Günter Harder先生;拉古拉姆，A。 \（\mathrm）的Eisenstein上同调{GL}_N\)以及Rankin-Selberg（L）函数的特殊值。 （英语） Zbl 1466.11001号 数学研究年鉴203.新泽西州普林斯顿：普林斯顿大学出版社。xi，第220页。(2020). 这本专著由两位顶尖的算术群上同调和（L）-函数特殊值专家撰写，旨在研究一般线性群的Rankin-Selberg（L）函数情况下这两个对象之间的强关系，在自守形式和自守L函数的背景下，它对Deligne猜想有很大的影响。该程序是由20世纪80年代第一位指定作者设计的，他研究了艾森斯坦上同调{德国}_2\)并证明了[Invent.Math.89，No.1，37-118（1987）]中附属于（F）的代数Hecke特征的（L）-函数临界值的合理性。本专著可视为上述开创性工作的深远延伸。我们将简要解释本书中证明的两个主要定理，并请读者参阅原文以了解更多详细信息。对于这种设置，设（F）是一个完全实数字段，（N=N+N'\），并表示（G_N:=\text｛资源｝_{F/\mathbb{Q}}（\text{GL}_N/F） \）。设（P）是具有Levi商的标准极大抛物子群（M_P=G_n乘以G{n'}），并且（Q）是相关的抛物线，因此（M_Q=G{n'}乘以G_n）。设（E）是包含（F）的（mathbb{Q}）的Galois扩张，并给出用（mathcal）表示的（G_N）的主积分权｛M｝_{\lambda，E}）（G_N\乘以E\）的不可约代数表示。设\（\widetilde{\mathcal{M}}{\lambda，E}\）是与\（G_N（\mathbb）的开紧子群\（K_f\）相关联的局部对称空间\（\mathcal{S}^G_{K_f}\）上的相应层{A} f（_f）)\).众所周知，只有纯权重才能支持所谓的强内上同调，这是一个我们在这里不会解释的概念，但请参阅本书。设（\mu\）（resp.\（\mu'\））是一个纯权重\（G_n\）（resp.\（G_{n'}\）），并且（\sigma_f\）（esp.\（\sigma_f'\）是一种不可约的Hecke模，它有助于\（\widetilde{\mathcal{M}}{mu，E}\）的强内上同调）。至关重要的组合引理由U.Weselmann在本书中证明，对（mu）和（mu’）施加一定的假设，使得（lambda:=w^{-1}\cdot（mu+mu'））成为（G_N）的主导权。（sigma_f\otimes\sigma_f'）的抛物线归纳出现在（widetilde{mathcal{M}}{lambda，E}）的下边界上同调中，取（K_f）-不变量得到一个Hecke-stable子空间（维数用（mathsf{K}）表示）\[I^{\mathsf{S}}_b（\sigma_f，\sigma _f'，\varepsilon'）^{（_f）}_{P，w}\子集H^{b_N^F}（\partial_P\mathcal{S}^{G_N}，\widetilde{\mathcal{M}}_{\lambda，E}）^{K_F}，\]其中，\（\varepsilon'\）是一个特定符号。同样，还有另一个\（\mathsf{k}\）维子空间\[I^{\mathsf{S}}_b（\sigma_f'（-n），\sigma _f（n），\varepsilon'）^{（_f）}_{Q，w'}\子集H^{b_N^F}（\partial_Q\mathcal{S}^{G_N}，\widetilde{mathcal}}{lambda，E}）^{K_F}。\]Manin-Drinfeld原理意味着这两个子空间在边界上同调中形成了一个等典型的Hecke和。我们现在陈述本书（Thm.6.2）中关于一级Eisenstein上同调的第一个主要定理，该定理表示，边界映射与Hecke投影的以下组合如上所述，\开始{align*}&H^{b_N^F}（\mathcal{S}^{广州}_{K_f}，\widetilde{\mathcal{M}}_{\lambda，E}）\\\长右箭头&H^{b_N^F}（\partial\mathcal{S}^{广州}_{K_f}，\widetilde{\mathcal{M}}_{\lambda，E}）\\\longrightarrow&I^{\mathsf{S}}_b（\sigma_f，\sigma_f'，\varepsilon'）^{（_f）}_{P，w}\oplus I ^{\mathsf{S}}_b（\sigma_f'（-n），\sigma _f（n），\varepsilon'）^{（_f）}_{Q，w'}，\结束{align*}具有（2）维目标空间的（mathsf{k}）维子空间。该结果的上同调解释是，边界Eisenstein上同调是Poincaré对偶下的最大各向同性子空间。该书的第二个主要定理（Thm.7.21）是关于Rankin-Selberg（L）-函数的临界值的算术，该函数附属于一对尖顶自守表示（sigma）和（sigma'^vee），分别具有有限部分（sigma-f\）和（sigma_f'^vee\）。自同构Rankin-Selberg\（L\）-函数可以被解释为附加到推测纯动机的张量积上的动机\（L\）-函数\（\mathbf｛M｝（\sigma_f）\otimes\mathbf｛M｝（\sigma_f'）^\vee\），以及上同调\（L\）-函数\（L^｛\mathrm｛coh｝｝）（\iota，\sigma\times\sigma'^\vee，s）\)作为任何嵌入的Hecke模的算术群的上同调（iota:E\tomathbb{C}）。假设\（n\）是偶数。Thm（厚度）。7.21表示（L）值的比率\[\裂缝{L^{\mathrm{coh}}（\iota，\sigma\times\sigma’^\vee，\mathsf{m} 0)}{L^{\mathrm{coh}}（\iota，\sigma\times\sigma'^\vee，1+\mathsf{m} _0（0）)}\]对于\（n'\）偶数，再除以\（n'\）奇数的相对周期\（\Omega^｛\varepsilon'｝（｛｝^\iota\sigma_f）\），位于\（\iota（E）\）中，在伽罗瓦作用下表现良好。此处\（\mathsf{m} _0（0）\)是自守（L）函数的临界位置（-N/2），用它的Tate扭曲（sigma_f（k）替换（sigma _f），给出了所有连续临界值比率的合理性结果！这些结果与Deligne关于激励函数临界值的猜想相一致。我们应该指出，U.Weselmann的最后一章介绍了阿基米德纠缠算符的优雅计算，它在相对李代数上同调中有重要应用。这是第一位指定作者在其在线书籍中概述的更大程序中的一个重要进展http://www.math.uni-bonn.de/people/harder/Manuscripts/buch/毫无疑问，它值得进一步研究，作者开发的复杂机器也对其他还原群有算术应用。希望它能在这一积极的课题上取得很大进展。审核人：刘东文（浙江） 引用于2评论引用于12文件 MSC公司： 11-02 与数论有关的研究综述（专著、调查文章） 22-02 拓扑群的研究综述（专著、调查文章） 1100万 Zeta和（L）-函数：分析理论 11楼xx 不连续群和自守形式 22埃克斯 李群 关键词：艾森斯坦上同调;算术群;局部对称空间;Rankin-Selberg \（L\）-函数;动机\（L\）-函数 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{G.Harder}和\textit{A.Raghuram}，艾森斯坦上同调{GL}_N\)以及Rankin-Selberg$L$-函数的特殊值。新泽西州普林斯顿：普林斯顿大学出版社（2020；Zbl 1466.11001） 全文： 内政部