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查尔斯·多兰。;泰勒·L·凯利。;阿德里亚娜·萨勒诺;史蒂文·斯珀伯;没事，约翰;乌苏拉·惠彻

交替镜像Calabi-Yau家族的Zeta功能。 （英语） Zbl 1403.14055号

以色列。数学杂志。 228，第2期，665-705（2018）.
可逆多项式是以下形式的多项式\[F_A=\sum_{i=0}^n\prod_{j=0}^nx_j^{A{ij}}\在{\mathbb{Z}}[x_0，\点，x_n]中\]其中指数矩阵（A=（A{ij}）是一个大小为（n+1）的方阵，其非负整数项满足（1）（det（A）neq 0），（2）（F_A）是拟齐次的，并且（3）（FA:{mathbb{C}}^{n+1}到{mathbb{C}）在原点是非奇异的。当（F_A）可逆且度均匀时，（F_A=0）在（{mathbb{P}}^n）中定义了Calabi-Yau变种（X_A）。对于可逆多项式\（F_A\），存在（对偶）多项式\[F_{A^T}:=\sum_{i=0}^n\prod_{j=0}^nx_j^{A{ji}}。\]然后，\（F_｛A^T｝）再次是一个可逆多项式，具有权重\（q_0，\dots，q_n）（\（\gcd（q_0，\dots，q_n）=1\））的拟齐次多项式，使得\（F_｛A^T｝=0）在\（｛\mathbf｛WP｝｝（q_0，\dots，q_n）\）中定义了一个超曲面\（X_｛A^T｝），具有对偶权重\（q_0，\dots，q_n）\）。设（d^T=\sum_{i=0}^nq_i\）。通过定义\（F_a\）的单参数变形\[F_{A，\psi}:=\sum_{i=0}^n\prod_{j=0}^nx_j^{q_{ij}}-d^T\psi\prod_u{i=0}^nxx_j\in{mathbb{Z}}[\psi][x_0，\dotes，x_n]。\]那么，参数\（\psi\）中的\（{mathbb{P}}^n\）中的超曲面族\（X{A，\psi}:F{A，\ psi}=0\）称为可逆铅笔。S.Gährs公司【in：（K3）曲面的算术和几何以及Calabi-Yau的三倍。研讨会论文集，加拿大多伦多，2011年8月16日至25日。纽约州纽约市：斯普林格。285–310 (2013;Zbl 1302.14034号)]显示了（X{A，psi}）的Picard-Fuchs微分方程由对偶权重（（q_0，dots，q_n））的（n+1）元组决定，并且其阶数（D（q_0，dots。
本文表明，具有Berglund-Hübsch-Krawits（BHK）反射镜的可逆铅笔具有相同的算术性质。特别是，BHK镜是同一加权射影空间商中的超曲面的可逆铅笔具有与其全纯形式相关联的相同的Picard-Fuchs方程。这意味着镜对的zeta函数具有与超几何型Picard-Fuchs方程对应的相同因子。以下定理描述了这一事实的更精确公式：
定理。设（A_{A，\psi}）和（X_{B，\ps2}）是Calabi-Yau（（n-1））-折叠在（{mathbb{P}}^n）中的可逆铅笔。假设\（A\）和\（B\）具有相同的双重权重\（（q_0，\dots，q_n）\）。然后，对于{mathbb{F}}_q\中的每一个\（\psi\），使得\（\gcd（q，（n+1））=1\）和纤维\（X{A，\psi}\）和\（X_{B，\psi}\）都是非退化和光滑的，多项式\（P_{X_{A，\ psi}}（T mathbb{q}}[T]\）和\（\deg（R_{psi}（T））\geqD（q_0，\dots，q_n）。\）此外，公因子\（R_｛\psi｝（T）\）附属于\（X_｛A，\psi｝\）和\（X_｛B，\psi｝\）上的全纯形式。
作为应用，研究了K3曲面的几种画笔及其与Dwork画笔的关系，获得了算术镜像对称的新情况。
审核人：Noriko Yui（金斯顿）

引用于2评论
引用于11文件

MSC公司：

14国集团10 Zeta函数和代数几何中的相关问题（例如Birch-Swinnerton-Dyer猜想）
11国42 算术镜像对称
14J32型 Calabi-Yau流形（代数几何方面）
35年第32季度 Calabi-Yau理论（络合物分析方面）

关键词：

zeta函数;BHK镜子;Calabi-Yau超曲面;单参数变形;Picard-Fuchs方程;\（K3\）表面;算术镜像对称

引文：

Zbl 1302.14034号

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\textit{C.F.Doran}等人，以色列。数学杂志。228，第2号，665--705（2018；Zbl 1403.14055）
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