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贝特朗·托恩

dg-范畴的同伦理论及其派生的森田理论。 （英语） Zbl 1118.18010号

发明。数学。 167，第3期，615-667（2007）.
环的Morita理论指出，从\（A\）-模到\（B\）-模与共线性度交换的任何函子都必然是与某些\（A^｛\text｛op｝｝｝\otimes B\）-模的张量乘积。当\（A\）和\（B\）是dg-代数时，情况不再如此，如所示D.杜格尔和B.希普利[《杜克数学杂志》124、587–617（2004；Zbl 1056.19002号)]. 为了解决这个问题，作者建议使用dg-范畴，即在链式复合体上丰富的范畴（当范畴只有一个对象时，这恰恰是一个dg-代数）。G.塔布阿达证明了[C.R.数学.科学院.巴黎340，15-19（2005；Zbl 1060.18010号)]dg-范畴形成了一个模型范畴，其中弱等价物类似于简单范畴的Dwyer-Kan等价物，参见J.E.伯格纳【美国数学学会翻译3592043-2058（2007；Zbl 1114.18006号)]。
在本文中，根据模块确定了一个方便的映射空间模型。给定一个dg-范畴\（{mathcal C}\），一个\（{mathcal C{\）-模由链复合体\（F（x）\）和链复合体的形态\（{mathcal C}（x，y）\ otimes F（x）\ rightarrow F（y）\）组成。模的范畴又是一个模型范畴，其中弱等价物是链式复合物的对象拟同构。在\（{mathcal C}\ otimes{mathcalD}^{text{op}\）-模中，考虑了可表示的模，即，对于任何\（{mathcal C{中的x），\（F（x，-）\的模，对于某些\（{mathcal D}中的y），其形式为\（{\mathcal D}（-，y）\）。然后定义\（\mathcal F（{\mathcal-C}，{\mathcal-D}）\）为一个范畴，该范畴的对象是模与可表示模的弱等价，而态射是拟同构。那么映射空间（text{Map}（{mathcal C}，{mathcal-D}）弱等价于神经（N（mathcal-F（{mathcal C{，{mathcal D}））。
dg范畴的导出张量积在dg范畴同伦范畴上诱导了一个对称的单体结构。它被证明是闭单体的，因此存在dg-范畴\（{\mathbb R}\operatorname{Hom}（{\mathcal C}，{\mathcal D}）\）。为了在dg范畴的背景下发展Morita理论，作者考虑了共纤维链复合体的dg范畴（text{Int}（{mathcal C}（k）k））。然后，他显示了完整的子dg-类别\（\mathbb R\operatorname{喇叭}_c用无限直和交换的态射的（\widehat{\mathcal C}，\wideheat{\mathcal D}）的（\mathbb R\operatorname{Hom}（\wide hat{\ mathcal C}，\ widehat{\mathcal D}）在同伦范畴中同构于\（{\matchal C}^{\text{op}\otimes^{\mathbbL}\wideha{\mathcal D}}）。特别是同伦类集合（[widehat{mathcalC}，widehat{mathcal D}]_C）和同伦范畴中的同伦类之间有一个双射。
该理论不仅为发展dg-代数的森田理论提供了正确的框架，还允许作者
（i） 用Hochschild同调和派生的Picard群描述dg-范畴分类空间的同伦群，
（ii）针对给定dg-类别中的一组语素，开发dg-范畴的本地化，
（iii）理解\（\mathbb R\ operatorname｛Hom｝（｛\mathcal C｝，｛\mathcal D｝）\）当\（｛\mathcal C｝\）和\（｛\mathcal D｝\）是某些方案上拟相干或完美复形的dg类时。
审核人：杰尔·谢勒（贝拉特拉）

引用于12评论
引用于181文件

MSC公司：

18G55型 非交换同伦代数（MSC2010）
55单位35 代数拓扑中的抽象与公理同伦理论
18国道35号 链复合体（分类-理论方面），dg类别
16日90分 结合代数中的模范畴

关键词：

森田理论;dg-类别

引文：

兹比尔1056.19002;Zbl 1060.18010号;Zbl 1114.18006号
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{B.托恩}，发明。数学。167，第3号，615--667（2007；Zbl 1118.18010）
全文： 内政部 arXiv公司

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