阿扎朗，A。;卡拉姆扎德，O.A.S。;A.纳马齐。 环与其最大子环之间的遗传性质。 （英语） Zbl 1299.13012号 乌克兰。数学。J。 65，第7号，981-994（2013）和乌克兰。材料Zh。65，第7期，883-893（2013）；更正同上70，第4号，671-672（2018）。 为了避免不必要的琐碎，让我们假设在本文中，一个环意味着一个带（1\neq 0）的交换环，并且这些模都是幺的。我们说\（S\subseteq R\）是环的扩展，意味着\（S\）是圈\（R\）的子环\（R\）被称为\（S.\）确实\（S\）的扩展另一个环（R\）的子环在本文的建立中需要（S中的1_{R}\）。环（R）的子环（S）如果在（S）和（R）之间没有适当的环作为（R）子环，则称为最大子环。如果（R）包含最大子环，作者称之为环（RD.E.多布斯和J.夏皮罗[J.Algebra 305，第1期，185–193（2006；Zbl 1107.13010号)]如果\（R\）有一个子环\（S\），使得\（S\subseteq R\）是最小扩展，则\（R~）是次极大值。现在有很多关于最小扩张的文献，人们可能会质疑研究极大子环的价值。但这是一个方向问题，在研究最小延拓时，我们从环（s）开始，寻找最小延拓（R）并总是找到一个（Dechene[环的相邻延拓，加州大学河滨分校博士论文]）。另一方面，作者从环（R\）开始，看看是否有一个子环（S\）使得（S\subseteq R\）最小，并且有一些环不是次极大的，有限域的代数闭包就是这样一个例子（参见J.V.布拉利和G.E.Schnibben公司[有限域的无限代数扩张。当代数学，95。普罗维登斯，RI：美国数学学会（AMS）。十五、 104 p.$24.00（1989年；Zbl 0674.12009号)].在所审查的论文中，作者继续研究第一作者在[Far East J.Math.Sci.（FJMS）32，No.1，107–118（2009；Zbl 1164.13004号)]他们的重点是证明极大子环的存在性以及环与其极大子环之间的遗传性质。（遗传性质是在扩张上诱导的极大子环的性质，反之亦然，尽管在某些情况下在某些条件下。例如，如果\（R\）的最大子环是有限的，那么\（R~）必须是有限的。如定理8所示H.E.贝尔和F.格雷罗【国际数学杂志数学科学13，第3期，535–544（1990；Zbl 0711.16011号)]. 此外，如[Algebra Colloq.19，1125–1138（2012；Zbl 1294.13007号)]由前两位作者提出，如果（S）是环（R，）的最大子环，则（S）为Artinian当且仅当（R）是Artinian且在（S）上积分作者从G-域上的以下定理导出了极大子环存在性的各种证明：设（R）是一个具有（F=qf（R）\neqR）的G-域，则（F）的任何代数扩张（K）都是一个非平凡G-域的商域。结果之一是，如果（F）是一个具有非域极大子环的域，那么任何（F）-代数都是次极大的。他们使用模理论的考虑来证明关于极大子环存在性的几个结果。使用它们（a） 刻画极大子环和（b） 决定环的某些直积何时是次极大的。一个结果非常突出：一个环（R）具有不可数的Artinian（R）-模是次极大的。在“遗传性质”方面，作者证明了如果（S\）是\（R，\）的最大子环然后保持以下状态：（1） 如果\（S\）是Hilbert，那么\（R\）也是Hilbert（2） 如果\（R\）是Hilbert，且在\（S\）上积分，则\（S~）是Hilb。此外，如果\（R\）是一个积分域，\（S\）是\（R~）的最大子环，则以下成立：（1） 当且仅当（（S:R）=0）和（2） 当且仅当\（（S:R）=0\）。还讨论了其他（可能有条件的）诱导性质，如半素性、半单性和正则性。审核人：穆罕默德·扎夫鲁拉（波卡特罗） 引用于1审查引用于4文件 MSC公司： 13B99型 交换环扩展及相关主题 13甲15 交换环中的理想与乘法理想理论 13立方厘米 交换环中其他特殊类型的模和理想 13架C99 交换环中的模和理想理论 关键词：为交换环;极大子环;次极大环;G-域 引文：Zbl 1107.13010号;Zbl 0674.12009号;Zbl 1164.13004号;Zbl 0711.16011号;Zbl 1294.13007号 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{A.Azarang}等人，Ukr。数学。J.65，No.7，981--994（2013；Zbl 1299.13012） 全文： 内政部 链接 参考文献： [1] A.Azarang，“关于极大子环”，远东数学杂志。科学。，32，第1期，107-118（2009年）·Zbl 1164.13004号 [2] A.Azarang和O.A.S.Karamzadeh，“哪些字段没有最大子环”，Rend。塞明。帕多瓦马特大学，126，213-228（2011）·Zbl 1234.13009号 ·doi:10.4171/RSMUP/126-12 [3] A.Azarang和O.A.S.Karamzadeh，“关于交换Artinian环中极大子环的存在性”，J.代数应用。，9，编号5771-782010年·兹比尔1204.13008 ·doi:10.1142/S0219498810004208 [4] A.Azarang和O.A.S.Karamzadeh，“关于交换环的极大子环”，《代数Colloq.》，第19期，第1125-1138页（2012年）·Zbl 1294.13007号 [5] A.Azarang和O.A.S.Karamzadeh，“大多数交换环都有最大子环”，《代数Colloq.》，第19期，第1139-1154页（2012年）·Zbl 1294.13008号 [6] H.E.Bell和F.Guerriro，“环的有限性和交换性的一些条件”，《数学杂志》。数学。科学。，13，No.3，535-544（1990）·Zbl 0711.16011号 ·doi:10.1155/S0161171290000771 [7] D.E.Dobbs和J.Shapiro，“积分域最小环扩张的分类”，《代数》，305185-193（2006）·兹伯利1107.13010 ·doi:10.1016/j.jalgebra.2005.10.005 [8] D.Ferrand和J.-P.Olivier，“最小-最大-最小同态”，《代数杂志》，第16期，第461-471页（1970年）·兹伯利0218.13011 ·doi:10.1016/0021-8693（70）90020-7 [9] I.Kaplansky，《交换环》，芝加哥大学出版社，芝加哥（1974）·Zbl 0296.13001号 [10] O.A.S.Karamzadeh和M.Motamedi，“<Emphasis Type=”Italic“>A-Noetherian和Artinian模块”，《公共代数》，第23期，第10期，第3685-3703页（1995年）·Zbl 0838.16013号 ·doi:10.1080/00927879508825426 [11] T.Y.Lam，模块和环讲座，Springer-Verlag（1998）·Zbl 1164.13004号 [12] M.L.Modica，最大子环，芝加哥大学博士论文（1975年）。 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。