亚历山德罗·卡波蒂;塞雷娜·迪皮埃罗;恩里科·瓦尔迪诺西 分数方程解的局部密度。 （英语） Zbl 1497.35004号 德格鲁伊特数学研究74.柏林：De Gruyter（ISBN 978-3-11-066069-2/hbk；978-3-10-66435-5/电子书）。xi，第129页。(2019). 这本书的题目是讨论时间和空间分数方程解的边界行为。在第一章中，作者提供了分数扩散和分数导数自然产生的一系列简单示例，并简要介绍了如何使用分析方法来处理在具体情况下出现的简单问题。在第2节中，作者开始这本专著的数学严谨部分，并开始介绍本书中包含的主要原始数学结果及其与现有文献的关系。特别是，对定理2.1进行了阐述和强调。本书的其余部分分为以下几部分：第3章重点介绍时间分数运算符。更准确地说，在第3.1节和第3.2节中，作者分别研究了Caputo导数和Caputo导为零的函数的本征函数的边界行为，并根据显式表示公式检测了它们的奇异边界行为。这些类型的结果本身很有趣，也可以找到进一步的应用。第四章研究了高阶分数阶拉普拉斯算子的一些性质。更准确地说，第4.1节提供了球中\（（-\Delta）^s u=f\）的解的一些表示公式，其中\（u=0\）在球外，对于所有\（s>0，\），并扩展了中引入的Green公式方法[M.Di Paola先生等，计算。数学。申请。66，第5期，608–620（2013年；Zbl 1381.74038号)]和[N.阿巴坦格罗等，非线性分析。，理论方法应用。，序列号。A、 理论方法175173-190（2018；兹比尔1397.35064)]. 然后，在第4.2节中，作者研究了高阶分数阶方程的第一Dirichlet本征函数的边界行为，在第4.3节中，对于任意（s>0），作者给出了（-\Delta）^s的第一Dilichlet本徵函数在边界处的精确渐近性。第4.4节专门分析了调和函数的渐近行为，以“球面凹凸函数”作为外部Dirichlet数据。第五章是主要结果的证明。为此，第5.1节包含一个辅助语句，即定理5.1，它将暗示定理2.1。这在技术上很方便，因为操作符\（\Lambda_{a}\）原则上取决于初始点\（a\）。这有一个缺点，即如果在某些域中\（\Lambda_au_a=0）和\（\Lambda_bu_b=0），则函数\（u_a+u_b\）原则上不是任何运算符的解，除非\（a=b\）。为了克服这个困难，在定理5.1中，作者将把自己限制在（a=-\infty）的情况下，利用作者在中引入并使用的多项式扩展[M.卡普托，分形。计算应用程序。分析。11，第1号，第3-14条（2008年；Zbl 1210.65130号)].在第5.2节中，作者向定理5.1的证明迈出了主要一步。在这里，作者证明了非局部算子核中的函数（如（2.8）中的函数）及其导数跨越了最大欧氏空间。这一事实对于非局部情形是特殊的，其证明是基于分数阶算子在时间和空间上的边界分析。由于（2.8）中算符的一般形式，作者必须在这里区分几种情况，利用算符的时间分数或空间分数分量。最后，在第5.3节中，作者使用先前的近似结果和适当的缩放参数完成了定理5.1的证明。最后的附录提供了可应用其主要结果的具体示例。这本书写得很好，通过展示理论的意义应用，展示了为什么要研究这样的主题的动机。这本书还为书中包含的各种断言提供了严格的数学证明。审核人：何晓明（北京） 引用于30文件 MSC公司： 35-02 关于偏微分方程的研究综述（专著、调查文章） 35兰特 分数阶偏微分方程 关键词：分数微积分;特征函数的边界行为 引文：Zbl 1381.74038号;Zbl 1397.35064号;Zbl 1210.65130号 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{A.Carbotti}等人，分数方程解的局部密度。柏林：De Gruyter（2019年；兹bl 1497.35004） 全文： 内政部 arXiv公司