因此，离散化（SO_3）的公平细分方案可以基于球面（S^3子集{mathbb R}^4）的细分方案。
作者首先回顾了众所周知的球面二十面体离散化（S^2子集｛\mathbb R｝^3）作为低维情况。二十面体的四维类似物是柏拉图立体，称为600厘米。由于600厘米边缘的长度与黄金比率有关，因此球面运动组的离散化也与魔法常数有关。
细分方案以600厘米为起始配置，并使用四面体的细分方案构建下一个配置。方法（I）的一些主要事实是：（S^3）离散化的每个顶点都有12个邻居，其实现和数据处理需要层次化数据结构。
在第二个方案（II）中，作者首先概述了一个细分方案，该方案基于右单位球面的二十面体离散化，生成椭圆三空间中椭圆线性同余的公平离散化。其次，他们离散了这个椭圆线性同余的直线，从而得到了对（E^3）和（SO_3）的公平离散。第二步是使相邻网格点的最大椭圆距离和最小椭圆距离之间的差异变得最小。与方法（I）中发生的情况相反，现在离散化的每个顶点可以有12个、10个或8个邻居，并且细分方案的实现使用了紧凑高效的矩阵数据结构。
尽管两种离散化都基于不同的指导原则，但在每个细分步骤中，它们会导致相同数量的球面运动。这使得可以使用相邻网格点的最大和最小椭圆距离之间的差异进行比较。仅就细分的第一步而言，方法（II）比方法（I）更公平。对于第2步至第6步，基于600-cell（方法（I））的网格比方法（II）获得的网格更光滑。
审核人：胡安·蒙特德（Burjasot）

引用于三文件

理学硕士：

65D18天 计算机图形学、图像分析和计算几何的数值方面
53甲17 运动学中的微分几何方面
51N15号 射影解析几何
51立方米 线几何及其推广

关键词：

球面运动组;球面运动映射;600厘米;椭圆线性同余;公平离散化;刚体位移;计算机图形学;几何建模

引文：

Zbl 1006.51015号
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{G.Nawratil}和\textit{H.Pottmann}，J.Compute。申请。数学。222，第2号，574--591（2008；Zbl 1156.65019）
全文： 内政部

参考文献：

[1] 鲍姆加德纳，J.R。；Frederickson，P.O.，两球体的二十面体离散化，SIAM数值分析杂志，22，61107-1115（1985）·Zbl 0601.65084号
[2] R.Buckminster Fuller，测地圆顶。美国专利2682235，美国专利局，1954年6月29日；R.Buckminster Fuller，测地圆顶。美国专利2682235，美国专利局，1954年6月29日
[3] Coxeter，H.S.M.，《规则多边形》（1973），多佛出版社·Zbl 0258.05119号
[4] 霍弗，M。；Pottmann，H.，流形中的能量最小化样条，《图形学报》，23，3，284-293（2004）
[5] 霍弗，M。；波特曼，H。；拉瓦尼，B.，《从曲线设计算法到刚体运动设计》，《可视化计算机》，20，5，279-297（2004）
[6] Hopf，H.，u ber die Abbildungen der dreidimensionalen Sphäre auf die Kugelfläche，数学。安，104，637-665（1931）
[7] Merlet，J.-P.，《并联机器人》（2006），斯普林格出版社·Zbl 1110.70002号
[8] McCarthy，J.M.，《理论运动学导论》（1990），麻省理工学院出版社
[9] Müller，H.R.，Sphärische Kinematik。VEB Dt（1962年），维森夏特出版社·兹比尔0101.39201
[10] G.Nawratil，H.Pottmann，B.Ravani，基于运动学几何的广义贯入深度计算。复合年增长率。技术报告172，收录于：几何预印本系列，维也纳理工大学，2007年3月；G.Nawratil，H.Pottmann，B.Ravani，基于运动学几何的广义贯入深度计算。复合年增长率。技术报告172，收录于：几何预印本系列，维也纳理工大学，2007年3月·Zbl 1205.70007号
[11] 波特曼，H。；Wallner，J.，计算线几何（2001），Springer·Zbl 1006.51015号
[12] 拉瓦尼，B。；Roth，B.，《空间运动学映射》，ASME J.Mech。事务处理。自动。设计。，106, 3, 341-347 (1984)
[13] S.Schaefer、J.Hakenberg和J.Warren，四面体网格的平滑细分，收录于：R.Scopigno、D.Zorin（编辑）欧洲制图几何处理研讨会，2004年，第151-158页；S.Schaefer、J.Hakenberg和J.Warren，四面体网格的平滑细分，收录于：R.Scopigno、D.Zorin（编辑）欧洲制图几何处理研讨会，2004年，第151-158页
[14] Stephanos，C.，四元数理论，数学。安，22，589-592（1883）
[15] L.Zhang，Y.Kim，D.Manocha，《广义穿透深度计算的快速实用算法》，载于：机器人：科学与系统会议，RSS07，2007；L.Zhang，Y.Kim，D.Manocha，广义穿透深度计算的快速实用算法，收录于：机器人：科学与系统会议，RSS072007·Zbl 1354.65032号
[16] L.Zhang，G.Varadhan，Y.Kim，D.Manocha，广义穿透深度计算，in：ACM固体和物理建模会议，SPM062006，第173-184页；L.Zhang，G.Varadhan，Y.Kim，D.Manocha，广义穿透深度计算，见：ACM固体和物理建模会议，SPM062006，第173-184页
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