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克劳迪奥·贝尔纳迪

关于函数图形下方的区域。 （英语） Zbl 1331.54020号

波尔。意大利统一材质。 8、1号、1-8（2015）.
作者讨论了定义为（H_f={（x，y）\mid-y\leqf（x）\}）的函数（f:mathbb R\to\mathbb R）的子图（H_f）何时连通的问题，即位于\（f）图上或图下的点集。在开始部分，给出了两个下划线断开的函数的简单示例。还回顾了两个概念，即加性函数和处处猜想，其定义如下：
a）
如果函数（f:mathbb R\tomathbb R）对所有（x）和（y）都满足柯西函数方程（f（x+y）=f（x）+f（y）），则称其为可加函数。事实上，当加法群\（\mathbb R\）被视为域\（\mathbb Q\）上的向量空间时，函数\（f\）是加法的当且仅当它是线性映射。
b）
一个函数（f:mathbb R\tomathbb R）被称为处处满射（或强Darboux函数），如果对于每个区间（（A，b））和每个（y），在（A，b）中都有一个（x\）使得（f（x）=y\）。

本文证明，如果（H_f）在（mathbb R^2）中稠密，则（H_f\）是连通的；特别地，任何不连续可加函数的下图都是连通的，对于处处满射也是如此。
连通子图和路径连通子图的特征确定如下：
定理：设\（H_f\）是函数\（f:\mathbbR\ to \mathbb R\）的下划线。以下是等效的：
1.集合\（H_f\）是连通的；
2.在mathbb R\中没有这样的\（x_0\），即\（\lim_{x\ to x_0-}\，\，f（x）=-\infty\）或\（\lim_{x\to x_0+}f（x
3.对于每个区间\（a，b）\都有一个数\（M\），使得集合\（{x\在（a，b）\mid-f（x）\geqM\}\）的闭包包含\（a\）和\（b\）。
定理：以下是等价的：
1.集合\（H_f\）是路径连接的；
2.不存在这样的\（x_0\ in \mathbb R\）：\（\lim\inf_{x\ to x_0}\，\，f（x）=-\infty\）；
3.在每个闭的有界区间（I）中，函数是从下面有界的（即存在一个数（M），使得（I）的所有（x）都有（f（x）geq M））。
此外，在这种情况下，获得了连通但非路径连通平面集的简单示例（实际上，具有无数路径分量）。
审核人：Chanchal Kumar Basu（加尔各答）

引用于三文件

MSC公司：

54D05型 连通和局部连通空间（一般方面）
26A30型 奇异函数、康托函数、具有其他特殊性质的函数
54G99型 特殊拓扑空间
97I20型 映射和功能（教育方面）

关键词：

下划线;连接的集合;路径连通集;加法函数;处处满射（或强Darboux函数）
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{C.Bernardi}，Boll。Unione Mat.意大利语。8，第1号，1--8（2015；Zbl 1331.54020）
全文： 内政部

参考文献：

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