托马斯·声纳 无限的悖论——如何将一个球变成两个球。（Paradoxien des Unendlichen–wie man aus einer Kugel zwei macht） （德语。英文摘要） Zbl 1304.01009号 棒球手套。，高ß-Ges。哥特。 50, 9-20 (2013). 本文是作者在高雄学会50周年之际发表的一篇演讲的修订稿。在导言中，他给出了卡尔·弗里德里希·高（Carl Friedrich Gauß）于1831年写给他的弟子海因里希·克里斯蒂安·舒马赫（Heinrich Christian Schumacher）的关于无限的陈述：“……所以抗议者ich zuvörderst gegen den Gebrauch einer unendlichen Gröe als einer vollendeten，在Mathematik niemals erlaubt ist.Das Unendliche is nur eine façon de parler，indem man eigentlich von Grenzen spricht，denen gewisse Verhältnisse so nahe kommen als man will，während anderen ohne Einschränkung zu wachsen gest”尝试是……”英文翻译（摘自维基百科）：“…[我]抗议使用无穷大作为完成的东西，这在数学中是不允许的。无穷大只是一种说法，真正的含义是一个极限，某些比率无限接近，而其他比率则可以无限增加……”但高在这方面是错误的。在文章的以下章节中，作者遵循了数学中“无限”这一主题的历史。首先，他引用了伽利略·伽利略著名的证据，证明自然数和偶数一样多。著名的“希尔伯特酒店”可以说明这一点和其他奇怪的事情。此外，作者还指出，自然数和负数与有理数一样也是可数的。实数必须是另一种无穷大，因为它们是不可数的。作者使用了Georg Cantor介绍的常见间接证明。在接下来的章节中，他将介绍二维和三维场景。20世纪，亨利·勒贝格（Henri Lebesgue）发展了一种测度理论，从而有可能在欧几里得空间中构造和分析非常奇怪的集合。1914年，费利克斯·豪斯多夫[数学年鉴75，428–433（1915；JFM 45.0128.05号)]发现了一种将球体表面分割成两部分的方法，每一部分都是给定球体的精确副本。1924年，斯特凡·巴纳赫和艾尔弗雷德·塔斯基将这个矛盾的结果推广到整个球[Fundam.Math.6244-277（1924；JFM 50.0370.02标准)].在他的论文中，作者遵循了S.货车【巴纳赫-塔斯基悖论。剑桥等：剑桥大学出版社（1985；Zbl 0569.43001号)]和L.M.Wapner先生[澳大利亚1马赫2。Wie Mathematiker Kugeln verdoppeln公司。Transl.公司。哈拉尔德·霍夫纳和布里吉特·波斯特的《美国人》。海德堡：Spektrum Akademischer Verlag（2008；Zbl 1151.00008号)]. 他没有提出新的想法，但他对数学中的“无限”这一主题给出了清晰的概述。审核人：Silke Göbel（柏林） MSC公司： 01A05号 通史、源书 01A55号 19世纪数学史 01A60型 20世纪数学史 03E25型 选择公理和相关命题 03E99型 集合论 97A30型 数学教育史 关键词：无穷;豪斯多夫佯谬;巴纳赫-塔斯基悖论;选择公理 引文：Zbl 0569.43001号;Zbl 1151.00008号;JFM 45.0128.05号;合同格式50.0370.02 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{T.声纳}，米特。，高ß-Ges。哥特。50，9-20（2013年；兹bl 1304.01009）