博格丹·亚历山德鲁·杜米特里斯库 正三角多项式和信号处理应用。 （英语） Zbl 1126.93005号 信号与通信技术多德雷赫特：施普林格（ISBN 978-1-4020-5124-1/hbk；978-90-481-7288-7/pbk；978-1-4020-5125-8/电子书）。xiv，241页。(2007). 系统和信号理论中的几个结果可以从多项式正性条件统一导出，并用半定规划进行数值处理，半定规划是线性规划到半正定矩阵锥的广义推广。在代数、几何、优化和工程之间的领域架起桥梁。继N.Z.Shor（1987年）和后来的J.B.Lasserre、Y.Nesterov或P.A.Parrilo（2000年）的主要贡献之后，2005年出版了第一本关于这一主题的书，作为该领域专家的贡献集：[D.亨利安（编辑）和A.加鲁利（编辑），控制中的正多项式。柏林：斯普林格。(2005;Zbl 1059.93002号)]. 本卷主要关注多项式正性条件的控制应用。正在审查的这本书是对这一主题的新贡献，重点是信号处理应用。据这位评论家所知，这是关于这一新兴研究领域的第一份独立的手稿，因此它是对技术文献的一个受欢迎的及时贡献。这本书是由一位自2000年代初以来一直活跃在该领域的研究人员撰写的。这本书是技术性的，主要面向研究人员或工程师，尽管对凸优化和信号处理感兴趣的研究生可能会发现，散布在整个文本中的许多数值示例很有趣。本书分为两个主要部分：第1-4章是关于理论的，第5-8章是关于应用的。第一章和第二章介绍了一元三角多项式，即单位圆上具有复数不定项的多项式。主要的观察结果是，一元正三角多项式的凸锥是半定可表示的：它可以表示为线性矩阵不等式（LMI）的投影。通过许多信号处理研究人员熟悉的谱因子分解和代数Riccati方程的标准结果，重新审视了这一核心结果。第三章介绍多元三角多项式，即单位圆上具有多个复不定项的多项式。多元正多项式锥的几何结构比单变量情形复杂得多。使用与单变量情况类似的Gram（二次型）表示，半定特征很容易用于多变量多项式的锥\（S_d\），这些锥\（S_d\）是至多\（d\）次的多变量多项式的平方和（SOS）。然而，一般来说，这个锥是非负次多项式锥的严格子集。换句话说，在\（P_d\）中有多项式，但在\（S_d\）中没有多项式。有趣的是，对于足够大的（f\geq d），至多（d）的严格正次多项式的集合（P^+d）包含在\（S_f）中。此外，还没有已知的例子表明\（P_d）中的多项式不在\（S_f）中，对于\（f\ge d）足够大，请参阅第70页底部的讨论。因此，在实践中，对多元三角多项式强制执行正或非负约束相当于强制执行足够大的LMI约束。换句话说，正多项式上的优化归结为半定规划，自20世纪90年代中期以来，已经开发了许多原对偶内点求解器。然而，主要限制是当前可用解算器的性能，从稳定性和计算负担来看，这些解算器是原型软件，与商业专业线性规划解算器相比仍有很大差距。从积极的方面来说，本书后面描述的所有数值示例都证实了以下观察结果：当（f-d>0）增加时，（P_d）和（S_f）之间的间隙会很快消失，因此不需要解决非常大的LMI问题来获得工程相关的结果。第四章将第三章的结果推广到半代数集上的正多项式。紧致集上实多项式正的标准结果被转换为三角多项式。特别是，提出了Putinar定理（定理4.11）和Stengle正定理（定理4.36）的三角形式，用多项式SOS表征了多项式不等式和方程组的解的不存在性。本书的第二部分，第5-8章，着重于三角正多项式的信号处理应用。在第5章有限脉冲响应（FIR）滤波器设计和第6章滤波器组设计中，使用了单变量正性的LMI特征。滤波器参数非凸的设计问题变成了滤波器平方量级的凸LMI。然后通过谱分解恢复滤波器。第5章和第8章在二维FIR和无限脉冲响应（IIR）滤波器设计的背景下，对二元多项式正性使用半定松弛。具有由各种曲线（圆、椭圆、菱形）定义的二维通带和阻带的滤波器可以以较低的计算成本进行设计。第7章主要讨论了通过多项式系数空间中非凸稳定区域的正多项式和凸内逼近进行多维稳定性检验。在这些应用章节中，通过许多令人信服的数值示例对技术和算法进行了大量说明，显示了作者在解决具有挑战性的滤波器设计问题方面的专业知识。最受欢迎的是书中列出和评论的Matlab脚本，也可以从作者的网页下载。这些脚本说明了书中描述的方法背后的主要计算成分。特别是，作者使用SeDuMi作为半定规划求解器。SeDuMi（用于自对偶最小化）是由J.F.Sturm与加拿大麦克马斯特大学的信号处理小组密切合作于20世纪90年代末开发的一种原对偶内点方法的实现。这可能解释了SeDuMi在处理信号处理中产生的半定问题时的良好性能，以及作者相对于目前可用的十几个其他半定解算器的偏好。就计算工具而言，作者提到SOSTOOLS（由Papachristodoulou、Parrilo和Prajna于2002年编写）是一个Matlab软件包，用于寻找实多元多项式的SOS分解。可选的uncited软件包有GloptiPoly（由Henrion和Lasserre编写，2002年），专门针对全局多项式优化和广义矩问题进行定制，以及YALMIP（由Johan Löfberg编写，2000年），它是一个通用优化解析器，具有用于SOS和矩问题的专用模块。GloptiPoly和YALMIP的许多功能，特别是全局最优性检测、全局优化器提取和半正定多项式矩阵，在SOSTOOLS中不可用。所有这些软件包都是用户友好的，有良好的文档记录并且可以公开使用。消极的一面是，尽管这本书涉及三角正多项式，但作者经常提到它们的实际对应项，更多的是在技术文献中进行研究。在书中，作者多次从三角案例转移到真实案例，反之亦然（例如第4章）。有时这会带来一些符号上的困难，可能会让读者感到困惑。在这位审稿人看来，将实际多项式的结果收集到专门的章节或章节中以供参考可能更为合适。这本书的另一个令人失望的特点，在这位评论家看来，是完全缺乏与三角矩问题的联系，三角矩是复杂函数分析的核心组成部分。正如作者在序言的最后一段中所提到的，这一遗漏是故意的。然而，平方和和矩之间的良好相互作用，以及与半定规划对偶性的联系，在很大程度上揭示了[J.B.拉塞尔，SIAM J.Optim。11，第3期，796–817（2001年；兹比尔1010.90061)]，最近在[M.Laurent.平方和、矩矩阵和多项式优化中进行了全面调查。CWI阿姆斯特丹预印本，荷兰，2007年10月；参考。Zbl 1163.13021号]，远不止是纯粹的数学兴趣。例如，在手稿的许多地方，作者在无法确保全局最优性的情况下猜测全局最优性（参见示例3.18）。然而，矩矩阵分区中的秩模式允许证明全局最优性以及正态性和SOS之间没有差距。此外，考虑力矩公式时，术语松弛（见第77页脚注中的讨论）的含义更为明确，力矩公式是多项式最小化背景下的真正原始公式。关于多项式乘数存在性的SOS公式实际上是一个对偶问题。然而，要对SOS和矩之间的对偶性进行详尽的介绍，并在三角多项式优化的背景下使用测度理论，则需要对本书进行重大扩展。作者的选择是对三角多项式正态性进行更简洁的处理，因此必然是不完整的。总之，Dumitrescu的书对凸优化和工程中使用正多项式的技术文献做出了及时而重要的贡献，这是介于代数几何、函数分析和数学规划之间的一个新兴研究领域。据这位审稿人所知，这是第一份涉及这一主题的独立手稿，它以分散形式收集了大多数最新的结果，如会议论文、期刊论文和技术报告。这位评论家特别喜欢每章结尾的参考书目和历史注释，这些注释提供了额外的非技术性见解。系统地使用说明性的数值示例，并辅以Matlab脚本，使缺乏经验的读者能够掌握基本思想，而无需理解所有的数学潜台词。特别是，信号处理工程师应该会从阅读这本书中受益匪浅，这本书为他们提供了一种强大而有用的方法，可以使用离线软件设计复杂的滤波器。最后，在整本书中，作者提出了几个有前途的研究方向，包括表示多项式的替代基及其对半定规划求解器数值行为的影响，或使用对称或稀疏模式来降低整体计算复杂性。审核人：Didier Henrion（图卢兹） 引用于1审查引用于48文件 理学硕士： 93-02 与系统和控制理论相关的研究展览（专著、调查文章） 90C22型 半定规划 93C55美元 离散时间控制/观测系统 94A99型 通信、信息 关键词：信号处理;滤波器设计;半定规划 引文：Zbl 1059.93002号;Zbl 1010.90061号;Zbl 1163.13021号 软件：GloptiPoly公司;Sostools公司;SDPT3系统;Matlab公司;塞杜米;YALMIP公司 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{B.A.Dumitrescu}，正三角多项式和信号处理应用。多德雷赫特：施普林格（2007；Zbl 1126.93005） 全文： 内政部