贾斯汀·柯里;约旦德沙;阿德利·加林;凯瑟琳·赫斯;利达·卡纳里;布伦丹·马勒里 从树到条形码，然后再回来。二： 拓扑逆问题的组合和概率方面。 （英语） Zbl 1532.55004号 计算。地理。 116，文章ID 102031，第28页（2024）. 持续同源性[H.埃德尔斯布伦纳和J.哈勒，内容。数学。453, 257–282 (2008;Zbl 1145.55007号)]生成成功的形状摘要（“条形码”或“持久性图表”），因为它会以智能方式忘记。但它忘记了什么？此外，给定一个条形码，它是否总是对应一个对象？否则，如果看到作为函数的结果的条形码，它的预图像是什么？正如本文件所述，这种推测始于处理普遍性问题[M.莱斯尼克，找到。计算。数学。第15期，第3期，第613-650页（2015年；Zbl 1335.55006号)]甚至在“规模函数”的框架中[阿米科先生等，《应用学报》。数学。109，第22527-554号（2010年；Zbl 1198.68224号)]. 对这些预图像的研究是本文的中心目标。虽然可以为过滤拓扑空间或任意维的简单复合体定义条形码，但可以通过将域限制为树来捕获问题的本质。在背景章节和附录中，对不同类型的树进行了定义和比较。本文处理的典型对象是合并树\（（T，h）\）：它有一个可分辨顶点\（r）（称为根)，具有三级顶点（称为死亡)一级（称为终端; 这些是根和出生)和我现在定义的高度函数。顶点\（v\）是起源如果（v）是从根到（w）的唯一路径中，在（w）自身之前遇到的最后一个顶点。A类高度函数是一个标签\（h:V（T）\ to \mathbb{R}\cup\。两个合并树\（（T，h）\），\（（T'，h'）\）是组合等价如果（T）和（T’）之间存在同构关系，该同构关系尊重出生标记和死亡标记所诱导的顺序。我指的是引用的调查或[H.埃德尔斯布伦纳和J.L.哈勒，计算拓扑。引言。普罗维登斯，RI:美国数学学会（AMS）（2010；Zbl 1193.55001号)]用于构建合并树的条形码。这样的条形码由一条右半线组成，该半线从最小顶点高度开始，以一定的间隔\（[b_j，d_j）\）(酒吧)，其中\（bj）是出生时的高度，\（dj）是死亡时的高度。这个变现编号条形码的数量\（B\）是产生\（B_）的合并树的数量。第一个显著的结果是命题2.18，它提供了以指数表示的实现数，很容易从\（B）的条形图中计算出来。考虑出生和死亡的基本排列，即与身高增加相对应的排列。然后，如果（b_j）的是基本置换，则相应的（d_j）将形成某种置换（sigma）。引理2.25断言组合等价合并树的条形码产生相同的排列。这个左反转矢量置换的（sigma）跟踪（sigma\）中的反转。引理3.4将（B）的实现数表示为相关（sigma）的左反转向量元素的乘积。然后可以谈论\（\西格玛\）本身的实现数；这被证明是随着左Bruhat排列阶单调增加的（引理3.13）。本文还分析了产生给定（sigma）的条形码集；引理3.6断言，相对于直观的和和和和与条形码标量的乘法，该集合是凸的。本文包含关于元素上对称群上置换实现数之和的其他公式。最后一节专门讨论了预期树实现数的概率研究。审核人：马西莫·费里（博洛尼亚） MSC公司： 55N31号 持久同源性及其应用，拓扑数据分析 关键词：拓扑数据分析;反问题;持久同源性 引文：Zbl 1145.55007号;Zbl 1335.55006号;Zbl 1198.68224号;Zbl 1193.55001号 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{J.Curry}等人，计算。地理。116，文章ID 102031，28 p.（2024；Zbl 1532.55004） 全文： 内政部 arXiv公司 OA许可证 参考文献： [1] 路易斯·比莱拉（Louis J.Billera）。；苏珊·福尔摩斯。；Vogtmann，Karen，《系统发育树空间的几何学》，Adv.Appl。数学。，27,4733-767（2001年11月）·兹比尔0995.92035 [2] 本杰明·布吕克；Garin，Adélie，使用Coxeter复合体分层条形码空间，J.Appl。计算。白杨。，1-27 (12 2022) ·Zbl 1522.55006号 [3] 迈克尔·卡坦扎罗（Michael J.Catanzaro）。；贾斯汀·柯里（Justin M.Curry）。；特里斯·法西（Terese Fasy），布列塔尼（Brittany）；贾尼斯·拉佐夫斯基；格雷格·马伦（Greg Malen）；汉斯·里斯；王，贝；Zabka，Matthew，莫尔斯函数持久化模空间，J.Appl。计算。白杨。，4, 3, 353-385 (2020) ·Zbl 1454.58011号 [4] Crawley Boevey，William，逐点有限维持久模的分解，代数应用。，第14、05条，第1550066页（2015年）·Zbl 1345.16015号 [5] Curry，Justin，区间上函数的持久性映射纤维，J.Appl。计算。白杨。，2, 3, 301-321 (2018) ·Zbl 1426.55006号 [6] 贾斯汀·库里（Justin Curry）；海滨杭城；Mio，华盛顿；汤姆·尼达姆（Tom Needham）；Okutan，Osman Berat，持久拓扑的装饰合并树（2021），arXiv预印本·Zbl 1525.55006号 [7] 贾斯汀·库里（Justin Curry）；穆克吉（Mukherjee，Sayan）；Turner，Katharine，《多少方向决定形状以及两个拓扑变换的其他充分性结果》（2018），arXiv预印本·Zbl 1511.55005号 [8] 杰塞克·西兰卡；康斯坦丁·米柴科夫；Charles Weibel，《持久性映射前图像的收缩性》，J.Appl。计算。白杨。，4, 4, 509-523 (2020) ·兹比尔1458.37083 [9] Edelman，Paul H.，对称群的Bruhat阶在词典学上是可剥离的，Proc。美国数学。《社会学杂志》，82，3，355-358（1981）·Zbl 0478.06002号 [10] Erdös，P。；盖伊，理查德·K。；Moon，J.W.，《关于改进分区》，J.Lond。数学。《社会学杂志》，第2-9、4565-570页（1975年）·Zbl 0312.05008号 [11] 约瑟夫·费尔森斯坦（Joseph Felsenstein），《进化树的数量》（The number of evolutional trees），系统。生物学，27，1，27-33（1978年3月） [12] 罗宾·福曼，细胞复合体的莫尔斯理论，高级数学。，134, 1, 90-145 (1998) ·Zbl 0896.57023号 [13] 马西奥·加梅罗；平冈、靖国；Obayashi，Ippei，通过持久性图延续点云，Physica D，334118-132（2016）·Zbl 1415.55006号 [14] 罗伯特·格里斯特；雷切尔·莱万格（Rachel Levanger）；Mai，Huy，持久同调和Euler积分变换，J.Appl。计算。白杨。，2, 1, 55-60 (2018) ·兹比尔1461.58006 [15] 卡纳里，L。；Dictus，H。；Chalimourda，A。；Van Geit，W。；科斯特，B。；Shillock，J。；Hess，K。；Markram，H.，皮层树突形态的计算合成（2020年6月），BioArXiv [16] 卡纳里，L。；Dłotko，P。；斯科拉米耶罗，M。；列维·R。；Shillock，J。；Hess，K。；Markram，H.，分支神经元形态的拓扑表示，神经信息学，16，1，3-13（2018年1月） [17] 卡纳里，L。；拉马斯瓦米，南卡罗来纳州。；Shi，Y。；莫兰德，S。；梅斯特尔，J。；佩林，R。；阿卜杜拉，M。；Wang，Y。；Hess，K。；Markram，H.，新皮质锥体细胞的客观形态学分类，大脑皮层，291719-1735（2019） [18] 利达·卡纳里；阿德利·加林；凯瑟琳·赫斯（Kathryn Hess），《从树到条形码再回来：理论和统计观点》，《算法》，第13期（2020年） [19] Risi，Kondor，机器学习中的群体理论方法（2008年1月），哥伦比亚大学，博士论文 [20] Michael Lesnick，《多维持久性模块的交错距离理论》，Found。计算。数学。，15, 3, 613-650 (2015) ·Zbl 1335.55006号 [21] 雅各布·莱戈尼（Jacob Leygonie）；Tillmann，Ulrike，简单复合物的持久同源纤维（2021），arXiv预印本·Zbl 1502.55006号 [22] Clément玛丽亚；史蒂夫·乌多特（Steve Oudot）；Solomon，Elchanan，通过距离内核嵌入实现的内部拓扑变换（2019），arXiv预打印 [23] 莫罗佐夫，D。；凯内斯·贝克塔耶夫（Kenes Beketayev）；Weber，G.，《合并树之间的交错距离》（2013） [24] 史蒂夫·乌多特（Steve Oudot）；Solomon，Elchanan，《度量图的条形码嵌入》（2017），arXiv预印本·Zbl 1478.55003号 [25] 史蒂夫·乌多特（Steve Oudot）；Solomon，Elchanan，拓扑持久性中的逆问题，（拓扑数据分析（2020），Springer），405-433·Zbl 1447.55006号 [26] Elchanan Solomon；亚历山大·瓦格纳（Alexander Wagner）；Paul Bendich，《从几何到拓扑：分布式持久性的逆定理》（2021），arXiv预印本 [27] Xu，Chenguang，舒伯特细胞与持久性图的对应（2020），京都大学，硕士论文，导师：Yasuaki Hiraoka [28] 严林；王玉树；伊丽莎白·蒙克；埃伦·加斯帕罗维奇（Ellen Gasparovic）；Wang，Bei，用于不确定性可视化的标记合并树的结构平均值（2019），CoRR 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。