约翰·C·贝兹。；亚伦·D·劳达。 分类物理学的史前史。 （英语） Zbl 1236.81006号 Halvorson，Hans（编辑）等人，《深层美》。通过数学创新了解量子世界。论文基于2007年10月3日至4日在美国新泽西州普林斯顿举行的深度美容研讨会上的陈述。剑桥：剑桥大学出版社（ISBN 978-1-107-00570-9/hbk；978-1-139-06608-2/电子书）。13-128 (2011). 正如作者所说，这篇论文“是一篇高度主观的年表，描述了物理学家如何开始在他们的工作中使用范畴理论的思想，但往往没有明确说明这一点。”他们从狭义相对论和量子力学的发现开始，到21世纪初结束。由于二十一世纪的事态发展如此之大，作者们已经放弃了正确的观点。年表以引用自麦克斯威尔【物质和运动。约瑟夫·拉莫尔（Joseph Larmor）的注释和附录。1876年原版的重印。1876年间原版的再印。纽约州阿默斯特（Amherst）：普罗米修斯（Prometheus）图书公司（2002；Zbl 1060.01011号)]. 第二个是H.Poincaré的基本群[J.de l’etc.Pol.（2）I.1–123（1895；JFM 26.0541.07号)]暗示空间与对称的统一，这后来成为范畴理论的主题之一。第三个是H.A.洛伦兹转换[Leiden.E.J.Brill.139 S.（8^\circ）（1895；JFM 26.1032.06号); 同上，138 S.（8^\circ）（1895年；JFM 25.1632.01号); 金额。阿克。Versl.版本。12, 986–1009 (1904;传真：35.0837.03)]. 第四次是再次H.Poincaré[C.R.科学院，巴黎140，1504–1508（1905；JFM 36.0911.02号)]作为狭义相对论形成的关键人物。第五个是A.爱因斯坦《物理学年鉴》（Ann.der Phys.）（4）第17卷第891页至第921页（1905年；JFM 36.0920.02号)]作为狭义相对论的发明者。第六个是明可夫斯基[Nachr.Ges.Wiss.Göttingen，数学-物理Kl.1908，53–111（1908；JFM 39.0909.02号)]为他的Minkowski时空。接下来的两个是海森堡【中物33，879–893（1925；JFM 51.0728.07号)]和M.出生【中物37，863–867（1926；JFM 52.0973.03号)]. 似乎作者在归因于波恩对（psi^{ast}）解释的发现时犯了一个错误在作为概率密度函数的薛定谔方程中，他获得了诺贝尔奖，并不是在1926年，当时薛定谔的著名方程被称为薛定谔方程，而是神秘地到了1928年。众所周知，爱因斯坦反对这种解释，他说上帝不掷骰子。第九和第十是J.von Neumann（冯·诺依曼）【《数量数学》（Mathematische Grundlagen der Quantentheorie），柏林：朱利叶斯·斯普林格（Julius Springer）（1932；Zbl 0005.09104号)]和维格纳[数学年鉴（2）40，149-204（1939；Zbl 0020.29601号)]分别是。第十一个是[S.艾伦伯格和S.麦克莱恩，事务处理。美国数学。Soc.58231-294（1945年；兹比尔0061.09204)]，发明了一个类别的概念。第十二次是1947年费曼在庇护所岛的一次小型会议上发表的著名演讲，它超越了除施温格之外的大多数物理学家的理解。评论员想提一下[A.Wüthrich公司费曼图解的起源。多德雷赫特：施普林格（2010；Zbl 1226.81008号)]作为一个很好的参考。第十三个是C.N.杨和R.Mills公司麦克斯韦方程的推广[“同位素自旋和同位素规范不变性的守恒”，Phys.Rev.96，No.1191-195（1954；doi:10.1103/PhysRev.96.191)]这就是现在所说的杨美尔理论。第十四个是S.麦克莱恩《Rice Univ.Stud.49，No.4，28-46》（1963；Zbl 0244.18008号)]. 第十五个是F.W.劳弗尔他的功能语义学论文【Repr.Theory Apply Categ.2004，No.5，1–121（2004；Zbl 1062.18004号)]其影响在[J.M.Boardman先生和R.M.沃格特拓扑空间上的同伦不变代数结构。约克：Springer-Verlag（1973；Zbl 0285.55012);S.麦克莱恩，公牛。美国数学。《社会分类》第71、40–106页（1965年；Zbl 0161.01601号);J.P.梅，迭代循环空间的几何。约克：斯普林格·弗拉格（1972；Zbl 0244.55009号)]等等，得出了“Segal和Atiyah在20世纪80年代后期提出的共形场理论和拓扑量子场理论的定义。”J.贝纳布et al.’s introduction of bicategories[《中西部类别研讨会报告》（Reports of Midwest Category Seminar），约克：斯普林格·弗拉格（Springer-Verlag）（1967；兹比尔0165.33001)]. 第十七个是R.彭罗斯[in：《数学应用组合》，牛津大学数学研究所，1969年，221-244（1971年；Zbl 0216.43502号)]. 第十八个是[G.庞扎诺和T.雷吉，in：F.Bloch等人，物理学中的光谱学和群论方法。阿姆斯特丹：North-Holland Publishing Company。75–103 (1968;Zbl 0172.27401号)]，“在彭罗斯的自旋网络理论被发明之前，他就应用了该理论，将四面体形状的自旋网络与三维时空中的引力联系起来。第十九个是格罗森迪克的《追求堆叠》，这是1983年写给D·奎伦的一封很长的信，他在信中“幻想关于（n）-更高（n）–偶数（n=infty）–的范畴及其与同伦理论的关系。”第二十个是20世纪80年代爆发的弦论。评论员想提一下[R.布卢门哈根等，弦论的基本概念。柏林：施普林格（2012；Zbl 1262.81001号)]作为该学科的推荐教材，尽管[M.B.格林等，超弦理论。第1卷：导言。第2卷：回路振幅、异常和现象学。剑桥等：剑桥大学出版社（1987；Zbl 0619.53002号)]在上述教科书上是显而易见的。正如量子场论中的一维费曼图本质上被描述弦理论中弦世界表的二维图所取代一样，范畴的数学应该被双范畴的数学所取代。第二十一个是[A.乔亚尔和R.街道高级数学。102，第1期，20–78页（1993年；Zbl 0817.18007号)]. 第二十二个是[V.F.R.琼斯，公牛。美国数学。Soc.，新Ser。12, 103–111 (1985;Zbl 0564.57006号)]. “琼斯的工作引导研究人员在冯·诺依曼代数、更高范畴和二维和三维时空中的量子场论之间建立了大量有趣的联系。”[P.弗雷德等人，Bull。美国数学。Soc.，新Ser。12, 239–246 (1985;Zbl 0572.57002号)]和[Zbl 0638.57003号]. 第二十四天是[V.G.Drinfel的，在：过程。国际会议。数学。，伯克利/加州，1986年，第1卷，798–820（1987；Zbl 0667.16003号)]这是“在低维物理中，对完全可以解决的问题所做的一系列工作的最高成果”。二十五是[G.B.西格尔，in：《理论物理中的微分几何方法》，Proc。第16届国际会议，北约高级研究研讨会，1987年科莫/意大利，北约ASI Ser。，序列号。C 250，165–171（1988；Zbl 0657.53060号)]提出了描述共形场理论的公理。第二十六个是[M.Atiyah先生，公开。数学。，上议院。科学。68, 175–186 (1988;Zbl 0692.53053号)]，其目标是使[威滕、Commun。数学。物理学。117，第3期，353–386（1988年；Zbl 0656.53078号)]. 具有讽刺意味的是，“这些不变量导致了我们对四维拓扑的理解的一场革命”，而它从未成功地处理过唐纳森理论。第二十七个是R.H.Dijkgraaf先生“根据交换Frobenius代数对二维拓扑量子场理论进行纯粹的代数表征”，载于《二维共形场理论的几何方法》，荷兰乌得勒支大学（博士论文）（1989年）。第二十八个是[S.Doplicher公司和J.E.罗伯茨，发明。数学。98，第1期，157-218（1989年；Zbl 0691.2202号)]这表明“人们可以从一个相当一般的量子场论开始，计算它的规范群，而不是用手把它放进去”。第二十九个是[N.Yu。雷谢提钦和V.G.图雷夫、Commun。数学。物理学。127，第1，1-26号（1990年；兹比尔0768.57003)]，其中作者总结了一些现代形式的量子群理论[威滕高级服务。数学。物理学。9, 239–329 (1989;Zbl 0726.57010号); 同上17，361-451（1994年；Zbl 0818.57014号)]通过使用三维时空中称为Chern-Simons理论的规范场理论，给出了琼斯多项式的本质三维描述。第三十一个是由C.罗维利和L.斯莫林在[“量子广义相对论的环空间表示”中，Nucl.Phys.B331，No.1，80–152（1990；doi:10.1016/0550-3213（90）90019-A)]. 第三十二个是[M.卡西瓦拉杜克大学数学系。J.63，第2期，465–516（1991年；Zbl 0739.17005号); 同上，69，第2号，455–485（1993年；Zbl 0774.17018号); Commun公司。数学。物理学。133，第2249-260号（1990年；Zbl 0724.17009号)]和[G.卢斯提格《美国数学杂志》。Soc.3，No.2，447-498（1990年；Zbl 0703.17008号); 同上4，第2号，365-421（1991年；兹比尔0738.17011);I.格罗诺夫斯基和G.卢斯提格，内容。数学。153, 11–19 (1993;Zbl 1009.17502号)]与规范基有关。他们的外观暗示“量子群只是更有趣结构的影子，其中规范基元素成为范畴的对象，乘法成为该范畴中的张量积，加法成为该类别中的直接和”，这可以称为分类量子群。第三十三个是[M.M.卡普兰诺夫和V.A.沃沃德斯基，程序。交响乐团。纯数学。56, 177–259 (1994;Zbl 0809.18006号)]，起始于（2）-向量空间和现在被称为编织单体双范畴的东西。本文作者认为，正如Yang-Baxter方程的任何解都给出了一个编织单体范畴一样，Zamolodchikov四面体方程的任何求解都给出了编织单体双范畴。第三十四条是[N.Reshetikhin和V.G.图雷夫，发明。数学。103，第3期，547–597（1991年；Zbl 0725.57007号)]，从量子群构造3流形不变量，这些不变量后来被视为成熟的三维拓扑量子场理论的一部分，称为Witten-Reshetikhin-Turaev理论。第三十五个是[V.G.图雷夫和O.Y.病毒《拓扑31》，第4期，865–902（1992；Zbl 0779.57009号)]从量子SU（2）的模范畴出发，构造了另一个3-流形不变量。它现在被称为成熟的三维拓扑量子场理论的一部分，它与维滕·雷谢蒂钦·图拉耶夫理论的关系“微妙而有趣”[福马先生等，Commun。数学。物理学。161，第157-175号（1994年；Zbl 0797.57012号)]“找到了一种从半单代数构造二维拓扑量子场理论的方法”。作者“基本上创造了一个将任何二维坐标变换成弦图的方法”，并通过一些额外的工作，给出了一个称为“（Z）”的拓扑量子场论。第三十七个是[J.W.巴雷特和B.W.韦斯特伯里，事务处理。美国数学。Soc.348，No.10，3997–4022（1996；Zbl 0865.57013号)]这可以被视为“福岛豪森-卡瓦伊建筑的绝对版本”。第三十八个是[V.G.图雷夫、J.Differ。地理。36，第1期，35-74（1992年；Zbl 0773.57012号)]，后面是[V.G.图雷夫、纽结和3-流形的量子不变量。柏林：Walter de Gruyter（1994；兹比尔0812.57003)]“相当于Traev-Viro-Barrett-Westbury建筑的四维模拟”。三十九号很有名[V.G.图雷夫、纽结和3-流形的量子不变量。柏林：Walter de Gruyter（1994；兹比尔0812.57003)]基于Witten的思想，对量子群有了更深入的理解。第四十个是[R.J.劳伦斯，in：量子拓扑。基于1992年10月30日至11月1日在美国数学学会大会上于美国俄亥俄州代顿举行的AMS拓扑量子场论特别会议。新加坡：世界科学。191–208 (1993;Zbl 0839.57017号)]然后是[R.J.劳伦斯J.Pure应用。《代数100》，第1–3期，第43–72页（1995年；Zbl 0827.57011号)]. “关键的一点是，我们可以用几个标准的构建块来构建任何维度的时空，这些构建块可以用一些标准的方式局部粘合在一起”。第四十一个是[L.起重机和I.B.Frenkel（法国），J.数学。物理学。35，第10期，5136–5154（1994年；Zbl 0892.57014号)]讨论“提供各种低维拓扑量子场理论的代数结构”。第四十二个是[D.S.自由、Commun。数学。物理学。159，第2期，343–398（1994年；Zbl 0790.58007号)]展示“高维代数结构是如何从拓扑量子场论的拉格朗日公式中自然产生的”。这个四十三分之一是[康采维奇（M.Kontsevich）1994年8月3日至11日，瑞士苏黎世，国际数学家大会会议记录。第一卷巴塞尔：Birkhä用户。120–139 (1995;Zbl 0846.53021号)]，“这导致了将弦论与更高范畴结构联系起来的大量工作”。第四十四个是[R.戈登等，成员。美国数学。Soc.558，81页（1995年；Zbl 0836.18001号)]这“是对埃克曼-希尔顿（Eckman-Hilton）直截了当的论点的精确阐述”。现在我们终于明白了[J.C.贝兹和J.多兰，J.数学。物理学。36，第11号，6073-6105（1995年；Zbl 0863.18004号)]作为第四十五名。它的关键部分是类别周期表。最后一个（第四十六个）是[M.霍瓦诺夫杜克大学数学系。J.101，第3期，359–426（2000年；兹比尔0960.57005)].作者表示，他们是科学家，而不是科学史学家，因此他们试图提出具体的科学观点，而不是准确描述复杂事件序列中的每一个转折。但评论员应该遗憾地说，即使是作为科学家，作者也没有做出应有的努力，在参考文献和引文中做到准确和充分。尽管如此，该论文还是成功地遵循了各种想法的线索，并将它们交织在一起。作者讲述的故事非常有趣，甚至令人激动。此外，作者尝试了通过对类别的一般介绍，努力使论文更容易阅读。范畴的应用大约在20世纪80年代才开始，特别是在弦理论和圈量子引力的自旋泡沫模型中。应该一再强调，这些物理理论目前是推测性的，根本没有准备好进行实验测试。物理学的历史充满了导致惨败的理论（例如卡鲁扎·克莱因理论）。因此，作者谨慎而明智地选择了用史前史来代替历史。关于整个系列，请参见[Zbl 1222.81033号].审核人：Hirokazu Nishimura（筑波） 引用于7文件 MSC公司： 81第05页 量子理论中的一般问题和哲学问题 81-03 量子理论史 00A79号 物理 01A60型 20世纪数学史 01A61号 21世纪数学史 关键词：\（n\）-类别；环量子引力；弦理论；量子理论；费曼图；范畴理论；拓扑量子场论；电磁学；单体范畴；功能语义学；杨美尔理论；自旋网络；共形场理论；二分类；琼斯多项式；低维拓扑；唐纳森理论；量子群；标准基；编织单体双范畴；半单代数；埃克曼-希尔顿论点；弗罗贝尼乌斯代数 引文：Zbl 0020.29601号；兹比尔0061.09204；Zbl 1226.81008号；Zbl 0244.18008号；Zbl 1062.18004号；Zbl 0285.55012；Zbl 0244.55009号；Zbl 0165.33001号；Zbl 1262.81001号；Zbl 0817.18007号；Zbl 0564.57006号；Zbl 0572.57002号；Zbl 0638.57003号；兹比尔0667.16003；Zbl 0657.53060号；Zbl 0692.53053号；Zbl 0656.53078号；Zbl 0691.2202号；Zbl 0768.57003号；Zbl 0726.57010号；Zbl 0818.57014号；Zbl 0739.17005号；Zbl 0774.17018号；Zbl 0724.17009号；Zbl 0703.17008号；Zbl 0738.17011号；Zbl 1009.17502号；Zbl 0809.18006号；Zbl 0725.57007号；Zbl 0779.57009号；Zbl 0797.57012号；Zbl 0865.57013号；Zbl 0773.57012号；Zbl 0812.57003号；Zbl 0839.57006号；Zbl 0839.57017号；Zbl 0827.57011号；Zbl 0892.57014号；Zbl 0790.58007号；Zbl 0846.53021号；Zbl 0836.18001号；Zbl 0863.18004号；Zbl 0960.5705号；JFM 26.0541.07号；JFM 25.1632.01号；传真：35.0837.03；传真：36.0911.02；JFM 36.0920.02号；JFM 39.0909.02号；JFM 51.0728.07号；JFM 52.0973.03号；Zbl 0172.27401号；Zbl 1060.01011号；JFM 26.1032.06号；Zbl 0005.09104号；Zbl 0161.01601号；Zbl 0216.43502号；Zbl 0619.53002号 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{J.C.Baez}和\textit{A.D.Lauda}，in：深层美。通过数学创新了解量子世界。论文基于2007年10月3-4日在美国新泽西州普林斯顿举行的深度美容研讨会上的陈述。剑桥：剑桥大学出版社。13-128（2011年；Zbl 1236.81006） 全文： arXiv公司