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哈科比扬，赫兰特;萨里奇，德拉戈米尔

普适Teichmüller空间的Thurston边界和可视范围。 （英语） Zbl 1482.30112号

J.分析。数学。 143，第2号，681-721（2021）.
普适Teichmüller空间（mathcal{T}（mathbb{D}））是受正规化条件（即固定1，（i）和（-1）in（mathbb{S}^1）约束的所有拟对称同胚的空间。普适Teichmüller空间同胚地嵌入有界测地流空间作为Liouville测地流[F.博纳洪第二位作者，Math。附录380，编号3-41119-1167（2021；Zbl 1472.57016号)]，推广了Bonahon闭合曲面的测地电流理论[F.博纳洪，发明。数学。92，第1号，139-162（1988年；Zbl 0653.32022号)]. 第二作者[Topology 44，No.1，99–130（2005；Zbl 1082.30036号)]、和F.博纳洪第二作者[Math.Ann.380，No.3–4，1119–1167（2021；Zbl 1472.57016号)]使用此设置定义了Teichmüller空间Thurston边界化的自然推广，即添加有界投影测量层{PML}_｛bdd｝（\mathbb｛D｝）\）–由\（\mathbb）组成的空间{右}_+\)-射线有界测地电流嵌入\（mathcal{T}（mathbb{D}）\的渐近性。本文的主要目的是建立收敛性{PML}_{bdd}（\mathbb{D}），属于\（\mathcal{T}（\ mathbb}）\）中Teichmüller度量测地线的某些族。

H.马苏尔[《杜克数学杂志》第49卷，183-190页（1982年；Zbl 0508.30039号)]证明了对于闭曲面的Teichmüller空间（mathcal{T}（S）
1
唯一遍历，或
2
由有限多个圆柱体组成，
必然会聚到瑟斯顿边界上的一个点（即，投影测量的层压板空间）。情况1收敛于与垂直叶理对应的唯一投影测量层压，情况2收敛于与竖直圆柱体对应的投影均匀加权多曲线。然而，请注意，\（\mathcal{T}（S）\）上的Teichmüller度量测地线并不总是渐近收敛到\（\mathcal{PML}（S）\）的单点，请参见，例如[A.冷镇，几何。白杨。12，第1期，177-197（2008年；Zbl 1189.30086号);A.冷镇等，J.Mod。动态。12, 261–283 (2018;Zbl 1464.32016年)].
在表面上与闭合曲面理论相矛盾的情况下，作者在《Proc.Lond.Math.Soc.（3）116，No.6，1599–1628》（2018；Zbl 1394.30029号)]通过收缩任何可积全纯二次微分（这种路径称为泰克米勒射线)总是相对于弱拓扑收敛。一个理论的“普遍”概括不应表现出“特定”版本中的行为，这似乎是一个悖论，可能是由于以下因素造成的：
1
这个一致弱*拓扑，而不是弱拓扑，是有界测地线电流空间上要考虑的“正确”拓扑，并且一致弱拓扑不能保证收敛；
2
闭曲面上非零全纯二次微分的升到（mathbb{D}）是不可积的。
第二点表明，通过收缩潜在不可积全纯微分的垂直叶理（即。，广义Teichmüller射线)值得进行更深入的研究，这是第一篇系统地这样做的论文。特别地，作者表明，当（mathbb{D}）上的全纯微分诱导的欧几里德结构产生
1
这个无限长带：\（[0,1]\times\mathbb{R}\subset\mathbb{R}^2\cong\mathbb2{C}\）；
2
斯特雷贝尔烟囱：\（\{z\in\mathbb{C}\mid\operatorname{Im}（z）<0\text{或}\operatorname{Re}（z）<1\}\）；或
三。
带烟囱的一般区域：\（\mathbb{R}^2\cong\mathbb{C}\）带可数垂直狭缝\（\{a\}\ times\mathbb{右}_{\pm}\）或半条\（（b，c）\次\ mathbb{右}_{\pm}\）删除（以这样一种方式，这些删除集的第一个坐标中的单数\（\{a\}\）和区间\（（b，c）\）离散分布在\（\mathbb{R}\）上），
然后，这种（varphi）的广义Teichmüller射线收敛于（mathbb{D}）测地线上支持的Dirac测度的（投影类）线性组合，其端点位于（partial\mathbb}D}中对应于各种“无穷端点”或（varphi\）边界角的点处-（mathbb{D}）上的诱导欧几里德结构（有关显式描述，请参阅本文）。注意，作者在本文中建立了弱*收敛性，审稿人尚不清楚一致弱收敛是否成立（尽管所得结果非常合理，人们可能会质疑一致弱收敛在这种收敛失败的情况下的有用性，至少在只有有限多个删除的狭缝和半条的情况下）。
为了证明这些收敛结果，作者将验证弱*收敛所需的必要Liouville电流估计转换为模估计（引理3.7和推论3.10）。然后，为了获得某些模量相对于广义Teichmüller射线变形的行为，他们根据矩形和环形扇形上曲线族的经典模量计算，建立了上述模量的上下界。这些估计的“第一原理”性质和粗略性暗示着还有推广的余地。沿着这些主题（也许还可以通过其他类型的Teichmüller空间测地线）进行进一步的探索，这将是一件有趣的事情，这些测地线说明了封闭曲面环境中的类似收敛特性，参见[G.塞雷特安娜·阿卡德。科学。芬恩。，数学。32，第2期，381-408（2007年；Zbl 1125.30040号); 地理。Dedicata迪卡塔136、79–93（2008年；Zbl 1167.30027号);R.迪亚斯和C.系列，代数。地理。白杨。3, 207–234 (2003;Zbl 1066.32020号)]例如），我们希望这些研究能够及时地为普遍Teichmüller理论中目前使用的可积性条件提供一个限制性较小的替代。
审核人：Yi Huang（墨尔本）

MSC公司：

30层60 黎曼曲面的Teichmüller理论
32国集团15 黎曼曲面的模，Teichmüller理论（多变量的复杂分析方面）

关键词：

泛Teichmüller空间;（mathbb{S}^1）的拟对称同胚;测地线

引文：

Zbl 1472.57016号;Zbl 0653.32022号;Zbl 1082.30036号;兹比尔0508.30039;Zbl 1189.30086号;Zbl 1464.32016年;Zbl 1394.30029号;Zbl 1125.30040号;兹比尔1167.30027;Zbl 1066.32020号
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{H.Hakobyan}和\textit{D.Šarić}，J.Ana。数学。143，编号2，681--721（2021；Zbl 1482.30112）
全文： 内政部

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