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Bruce C.伯恩特。;李俊贤;亚历山大·扎哈里斯库

最后一个问题是：拉马努扬丢失笔记本中的身份。 （英语） Zbl 1431.33005号

J.隆德。数学。社会学，II。序列号。 100，第2号，568-591（2019）.
在拉马努扬丢失的笔记本中，出现了两个美丽的恒等式，它们类似于经典的圆和除数问题。本文的主题是证明这些恒等式中的第二个。除数问题的双变量模拟形式为：（x>0）和（0<theta<1），\[\sum_{n=1}^系数F（x/n）\cos（2\pin\theta）-\frac{1}{4}+x\log\，（2\sin\pi\theta）=\frac}{2}\sqrt{x}\，S（\theta，x），\标记{1}\]哪里\[S（θ，x）=\sum_{m=1}^\infty\sum_{n=0}^\infty\left\{\frac{\mathcal{一} _1个（4πθ）}+\压裂｛\mathcal｝{一} _1个（4\pi\sqrt{m（n+\theta'）}）}{\sqrt}m（n+/\theta`）}}\right\}，\tquad\theta+\theta’=1，\]\（F（x）=[x]\）（\（x\）非整数），\{我}_\nu（x）：=-\{Y_\nu（x）+（2/\pi）K_\nu。
第一和第三作者以及S.Kim证明了这一结果，但在\（S（θ，x）\）中的求和顺序要么颠倒，要么附加条件，要么用指数的乘积\（mn \ to \ infty \）。上述结果的形式有别于丢失笔记本中唯一未经证实的Ramanujan索赔。本文以Ramanujan所述的形式提供了上述身份的证明。
由于（Y_1）贝塞尔函数的存在，和（S（θ，x））不是绝对收敛的。作者通过将分母中出现的因子（sqrt{m（n+theta）}）替换为（m^s（n+theta）^w），详细研究了这个和的扩展形式的收敛性，其中（s，w）是复参数；因子（sqrt{m（n+theta'）}）也发生了类似的变化。证明了该扩展和在所提供的\（（0,1）\）、\（operatorname{Re}（w）>1/4）和\（operatorname{Re}（s）+\ operatorname{Re}（w）>5/6）（\（x）非整数）、25/26（\（x\）一个整数）的任何紧致子区间中关于\（θ）一致收敛。这证明了（1）的两边都是关于（（0,1）的连续函数。
将（1）乘以\（sin^2\pi\theta\）（将连续域扩展到\（0\leq\theta\leq1\））后，确定了恒等式两边的傅里叶级数表示。这些结果在\（0<theta<1）中是相同的，从而建立了Ramanujan的结果。
审核人：Richard B.Paris（邓迪）

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MSC公司：

33立方厘米 贝塞尔函数和艾里函数，圆柱函数，\（{}_0F_1\）
11升07 指数和的估计
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\textit{B.C.Berndt}等人，J.Lond。数学。社会学，II。序列号。100，No.2，568--591（2019；Zbl 1431.33005）
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参考文献：

[1] G.E.Andrews、R.A.Askey和R.Roy，《特殊功能》（剑桥大学出版社，剑桥，1999年）·Zbl 0920.33001号
[2] B.C.Berndt，O.-Y。Chan，S.‐G。Lim和A.Zaherescu，“在Ramanujan丢失的笔记本中发现的可疑主张”，《实验数学中的Tapas》，《当代数学》457（编辑T.Amdeberhan（编辑）和V.H.Moll（编辑）；美国数学学会，普罗维登斯，RI，2008）69-98·Zbl 1163.11002号
[3] B.C.Berndt，S.Kim和A.Zaharescu，“加权除数和和贝塞尔函数系列，II”，Adv.Math.229（2012）2055-2097·Zbl 1236.33010号
[4] B.C.Berndt、S.Kim和A.Zaharescu，“圆和除数问题，以及贝塞尔函数的双级数”，Adv.Math236（2013）24-59·Zbl 1326.11059号
[5] B.C.Berndt、S.Kim和A.Zaherescu，“高斯的圆问题和狄里克勒的除数问题将无法解决”，Amer。数学。每月125（2018）99-114·Zbl 1396.11001号
[6] B.C.Berndt和R.A.Rankin（编辑），Ramanujan：论文和调查（美国数学学会，普罗维登斯，RI，2001；伦敦数学学会，伦敦，2001）·Zbl 1117.11002号
[7] B.C.Berndt和A.Zaharescu，“加权除数和和贝塞尔函数系列”，数学。Ann.335（2006）249-283·Zbl 1100.33001号
[8] I.S.Gradshteyn和I.M.Ryzhik（编辑），积分表，级数和乘积，第5版（学术出版社，加州圣地亚哥，1994年）·Zbl 0918.65002号
[9] G.H.Hardy，“关于将数字表示为两个平方和”，夸脱。数学杂志。（牛津）46（1915）263-283。
[10] G.H.Hardy，论文集，第二卷（克拉伦登出版社，牛津大学出版社，牛津，1967年）·Zbl 0155.37203号
[11] I.Niven和H.S.Zuckerman，《数论导论》，第4版（威利，纽约州纽约市，1980年）·Zbl 0431.10001号
[12] H.Rademacher，初等数论讲座（Blaisdell，纽约州纽约市，1964年）·Zbl 0119.27803号
[13] S.Ramanujan，论文集（剑桥大学出版社，剑桥，1927）。（切尔西，纽约，1962年再版；美国数学学会，普罗维登斯，RI，2000年再版。）
[14] S.Ramanujan，《丢失的笔记本》和其他未发表的论文（新德里，Narosa，1988年）·Zbl 0639.01023号
[15] G.F.Voronoí，“功能超越与应用程序的社会化”，《科学年鉴》。埃及。标准。上级。(3) 21 (1904) 207-267, 459-533.
[16] G.N.Watson，“最后一个问题：模拟θ函数的说明”，J.Lond。数学。Soc.11（1936）55-80。（转载于[11]，第325-347页。）
[17] G.N.Watson，《贝塞尔函数理论》，第二版（剑桥大学出版社，剑桥，1966年）·Zbl 0174.36202号
[18] E.T.Whittaker和G.N.Watson，《现代分析课程》，第4版（剑桥大学出版社，剑桥，1966年）·Zbl 1458.30002号
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