弗洛里、塞西莉亚 拓扑量子理论的第二门课程。 （英语） Zbl 1398.81002号 物理课堂讲稿944.查姆：施普林格（ISBN 978-3-319-71107-2/pbk；978-3-3169-71108-9/电子书）。xiv，第342页。(2018). 过去50年理论物理学的主要挑战之一是定义量子引力理论，即始终结合广义相对论和量子理论的理论，以定义时空本身被视为波动场的理论。造成这种困难的原因是广义相对论和量子理论提出的时空的看似不相容的作用。事实上，一方面，在广义相对论中，虽然四维度量和关联的存在都是从头开始假定的，但它们都被认为是动力学量，并且没有时空的优先叶理。另一方面，量子理论假设一个固定的（关于其可微结构和度量）时空，这是该理论的数学形式所暗示的。例如，描述测量之间幺正演化的薛定谔方程是时间的概念是固定的，而测量过程通过进化第二定律“减少”状态向量：（{\psi}\rightarrow\frac{\partial{\hat{P}\psi{}{\paratil\|{\hat{P}\ psi}\ |}\）其中（{\hat1{P}}\）是对测量结果的投影。因此，该状态被投影到类太空表面上。显然，需要一个固定的时空几何体来定义Schroedinger方程中的时间（t）和状态向量减少的类空表面。因此，尽管在量子理论和广义相对论中，时空在数学上都是以类似的方式处理的，但它在这两种理论中的作用是非常不同的。然而，在定义量子引力理论时，将时空定义为一个可微流形的定义也进行了讨论。事实上，人们认为，在微观尺度上，时空不再是连续的，而是具有离散性。因此，量子引力的两个主要成分所提出的时空连续体结构似乎被量子引力本身所反驳。这似乎是一个奇怪的困境，但它也可能表明量子引力所需时空的数学描述应该与双成分理论提出的连续体图像截然不同。拓扑方法给出了时空的备选描述。在这种方法中，时空点的概念被时空区域的概念所取代。这些区域应解释为定义被“扩展”对象占用的区域。有趣的特征是，这些“区域”的集合具有Heyting代数结构，这是一种广义布尔代数，其中排除中间律不成立。这种以技术上称之为场所的时空的数学描述很好地符合量子引力提出的时空离散概念。这本书共有14章。在导言（第1章）中总结了“第一堂课”中涉及的主要结果[C.弗洛里，拓扑量子理论第一课程。柏林：施普林格（2013；Zbl 1280.81001号)]以便用贯穿本“第二课程”的有用概念刷新读者。在第二章中，作者解释了A.Doering最近获得的一些结果，其中表明｛子｝_{cl}（\underline{\Sigma}）不仅是一个完整的Heyting代数，而且是一个完全的co-Heiting代数，因此量子逻辑是由一个完全双Heyting代数学表示的，其中存在两种隐含和否定。在第三章中，作者解释了拓扑量子理论中描述群作用的另一种方法，以及基于光谱预置流概念的定义。作者还根据海森堡图定义了拓扑量子理论中的时间演化，其中命题在时间上演化而状态不变，而Schroedinger图中状态在时间上进化而命题保持不变。在第四章中，作者在A.Doering之后引入了反义词和可观察函数的概念。在第五章中，作者展示了如何将von Neumann代数（mathcal{N}）的自共轭算子解释为代数投影格（P（mathcal{N}）上的实值函数。这些函数称为可观测函数。作者强调，这种方法的新颖之处在于，这些实值函数与以拓扑量子理论为中心的数据库映射和量子概率都相关。在第六章中，作者证明了，如果初始von Neumann代数（mathcal{N}）是交换的，那么它可以从其交换von Newmann子代数的偏序集完全重构。然而，如果代数（mathcal{N}）不是阿贝尔的，那么它只能被重建到它的Jordan结构。这是因为（mathcal{N}）和它的对立面（mathrm{op}（mathcal{N}）具有相同的子代数集合，但它们不一定彼此同构。作者还说明了给定交换子代数的偏序集\（mathcal{N}\），如何检索von Neumann代数的Jordan信息。它允许作者从交换子代数的偏序集中恢复von Neumann代数的Jordan结构。尚待回答的问题是，是否以及如何恢复完整的冯·诺依曼结构。这可以通过添加关于交换子代数偏序集的附加信息来实现，这将允许作者检索完整的冯·诺依曼代数。在第7章中，作者描述了具有Grothendieck拓扑的范畴\（\mathcal｛C｝\）上滑轮的拓扑。在《第一堂课》中，作者遇到了拓扑空间（X）上层的定义。这个定义完全依赖于拓扑空间（X）的开集格，即拓扑。在本章中，作者还扩展了拓扑的概念，以便能够在这个更通用的“拓扑”上定义滑轮。在第八章中，作者证明了locale只是一个模拟拓扑空间的开子集格的性质的格，因此它可以被视为拓扑空间的一个广义概念。因此，也可以在现场定义滑轮。因此，作者从一个地区的预堆概念开始，然后将其扩展到一个捆的概念。在第9章中，作者解释了如何在拓扑内部定义范畴概念。为了理解拓扑量子理论的协变方法，需要对物体进行这种内部描述，作者在第10章中介绍了几何逻辑的概念。这是几何公式之间的隐含逻辑。在第11章中，作者描述了拓扑理论用于描述量子理论的不同方式。希恩称这种方法为协变拓扑量子理论。这种方法的目的一方面是通过（mathcal{C}^{star}）-代数（mathcal{a}）来描述系统，另一方面是将代数量子理论与玻尔的经典快照思想相结合，经典快照使人们能够仅在相容物理量的适当上下文中讨论物理量。这种方法与“第一课程”中描述的拓扑方法有很多相似之处。然而，主要的区别在于，在协变方法中，人们在拓扑（[mathcal{C（A）}，\mathbf{Sets}]\）内部定义了所有物理量，并且任何推理都是使用内部语言\（[mathcal}C（A。在第12章中，作者提出了拓扑量子理论对时空的另一种定义。这样的定义包括根据场所来建模时空，现在，基本的时空构建块是区域，而不是点。这个想法反映了这样一个事实，即时空点在物理上没有意义，因为真实物体占据了时空区域。如“第一课程”所述，拓扑量子理论是根据依赖于所考虑的特定物理系统的拓扑来制定的，即可观测代数交换子代数偏序集上的预升范畴。在第13章中，作者没有只研究交换子代数，而是考虑了所有交换C*-代数的所有*-同态（C（X）\rightarrow\mathcal{A}）。这样做意味着\（\mathcal{A}\）成为函子\（\mathsf{CHaus}\rightarrow\mathbf{Sets}\）。用这种方法，作者可以考虑函子范畴\（\mathbf{Sets}^{\mathsf{CHaus}}\）或滑轮范畴\（\ mathrm{Sh}（\mathsf{CHaus}）\）中对象所描述的所有物理系统。这将使作者能够同时考虑多个物理系统，从而阐明拓扑量子理论中的复合系统问题。在第14章中，作者分析了Topos量子理论中如何表示不同的量子化。总的来说，这本书非常重要，应该放在每个研究人员的书柜里，因为它涉及范畴量子理论的可列举主题；然而，书架应该足够大，一方面可以容纳大量参考出版物，另一方面可以包含关于所呈现类别的一些附加结构，否则就不可能理解书中讨论的现代量子理论。审核人：S.Moskaliuk（基辅） 引用于2评论引用于三文件 理学硕士： 81-02 与量子理论有关的研究博览会（专著、调查文章） 81S99型 一般量子力学与量子化问题 81第05页 量子理论中的一般问题和哲学问题 58A03型 可微流形的拓扑理论方法 16亿B50 结合代数中的范畴理论方法和结果（16D90中的除外） 18B30型 拓扑空间和连续映射的分类（MSC2010） 54B30型 一般拓扑学中的分类方法 83立方厘米 引力场的量子化 第81页，共15页 量子测量理论、态操作、态准备 06D20日 Heyting代数（格理论方面） 46升10 von Neumann代数的一般理论 54B40码 一般拓扑中的预升和滑轮 18对25 托波伊 81兰特 算子代数方法在量子理论问题中的应用 46升05 代数的一般理论 00A79号 物理 关键词：量子理论;范畴理论;拓扑量子理论;预升和滑轮;量化问题;量子引力 引文：Zbl 1280.81001号 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{C.Flori}，拓扑量子理论的第二门课程。查姆：施普林格（2018；Zbl 1398.81002） 全文： 内政部